Este documento introduce el concepto de determinantes de matrices cuadradas y describe sus propiedades y aplicaciones. Los determinantes son útiles para resolver sistemas de ecuaciones lineales, analizar la independencia lineal de vectores, y calcular áreas y volúmenes. El documento explica cómo calcular determinantes de orden 2 o superior usando métodos como el de adjuntos o el de Sarrus, y cubre propiedades como linealidad y multiplicatividad.

1. DETERMINANTES
ESQUEMA DE CONTENIDOS
INTRODUCCIÓN
El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de
matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de
ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas
de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de
Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras
cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, la interpretación
geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de
determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de un plano
en el espacio.
Los campos de aplicación de la teoría de los determinantes y, en general, de la teoría de matrices son
muy amplios, y abarcan desde las más clásicas aplicaciones en las áreas de física, economía, e
ingeniería hasta aplicaciones más recientes como la generación de gráficos por ordenador, la teoría
de la información [W1], y la criptografía.
OBJETIVOS
• Aprender a calcular determinantes de todos los órdenes.
• Conocer las propiedades de los determinantes.
• Comprobar cuáles son las aplicaciones de los determinantes.
Determinantes
Definición Propiedades
Cálculo
Aplicaciones
Independencia Lineal
de Vectores
Cálculo de Áreas y
Volúmenes
Regla de Cramer
Cálculo MatrizInversa
Por la definición Por fórmulas
Con Mathcad

2. • Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con determinantes.
Definición de determinante
Dados los números 1,2,3,....n existen n! formas distintas de ordenarlos. Cada una de dichas
ordenaciones se llama permutación. El conjunto de todas las permutaciones se representa por
Pn y la permutación (1, 2, 3, ..., n) se llama permutación principal.
Por ejemplo, el conjunto {(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)} contiene las 6 permutaciones
diferentes de la terna (1 2 3).
Diremos que dos elementos de una permutación forman una sucesión si están colocados en el
mismo orden que en la permutación principal. En caso contrario, diremos que forman una
inversión.
Por ejemplo: (2 3 1 4 5 6) tiene dos inversiones (nº de pasos a realizar para obtener la permutación
principal).
Llamaremos signatura de una permutación al valor (-1)λ
donde λ es el número de inversiones de dicha
permutación.
Se define el determinante de una matriz cuadrada A, denotado por A o por det(A), como:
Cálculo de determinantes
Determinantes de orden 2 (asociados a matrices 2x2)

3. Determinantes de orden superior a 3 (asociados a matrices nxn con n>3)
En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño nxn
con n > 3), la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método de
desarrollo por adjuntos para su cálculo.
Primero de todo, fijémonos en la disposición de signos siguientes (similar a las casillas blancas y negras
en un tablero de ajedrez):
Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer:
1. Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros (si ninguna línea tiene ceros,
se coge una línea cualquiera).
2. Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá como se
explica en el paso siguiente.
3. Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente
determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las que

4. pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto le precederá el signo que corresponda a
la posición ocupada por el elemento seleccionado (según la tabla de signos arriba indicada).
Ejemplo matriz 5x5:

5. Propiedades de los determinantes [W3]
Para el cálculo de algunos determinantes, puede ser muy útil recurrir a algunas de las siguientes
propiedades:

6. DETERMINATE DE UNA MATRIZ 2x2, 3X3 y nxn
EJERCICIO I
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
1)
12
31


A
2)
35
13


A

7. 3)
46
23
B
4)
qp
nm
C



CÁLCULO DE DETERMINAN TE S
Método de Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemátic o franc és que
establec ió una regla para c alc ular determina ntes de orden 3.
Los términos c on signo + están formados por los elementos de la
diagonal princ ipa l y los de las diagonales paralela s c on su
c orrespondie nte vértic e opuesto.
Los términos c on signo − están formados por los elementos de la
diagonal sec undaria y los de las diagonales paralela s c on su
c orrespondie nte vértic e opuesto.
Ejemplo

8. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el valor de los siguientes determinantes:
a)
;
b)
;
c)
DETERMINANTE DE CUALQUIER ORDEN
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante
Está formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la
columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número
posible de elementos nulos).
2.En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos
nulos yoperaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna
línea paralela ).
2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante
por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno
de sus elementos.
3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la
fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

9. 4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden
inferior en una unidad al original.
= 2(-58)
MATRIZ INVERSA
Matriz adjunta método de transformaciones de gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de
forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

10. 2
2

11. 3

12. 1
2

13. 3
4

14. 5
6

15. 7

16. 8

17. 9

18. EJERCICIOS
Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices.
1) 







43
12
2) 





97
32
3)













511
832
521
4)












471
642
853
5)













356
344
122