Se presentan conceptos acerca de series de Fourier, transformada de Fourier en tiempo discreto TF, DFT, FFT, sus aplicaciones y propiedades. Finalmente se presentan algunos ejemplos de análisis de datos computacionalmente mediante la FFT.
Análisis de Fourier Para Señales de Tiempo Discreto
1. P A R A S E Ñ A L E S
D E T I E M P O
D I S C R E T O
FOURIER
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
FEBRERO 2023
2. Integrantes
Luisa Alejandra Lopez Albarracín
Melanie Gabriela Polo Gómez
David Leonardo Chaparro Rodriguez
Juan Manuel Romero Martinez
Daniel Felipe Catañeda Ovalle
Índice
Series de Fourier
Transformada de Fourier TF de tiempo discreto
Transformada Discreta de Fourier DFT
Transformada Rapida de Fourier FFT
Aplicaciones de la DFT
Ejemplos aplicación FFT
3. SERIES DE FOURIER
Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua.
Permite analizar funciones periódicas a través de la descomposición de una función en una suma infinita de funciones
sinusoidales mucho más simples(con amplitudes y frecuencias diferentes).
Tienen la forma:
a0 es el valor DC en f=0 Hz
an y bn son amplitudes de señales seno o coseno
En donde en términos de señales,
Las series de Fourier sirven para señales de tiempo continuo, sin embargo, se emplean otras herramientas como la TF y
DFT para tiempo discreto, con el fin de crear funciones específicas a partir de espectros .
4. SERIES DE FOURIER
Linealidad: la STFTD es una operación lineal, lo que significa que la
transformación de una suma ponderada de señales es igual a la suma
ponderada de las transformaciones de cada señal por separado.
Periodicidad: la STFTD se aplica a señales digitales periódicas. Esto significa
que si la señal no es periódica, se puede considerar como periódica con un
período infinito, lo que implica que su espectro se extiende a lo largo de todo el
eje de frecuencia.
Simetría conjugada: el espectro de la STFTD es conjugado simétrico con
respecto a la frecuencia
Son muy similares a las propiedades de la Serie de Fourier para señales de tiempo
continuo (STFTC). Algunas de las propiedades más importantes de la STFTD son las
siguientes:
5. ANALISIS ESPECTRO DE FRECUENCIA POR
SERIES DE FOURIER
Las series de Fourier solo aplican para
señales peródicas y discretas.
Asimismo, permiten calcular magnitud y
fase de cada una de las señales que
conforman una en específico.
El espectro de frecuencia por este método,
describe una señal discreta en donde en
cada unidad de frecuencia, hay una magnitud
específica.
6. TRANSFORMADA DE FOURIER
Es una transformación que permite extraer información sobre la frecuencia de un ciclo de cualquier función, cuando se
conoce solo una parte de su comportamiento.
Cualquier función, generalmente periódica, se puede aproximar
por medio de señales sinusoidales con diferentes amplitudes y
frecuencias. De forma que cuanto más coincide una onda simple
con el dato observado, más peso tiene en la determinación de
la función original.
Con la serie de Fourier se puede adquirir un cambio en el
dominio de la función; al pasar de la información contenida en
una señal al dominio en el tiempo para transitar al de la
frecuencia y viceversa, de tal forma que se mejora el análisis de
la señal.
7. PROPIEDADES
Desplazamiento en el tiempo: Un desplazamiento en el tiempo de una señal
digital periódica se traduce en una fase lineal del espectro de la STFTD.
Modulación en frecuencia: Una modulación en frecuencia de una señal digital
periódica se traduce en una modulación en amplitud del espectro de la STFTD.
Convolución en el tiempo: La convolución en el tiempo de dos señales digitales
periódicas se traduce en la multiplicación de sus espectros de la STFTD.
Teorema de Parseval: La energía total de una señal digital periódica es igual a
la suma de los cuadrados de sus coeficientes de la STFTD.
8. ECUACIÓN TF DE TIEMPO DISCRETO
La transformada Fourier de Tiempo Discreto se usa como base fundamental para la
representación de sistemas lineales . La formula general que permite aplicar el concepto
es:
Esta es la señal de espectro resultante.
