Convolución y transformada de fourier

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
SAN CRISTÓBAL
Convolución y
Transformada de Fourier
Mendoza Rangel, Breiner Enmanuel.
V-24.338.051
Ingeniería de Sistemas
Septiembre, 2018

2. Convolución de Señales
Esta operación es muy usada en comunicaciones, análisis armónico,
etc., permitiendo encontrar fácilmente muchos resultados importantes.
La integral del lado derecho, es decir la integral de convolución, la,
podemos interpretar como el área bajo la curva resultante del producto
entre x( ) y h( t - ).
Para esta integral, se han realizado los siguientes cambios de variable:
Para x( t ) se hace el cambio de variable independiente, t = .
Para h( t ) se hace el cambio de variable independiente, t = , además se refleja
y se desplaza la señal t unidades.
El cálculo de la integral se puede realizar de dos maneras,
analíticamente (resolviendo las integrales planteadas) o gráficamente
(calculando las áreas respectivas a partir de los gráficos realizados
para las señales).
La convolución con (t) se calcula valiéndose de la propiedad de
separación de la función (t), que permite escribir la función x(t)
como la suma de infinitos pulso pesados:
Además se puede verificar que:
f ( t ) ¤ ( t - T ) = f ( t - T ).
f ( t - T1 ) ¤ ( t - T2 ) = f ( t - T1 - T2 ).
( t - T1 ) ¤ ( t - T2 ) = ( t - T1 - T2 ).
f ( t ) ¤ [ ( t + T ) + ( t - T ) = f ( t + T ) + f ( t - T ).

3. Ejemplo de cálculo:
Primero se grafican
las señales x ( t ) y
h ( t ) :
Se cambia la variable t por y se refleja h ( t ) :
Ahora se desplaza h ( - ), t unidades, consiguiendo h ( t - ) , o lo que es lo mismo
h ( - ( - t ) ) :

4. Luego se deben tomar en cuenta los diferentes intervalos de t para los cuales cambia
la expresión de x ( t ) · h ( t - ), resolviendo la integral de convolución para cada
intervalo.
El primer intervalo a
considerar sería -
< t < -1, en el cual se
tiene, para cualquier
valor de t:
El segundo intervalo a considerar sería - 1 < t < 1, en el cual se tiene, para cualquier
valor de t:
El siguiente intervalo a considerar sería 1 < t < 2, en donde:

5. El cuarto intervalo a considerar sería 2 < t < 4, en el cual, para cualquier valor de t:
El último intervalo a
considerar sería
4< t < , en el cual
se obtiene para
cualquier valor de t:
Finalmente, resumiendo el resultado de x ( t ) ¤ h ( t ) en un gráfico, se obtiene:

6. Transformada de Fourier
La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación
matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio
de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo
capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la
operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no
necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un
conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos
representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que
garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios
de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los
números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad,
la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la
transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes
de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es
denominada análisis armónico.
Uso en ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así
obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber
sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la
frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por
consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados, si
conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad
espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes,
como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada
con una computadora, véase ondícula (wavelet).
Definición
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen
ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en
una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano
va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de

7. Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la
transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.
Pares de transformadas de uso frecuente: