SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER

1. UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
PRESENTACIÓN DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
TÍTULO:
SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER
CURSO Y CÓDIGO DE CLASE:
VARIABLES COMPLEJAS Y TRANSFORMADAS - 2215
DOCENTE:
JUAN CARLOS PONTE BEJARANO
ALUMNO Y NRC:
CABANILLAS ESCURRA, JAMER MIGUEL – N00247890

2. SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER
INTRODUCCIÓN:
Las series de Fourier son útiles para el estudio y desarrollo de señales periódicas y
continuas, pero, ¿Qué sucede cuando estas señales son no periódicas?; aquí es donde
ingresa la transformada de Fourier, ya que esta se encarga de transformar
matemáticamente señales (no periódicas) entre el dominio del tiempo y el dominio de la
frecuencia.
CONCEPTOS:
- Series de Fourier: Es una serie infinita que se dirige puntualmente a una función
periódica y continua. Puede ser tomando solo una porción de esta función, donde
se realiza el análisis correspondiente para poder hallar su periodo y frecuencia,
para posteriormente aplicar estos datos en la resolución de sus fórmulas, tanto para
una ecuación simple, como también para una compleja.
Serie de Fourier:
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎0 + ∑[𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0𝑡) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔0𝑡)]
∞
𝑛=1
Serie de Fourier Compleja:
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎0 + ∑ [
1
2
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛𝑖)𝑒𝑖𝑛𝜔0𝑡
+
1
2
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛𝑖)𝑒−𝑖𝑛𝜔0𝑡
]
∞
𝑛=1
Pero si:
{
𝐶0 =
1
2
𝑎0
𝐶𝑛 =
1
2
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛𝑖)
𝐶−𝑛 =
1
2
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛𝑖)}
Entonces:
𝑓(𝑡) = 𝐶0 + ∑[𝐶𝑛𝑒𝑖𝑛𝜔0𝑡
+ 𝐶−𝑛𝑒−𝑖𝑛𝜔0𝑡
]
∞
𝑛=1
𝑓(𝑡) = 𝐶0 ∑[𝐶𝑛𝑒𝑖𝑛𝜔0𝑡
]
∞
𝑛=1
+ ∑ [𝐶𝑛𝑒𝑖𝑛𝜔0𝑡
]
−∞
𝑛=−1
𝑓(𝑡) = ∑ [𝐶𝑛𝑒𝑖𝑛𝜔0𝑡
]
+∞
𝑛=−∞

3. Donde Cn (coeficiente de Fourier) y T (periodo):
𝐶𝑛 =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑛𝜔0𝑡
𝑇
2
−
𝑇
2
𝑑𝑡
➢ 𝜔𝑜 =
2𝜋
𝑇
➢ 𝐶𝑛 = |𝐶𝑛|𝑒𝑖𝜑𝑛
➢ 𝜑𝑛 = tan−1
(−
𝑏𝑛
𝑎𝑛
)
➢ |𝐶𝑛| =
1
2
√𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛
2
- Transformada de Fourier: Como se dijo anteriormente, la transformada de
Fourier es una herramienta matemática de gran valor para analizar las funciones
aperiódicas o no periódicas. Para llegar a esta solución, Fourier razonó que una
señal o función aperiódica se puede considerar como una señal de periodo infinito.
Esto quiere decir que, en la representación en Serie de Fourier de una señal
periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental
disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas
a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de
frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una
integral.
𝐹(𝑓(𝑡)) = 𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡, ∀ − ∞ < 𝜔 < +∞
+∞
−∞
… … … … (1)
Para que una ecuación o señal tenga Transformada de Fourier debe cumplir con
las siguientes condiciones:
• La integral de la ecuación (1) converge, es decir, existe. Esto quiere decir
que f(t) debe ser completamente integrable:
∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞
+∞
−∞
• Existe una ecuación donde no se puede realizar la Transformada de
Fourier:
𝑓(𝑡) = 1, ∀ − ∞ < 𝑡 < +∞
La señal de la ecuación es conocida como señal de CD o señal constante
y no tiene Transformada de Fourier, porque no es una señal real, es decir,
ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser
físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos
comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área
bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un
valor finito.

4. La anti transformada de Fourier es:
𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑑𝜔
+∞
−∞
- Señal periódica: Señales que presentan una repetitividad a lo largo de un
intervalo de tiempo y que repiten valores de intervalos o periodos anteriores.
Como su mismo nombre lo dice, presentan un periodo.
Tal como se puede apreciar en la imagen, las 4 son aproximaciones de señales
de funciones periódicas escalonadas.
Dos ejemplos comunes de una señales periódicas y continuas son las funciones
seno y coseno
- Señal no periódica: Se dice de una señal que cambia constantemente sin exhibir
ningún patrón o ciclo que se repita en el tiempo, por ende, no tiene un Periodo T
definido y por este motivo, algunas veces se lo considera infinito.
Un ejemplo de estas señales es el ruido o armónicos que se filtra hacia ondas de
una señal limpia (estas pueden ser de audio, datos o de energía).
- Frecuencia: Se le conoce como frecuencia al numero de repeticiones por unidad
de tiempo de cualquier señal u evento periódico. También se considera como el
inverso del periodo T. Su unidad de medida son los Hertzios (Hz).
𝐹 =
1
𝑇

5. USOS EN LA ELECTRÓNICA:
Uno de los principales usos de la Transformada de Fourier en la Electrónica es en el
procesado de señales, este consiste en desarrollar y estudiar las técnicas de tratamiento
(filtrado, amplificación, depuración, etc.), análisis y la clasificación de señales.
Por ejemplo, podemos observar en la imagen una señal con ruido y alternancia
significante.
Pero aplicando la Transformada de Fourier se puede observar que contiene cinco
componentes de frecuencia definida.
EJEMPLO:
𝑓(𝑡) = {
𝑒−𝑎𝑡
, 𝑡 > 0 𝑎 > 0
0, 𝑡 < 0
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
−∞
𝐹(𝜔) = ∫(0)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
0
−∞
+ ∫(𝑒−𝑎𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
∞
0

6. 𝐹(𝜔) = ∫(𝑒−𝑎𝑡−𝑖𝜔𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
= ∫(𝑒−(𝑎+𝑖𝜔)𝑡
)𝑑𝑡
∞
0
=
1
−(𝑎 + 𝑖𝜔)
[𝑒−(𝑎+𝑖𝜔)𝑡
]0
∞
𝐹(𝜔) = −
1
(𝑎 + 𝑖𝜔)
[(𝑒−𝑎𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
]0
∞
𝐹(𝜔) = −
1
(𝑎 + 𝑖𝜔)
(lim
𝑡→∞
((𝑒−𝑎𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
) − 𝑒0
)
lim
𝑡→∞
𝑒−𝑎𝑡
= 0 𝑠𝑖 𝑎 > 0
𝐹(𝜔) = −
1
(𝑎 + 𝑖𝜔)
(−1)
∴ 𝐹(𝜔) =
1
(𝑎 + 𝑖𝜔)