La principal función es que al aplicarle un muestreo a alguna señal, por medio de la
aplicación de la DTFT, podemos obtener y recuperar la función continua para las
muestras seleccionadas. De esta manera la DTFT es la función continua de la frecuencia
de una señal.
9. Del concepto de la Transformada de Fourier de Tiempo discreto (DTFT) se obtiene la
Transformada Discreta de Fourier (DTF), ya que esta consiste en la toma de muestras de
una señal continua.
De esta manera se podría decir que tiene un comportamiento inverso, en donde la señal
de frecuencia continua la obtenemos por medio de la DTFT y al aplicar la transformada
inversa obtendríamos la señal de muestreo, la cual seria el mismo resultado de aplicar la
DTF.
ECUACIÓN TF DE TIEMPO DISCRETO
10. Periodicidad Espectral:
Desplazamiento en el tiempo:
El espectro de frecuencia obtenido a partir de la DTFT es continua y tiene periodo
de 2 .
Los corrimientos en el tiempo implican aportes en la fase de la señal de frecuencia,
de manera que se cumple con la siguiente expresión.
PROPIEDADES TF DE TIEMPO
DISCRETO
11. Desplazamiento en la frecuencia:
Convolución:
Al realizar un corrimiento en la señal de frecuencia, la señal de muestreo debe de
ser multiplicada por un factor exponencial.
La convolución en el tiempo es equivalente a el producto entre funciones en la
frecuencia .
PROPIEDADES TF DE TIEMPO
DISCRETO
12. Como se vió con anterioridad la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto permite
que las señales de tiempo discreto pasen a un dominio continuo.
De esta manera se puede concluir que a cualquier señal discreta y finita se le puede
calcular su Transformada de Fourier(DTFT).
Su aplicación en el Procesamiento Digital de señales se puede basar en el principio de
que a una señal muestreada, sea una señal de voltaje, audio, vibraciones de sistemas
entre otros, se le puede hallar su representación continua en el tiempo y proceder a
realizar el análisis necesario para la aplicación correspondiente.
El caso mas utilizado de la Transformada de Fourier se da a partir de la DTF, ya que esta
es la que permite hacer el muestreo de las señales análogas en estudio.
CONCLUCIONES ACERCA DE LA TF DE
TIEMPO DISCRETO
13. Sea x[k] una señal discreta de periodo N, se puede descomponer en una suma de N exponenciales complejas
armónicamente relacionadas, es decir, de frecuencias múltiplo de la frecuencia fundamental.
ECUACIÓN DFT
X(n) es el numero de muestras capturadas.
X(k) representa la altura de cada armónico.
Donde los coeficientes ak son número complejos y se les conoce con el nombre de coeficientes del DSF.Sin
embargo, en la expresión y teniendo en cuenta un análisis de señales en frecuencia:
14. OBTENCIÓN COEFICIENTES DFT
Para obtener los coeficientes de la Descomposición en Serie de Fourier (DSF) de una señal discreta no periódica, se
debe primero convertir la señal no periódica en una señal periódica mediante una técnica de extensión adecuada,
como por ejemplo la extensión por cero, la extensión por replicación o la extensión por ventana.
Luego, se aplica la fórmula para obtener los coeficientes de la STFTD de la señal periódica resultante, que serán
los mismos que los coeficientes de la DSF de la señal original.
Finalmente, se puede truncar la serie de Fourier en un número finito de términos, lo que resultará en una
aproximación de la señal original con una cierta precisión determinada por el número de términos utilizados.
15. TRANSFORMADA DE
FOURIER DE SEÑALES
DISCRETAS
Definición de la TF en DT y de su inversa
La transformada discreta de Fourier en
tiempo discreto se puede definir
sencillamente como la forma de expresar la
señal como una suma infinita de sinusoides
La DFT es una herramienta muy poderosa
para analizar señales de tiempo discreto en
el dominio de la frecuencia. Permite
identificar las componentes de frecuencia
que componen la señal y, por lo tanto, es
útil en muchas aplicaciones, como el
procesamiento de señales, la compresión
de audio y la transmisión de datos.
