Este documento presenta una introducción a la transformada de Fourier. Explica que la transformada de Fourier permite representar funciones no periódicas en el dominio de la frecuencia de manera continua, a diferencia de las series de Fourier que lo hacen de manera discreta para funciones periódicas. Define formalmente la transformada de Fourier y su inversa, y describe algunas de sus propiedades básicas como la linealidad y cómo se aplica a cambios de escala y traslaciones. Finalmente, comenta algunas aplicaciones importantes de la transformada de Fourier en ingeniería

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
SAN CRISTÓBAL- ESTADO TÁCHIRA
Matemática IV.
Transformada de Fourier.
Prof: Lcdo. Domingo Méndez Wilmer A. Zambrano B.
C.I V.-24.780.144
Ing. Electrónica
IV Semestre
Matemática IV.
Sección: T
San Cristóbal, 01 de Agosto de 2016.

2. Transformada de Fourier
De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la
frecuencia de funciones periódicas f(t).
¡Es posible entender de alguna manera las series de Fourier para obtener una
representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica T.
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente
reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn
contra

5. El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no
periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armoniacos de frecuencia
sino como una función continua de la frecuencia
Asi, la serie:
Al cambiar la “variable discreta” (cuando T ) por la variable continua
se transforma en una integral de la siguiente manera:

7. La Transformada De Fourier
Es Decir:
Donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(W) (dominio de la
frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f
de valores complejos y definidos en la recta, con otra función g definida de la manera
siguiente:
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda
auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que
finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que
pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del
tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un
sólo espectro de frecuencias para toda la función.
Sea f una función Lebesgue integrable:

8. La transformada de Fourier de f es la función.
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa
simple demuestra que la transformada de Fourier F (f) es una función acotada. Además por
medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F (f) es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
Propiedades Básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:
 Cambio de escala:
 Traslación:
 Traslación en la variable transformada:
 Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

9. Tabla De Transformadas Básicas
La Transformada De Fourier En El Espacio De Schwartz
El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos,
definidas en ℝ e infinitamente diferenciables tales que para todo m y n enteros no
negativos.
Donde φ(n) es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el
símbolo S.

10. Teorema
Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones
lineales
Además, vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con
coeficientes polinomiales, es decir de la forma.
Donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
Y

11. Uso en Ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia
para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es
más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola
en el dominio de la frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad
y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas
realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos
conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radio
transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de
imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen
fotográfica o tomada con una computadora.

12. Ejercicio # 1
Calculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de función
f dada por:
Solución:
Esta integral es fácil laboriosa. Una manera de resolverla practicidad es expresar el
coseno en su forma compleja: Al hacer los cálculos queda así:
Ejercicio #2
Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2π. Representar
gráficamente y estudiar la convergencia de la serie en R:
Solución: Calculo de los coeficientes de Fourier.

13. Por lo tanto, la serie de Fourier ser·:
En todos los puntos de continuidad la serie converge a f(x) y en los puntos de
discontinuidad del tipo x = π + 2nπ con n € Z, la serie converge a π/ 2