La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia. Extiende la serie de Fourier para incluir funciones no periódicas mediante una integral continua en lugar de una suma discreta. Tiene importantes aplicaciones en ingeniería como el análisis de señales y el diseño de filtros. Es una transformación lineal que mapea funciones a su espectro de frecuencias.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Instituto Politécnico "Santiago Mariño"
Extensión San Cristóbal - Edo Táchira
Transformada De Fourier
Autora:
Oscary Montilva
26014162
Ing. Electrónica
Semestre IV
Lic: Domingo M
Agosto 2016

2. De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio
de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¡Es posible entender de alguna manera las series de Fourier para obtener
una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica T.
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan
puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso)
graficando cn contra

5. El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una
función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de
armoniacos de frecuencia sino como una función continua de la
frecuencia
Asi, la serie:
Al cambiar la “variable discreta” (cuando T ) por la variable
continua se transforma en una integral de la siguiente manera:

6. LaTransformada De Fourier
Es Decir:
Donde:

7. Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(W) (dominio de la
frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una
función f de valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida
de la manera siguiente:
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de
una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que
recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas
frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo
distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada
de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la
señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de
frecuencias para toda la función.
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función.
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F (f) es una función
acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede
demostrarse que F (f) es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

8. Propiedades Básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente
integrable f:
 Cambio de escala:
 Traslación:
 Traslación en la variable transformada:
 Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

9. Tabla De Transformadas Básicas
La Transformada De Fourier En El Espacio De Schwartz
El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores
complejos, definidas en ℝ e infinitamente diferenciables tales que para
todo m y n enteros no negativos.

10. donde φ(n) es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el
símbolo S.
Teorema
Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son
aplicaciones lineales
Además, vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales
con coeficientes polinomiales, es decir de la forma.
donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
Y

11. Uso En Ingeniería
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de
frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio
temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra
la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor
facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de
sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la
entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para
el diseño de filtros de radio transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital
de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una
imagen fotográfica o tomada con una computadora.
Ejercicio # 1
Calculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de
función f dada por:
Solución:
Esta integral es fácil laboriosa. Una manera de resolverla practicidad es
expresar el coseno en su forma compleja: Al hacer los cálculos queda así:

12. Ejercicio #2
Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2π. Representar
gráficamente y estudiar la convergencia de la serie en R:
Solución: Calculo de los coeficientes de Fourier.

13. Por lo tanto, la serie de Fourier ser·:
En todos los puntos de continuidad la serie converge a f(x) y en los puntos de
discontinuidad del tipo x = π + 2nπ con n € Z, la serie converge a π/ 2