16. Desplazamiento en
tiempo
PROPIEDADES SERIES DE FOURIER EN DT
Periocidad
La transformada de Fourier en
tiempo discreto es SIEMPRE
periódica en ω con periodo 2π
Reflexión
Si X(n) tiene como
transformada X(w) entonces
si se refleja, la transformada
de X(-n) también se refleja y
queda X(-w)
Si X(n) tiene como
transformada X(w), cuando se
desplace en tiempo X(n-n0),
su transformada en tiempo
discreto se evidencia de la
forma:
17. DUALIDAD SF EN
EL DT
La dualidad de series de Fourier en tiempo
discreto se refiere a la relación entre la
transformada de Fourier discreta (DFT) de una
señal discreta en el dominio del tiempo y su serie
de Fourier discreta (DFS) en el dominio de la
frecuencia.
La dualidad de series de Fourier en tiempo
discreto establece que la DFT de una señal
discreta es equivalente a su DFS periódica, y
viceversa. En otras palabras, si se toma la DFT
de una señal y se extiende periódicamente su
resultado, se obtiene su DFS, y si se toma la DFS
de una señal y se trunca su resultado, se
obtiene su DFT.
La DFS se utiliza para descomponer una señal
discreta en una serie de componentes sinusoidales
con frecuencias y amplitudes específicas.
la DFS se utiliza en el análisis de señales periódicas,
como las señales de audio y las señales de tiempo
discreto generadas por sistemas de control.
Serie de Fourier
discreta
Transformada de
Fourier discreta
La DFT es una transformada que toma una señal
discreta en el dominio del tiempo y la convierte en
su representación en el dominio de la frecuencia.
La DFT se utiliza en la compresión de audio y video
18. Procesamiento de imágenes digitales: La transformada
de Fourier se utiliza en el procesamiento de imágenes
digitales para realizar operaciones como la filtración, la
eliminación de ruido y la detección de bordes. Al
analizar la imagen en el dominio de la frecuencia, se
pueden identificar y eliminar características no
deseadas o mejorar características importantes.
Aplicaciones
Compresión de audio y video: La DFT se utiliza en
algoritmos de compresión de audio y video como MP3 y
MPEG. Al analizar las características espectrales de una
señal, se pueden identificar y eliminar redundancias y
datos innecesarios, lo que permite una compresión
efectiva sin pérdida de calidad perceptible.
Procesamiento de señales de radio y televisión: La DFT
se utiliza en la demodulación de señales de radio y
televisión. Al analizar las señales de radio y televisión en
el dominio de la frecuencia, se pueden extraer las
señales de audio y video originales.
Diseño de filtros electrónicos: La transformada de
Fourier se utiliza en el diseño de filtros electrónicos para
controlar la respuesta en frecuencia de un circuito. Al
analizar la señal de entrada y salida en el dominio de la
frecuencia, se pueden diseñar filtros con características
específicas, como atenuación selectiva de frecuencias.
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Análisis de vibraciones mecánicas: La DFT se utiliza para
analizar las vibraciones mecánicas en maquinarias y
motores. Al medir las vibraciones mecánicas, se puede
obtener información sobre el funcionamiento de la
máquina, como su velocidad, aceleración y frecuencia
de resonancia.
19. FFT
La transformada rápida de Fourier es un algoritmo que descompone una señal en sus
componentes individuales y así proporcionan información sobre su composición.
Es obtenida al aplicar muestreo sobre TF. Busca realizar el análisis digital de una señal de forma
más eficiente que con la TF y DFT; reduce el tiempo de cálculo de n2 pasos a n·log2(n)
Como se puede observar, a partir de
una señal en tiempo continuo, expresa
las magnitudes de los armónicos
mediante un espectro de frecuencia.
20. Ejemplo 1: Utilización de la transformada rápida de
fourier(FFT)
Para este ejemplo se utiliza la FFT y posterior DFT para corregir una señal con ruido como se observa en la figura.
