Transformaciones lineales

1. BACHILLER,
 Sabino Yilia CI. 24.799.292
Prof.
Milagros Maita
Sección; YV

2. Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V,
k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:
T (a + b) = T (a) + T (b)
T (k a) = k T (a)
que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama
condominio de T.
TRANSFORMACIONES LINEALES.

3. EJEMPLOS
A partir de la definición,
analicemos si es lineal la siguiente transformación:
T: R2 ® R3 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2)
= T (x) + T (y)
b) ¿ " x Î R2, " k Î R : T (k x) = k T (x) ?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =
= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
= k T (x)
TRANSFORMACIÓN LINEAL TRANSFORMACIÓN NO LINEAL
Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) =
(x2, x1 + 2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
T (x) + T (y) = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal

4. MÉTODO DE GAUSS JORDAN
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden
resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este
caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de
las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz(también llamada matriz aumentada):

5. Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división;
teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso. Obsérvese que en
dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma
de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables,
correspondiéndose de la siguiente forma:
• d1 = x
• d2 = y
• d3 = z
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a
la original, la cual es de la forma:

6. Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en
su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma
Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
Sea el sistema de ecuaciones:
Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz
identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

7. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por
el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13
si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando
todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos
posteriores.
Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se
ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar
este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 3ª fila.

8. •A esta altura podemos observar como la matriz con la
cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz
identidad.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a
la 3ª fila, 3ª columna de la m
Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de
los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y
½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos
se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13)
por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la
segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se
sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.
A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz identidad.Nuestro
siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo
procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del numero que se
encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la m

9. El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto
buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en
este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos
de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 1ª fila.
El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la
1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto
buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª
x= 1
y= -1
z= 2
Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4

10. NÚCLEO
(el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea
T ∈ L(V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del
vector nulo:
RANGO Y NULIDAD
La dimension común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se
denomina rango y se denota rango (A), la dimension del espacio nulo de A se llama nulidad y
se denota nulidad (A).
Propiedad
Rango (A)= Rango (AT)
Teorema de la dimension
Si es una matriz A con n columnas, entonces:
Rango (A) + nulidad (A) = n
El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente;
Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma
escalonada.
El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).

11. IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación, pre imagen de un conjunto bajo una
aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas.
la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La
imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:
im(T) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T(v) .
EJEMPLO DE RANGO Y NULIDAD
SEA A, DETERMINAR SU RANGO Y NULIDAD
Por procesos elementales
–f1+f2→f2 ^ –f1+f3→f3 f2+f3→f3

12. MATRIZ CON LAS TRANSFORMACIÓN LINEALES
Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los
espacios dominio y condominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas
bases.
Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La
matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda
determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los
transformados de la base de V, en la base de W.
Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}.
Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.
Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

13. EJERCICIO N°1

14. EJERCICIO N°2

15. EJERCICIO N°3

16. Se han visto las distintas propiedades y teoremas que este tema presenta, todo para su comprensión y entendimiento, con
esto se concluye que los temas vistos tienen una cierta relación ya que en algunos de estos se recurre a conocimientos
adquiridos anteriormente. Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas
ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para
comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.
CONCLUSIÓN

17. http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/definicion%20y%20ejemplos.htm
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def91.htm
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def94.htm
BIBLIOGRAFÍA