La señal cuenta con una frecuencia media de
0.2, una vez que se conoce el valor de las
amplitudes máximas del ruido.
Se pueden remover estos valores pico que
afectan a la señal.
21. Especificaciones de la señal
Se encontró valores de frecuencia menores o
iguales a 0.2 en picos de frecuencia no
deseados.
Se procedió a pasar del dominio de la
frecuencia al dominio del tiempo utilizando la
transformada de Fourier, los resultados de la
señal filtrada se muestran a continuación.
Con este ejemplo se observa cómo con la
transformada de Fourier se puede remover el ruido
en el dominio de la frecuencia que de otra manera no
sería posible realizar este filtrado en el dominio del
tiempo .
22. EJEMPLO 2: FFT
Teniendo en cuenta un subconjunto
de datos recogidos de los sonidos
de las ballenas azules y publicados
en "Programa de Investigación
sobre Bioacústica de la Universidad
de Cornell", se observa que son
valores de baja frecuencia y casi
imperceptibles.
Si se especifica una nueva longitud de señal que
sea la siguiente potencia de 2 superior a la
longitud original y se le aplica la fft a la nueva
longitud de señal, automáticamente se rellena
con ceros los datos nulos para aumentar el
tamaño de la muestra y agilizar de forma
significativa el cálculo de la transformada.
Se obtuvo el espectro de potencia
de la señal, en donde se observa
que el gemido de la ballena se
compone de una frecuencia
fundamental de aproximadamente
17Hz y una secuencia de
armónicos.
De esta forma , mediante la fft se
procesan datos rápidamente y mas
eficientemente en un medio
computacional.
23. EJEMPLO 3: FFT
Considerando una señal sinusoidal x que es una función de tiempo t con componentes de frecuencia de 15Hz y 20Hz y una
frecuencia de muestreo de 1/50 Hz en un periodo de 10 segundos se obtiene la siguiente gráfica .
24. EJEMPLO 3: FFT
Calculando la TF de la señal y creando un muestreo f en el espacio de la frecuencia . Se obtiene una gráfica en tiempo
discreto en donde hay unos picos sobresalientes:
Los picos de magnitud en la señal corresponden
con los componentes de frecuencia de 15Hz y
20Hz de esta.
Al realizar la transformada se genera una copia reflejada de los
picos, las cuales corresponden con las frecuencias negativas de la
señal. Es por esto que se habla de simetría a la mitad de frecuencia.
25. CONCLUSIONES
La DFT es una herramienta poderosa para analizar
señales discretas en el dominio de la frecuencia. A
través de la DFT, podemos descomponer una señal en
sus componentes espectrales y analizar su contenido
frecuencial.
1
La DFT es una herramienta computacionalmente
eficiente. A través del algoritmo de transformada rápida
de Fourier (FFT), podemos calcular la DFT en un tiempo
razonable para señales de gran longitud.
2
La DFT tiene limitaciones y desventajas. Por ejemplo, la
DFT sólo puede analizar señales de longitud finita, y su
resolución es limitada por la longitud de la señal.
Además, la DFT asume que la señal es periódica en el
intervalo de tiempo que se está analizando, lo que puede
ser una limitación en algunas aplicaciones.
3
La DFT es una herramienta útil para el diseño de filtros
digitales. A través de la transformación de una función
de transferencia analógica a su equivalente digital
mediante la DFT, podemos diseñar filtros digitales con
características precisas.
4
26. CONCLUSIONES
Por medio de la transformada de Fourier, es posible
pasar de una señal discreta a una continua.
5
Las series de Fourier si bien se desarrollan para
cualquier señal periódica, pueden suministrar
mangnitud y fase de los armónicos que completan una
señal.
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La transformada rápida de Fourier provee un mejor
análsiis y procesamiento de datos en formato
computacional. Por lo tanto, es la herramienta
mayormente implementada en señales.
Mediante la TF se obtiene una función continua debido
que al aumentar el periodo hacia infinito, la frecuencia
de muestreo será cada vez menor y los armónicos de la
señal se acercan mucho, tendiendo a cero.
