Este documento explica conceptos clave de álgebra lineal como transformaciones lineales, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y propiedades de las transformaciones lineales como núcleo, rango e imagen. También analiza ejemplos para determinar si ciertas funciones cumplen con las condiciones para ser consideradas transformaciones lineales.

1. Integrante: Madelein Guillen
C.I.: 26279546
Algebra Lineal

2. Las transformaciones lineales son
funciones entre K- espacios vectoriales
que son compatibles con la operación y
acción de estos espacios.
Su objetivo es transformar un espacio
vectorial en otro.
Sean (V,+V,·V) y (W,+W,·W) dos
K-espacios vectoriales. Una
función f: V → W se llama una
transformación lineal de V en W
si cumple:
Si f : V → W es una transformación lineal,
entonces f (0v) = 0w.
Puesto que: f(0v) = f(0v + 0v)= f(0v) + f(0v),
entonces
0W = f(0v) + (−f(0v)) = ( f(0v) + f(0v) ) + (- f(0v))
=
= f(0v) + ( f(0v) + (- f(0v) ) ) = f(0v) + 0w =
= f(0v).

3. Es un algoritmo para sistemas de ecuaciones lineales, se
puede utilizar para encontrar el rango de una matriz,
calcular su determinante, y para calcular la inversa de una
matriz cuadrada invertible. Un sistema de ecuaciones se
resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus
soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro
equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior. El método de Gauss transforma la
matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El
método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.

4. Para resolver sistemas de ecuaciones
utilizando este método se debe primero
anotar las coeficientes de las variables del
sistema de ecuaciones lineales usando su
notación matricial:
Entonces anotando como matriz
aumentada:
Luego se convierte dicha matriz en una
matriz identidad, es decir matriz
equivalente a la original:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y
columnas operaciones de suma, resta,
multiplicación y división, teniendo en cuenta
que una operación se aplicara a todos los
elementos de las filas o las columna depende
de como sea el caso.

5. Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que
cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran
ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose
de la siguiente forma:
•d1 = x
•d2 = y
•d3 = z
1. Sea el sistema de
ecuaciones:
2. Lo anotamos en
su forma matricial:
3. Empezamos a operar con
las distintas filas y
columnas de la matriz para
transformarlo en su matriz
identidad:

6. 4. Debemos transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad;
para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½:
5. Luego debemos obtener los dos ceros de la
primera columna de la matriz identidad, para
lograr esto, buscamos el opuesto de los
números que se ubicaron por debajo del 1 de la
primera columna, en este caso el opuesto de 3
que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar
los opuestos de estos números por cada uno de
los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a
los números de su respectiva columna. En el
caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto
de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila
y se sumara su resultado con el numero que le
corresponda en columna de la segunda fila. En
el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto
de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila
y se sumara su resultado con el número que le
corresponda en columna de la tercera fila.

7. 6. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la
2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de
igual forma que antes, es decir multiplicamos
toda la fila por el inverso del numero que
deseamos transformar en 1, en este caso -13/2,
cuyo inverso es -2/13
Además si observamos la tercera fila, nos
damos cuenta que todos los elementos poseen
el mismo denominador, entonces podemos
eliminarlos multiplicando todos los elementos
de la 3º fila por 2 (el denominador).
7. Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en
la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad,
para hacer esto buscamos el opuesto del
numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de
la matriz con la cual estamos operando, en este
caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos
ahora es multiplicar este número por todos los
elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados
con el numero que le corresponde en columna
de la 3ª fila.

8. 8. Obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª
columna de la matriz identidad, ahora bien,
aplicamos el mismo procedimiento con el que
estábamos trabajando, es decir que vamos a
multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del
numero que se encuentre en la posición de la 3ª
fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo
inverso será 13/96.
9. Obtener los dos ceros de la tercera columna
de la matriz identidad, para lograr esto,
buscamos el opuesto de los números que se
ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de
la matriz con la cual estamos operando, en este
caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y
-½, respectivamente.
Se procederá a multiplicar los opuestos de estos
números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y
estos se sumaran a los números de su respectiva
columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se
multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada
uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus
resultados con el número que le corresponda en
columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila
se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de
los elementos de la 3º fila y se sumaran sus
resultados con el número que le corresponda en
columna de la primera fila.

9. 10. Obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la
matriz identidad, para hacer esto buscamos el
opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna,
2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en
este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que
hacemos ahora es multiplicar este número por todos
los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados
con el numero que le corresponde en columna de la
1ª fila.
11. Hemos llegado al modelo de la matriz identidad
que buscábamos, y en la cuarta columna hemos
obtenido los valores de las variables,
correspondiéndose de este modo:
x= 1
y= -1
z= 2
12. Luego, el sistema de ecuaciones está
resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4

10. Núcleo: Sean V,W espacios
vectoriales sobre un campo
F y sea T∈ L(V, W). El
núcleo(kernel, espacio
nulo) de T se define como
la pre imagen completa del
vector nulo:
Ker(T): ={ x Є V: T(x) = 0w}
Nulidad: Sean V,W espacios
vectoriales sobre un campo F
y sea T Є L(V,W), la nulidad
de T se define como la
dimensión del núcleo T:
nul(T) = dim(ker(T))
Rango: Sean V,W espacios
vectoriales sobre un campo F y
sea T ∈ L(V,W). El rango de T se
define como la dimensión de la
imagen de T:
r(T) = dim(im(T))
Imagen: Sean V,W espacios vectoriales
sobre un campo F y sea T Є L(V,W). La
imagen T se define como el conjunto de
todos los valores de la aplicación T:
Im(T) := { w Є W: ∃v Є V tal que w=T(v)}

11. Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer
referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un
cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.
Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse
mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases
elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda
determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base
ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.
Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W
tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal
de V en W se representa por una matriz A m x n.
Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 ....
aim )T
En el plano x-y la transformación
de matriz A lleva a cada vector a su
reflejo tomando como espejo el eje
x, y la transformación de matriz B
lleva a cada vector a su simétrico
respecto del origen. Encontrar las
matrices A y B, usando como base
de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.
Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de
la transformación es:

12. Sistema compatible indeterminado
1)
Sistema compatible determinado
2)

13. 3)
Sistema compatible indeterminado
4) Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2  R2 /
" x  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)
Se deben verificar las dos condiciones de la
definición:
a) ¿ " x, y  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
T (x) + T (y) = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 +
y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹
T (x) + T (y)
No se verifica esta condición, entonces la
transformación no es lineal.

14. 5)A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente
transformación:
T: R2  R3 / " x  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2,
x2 + y2) =
= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 -
y2, y2) = T (x) + T (y)
b) ¿ " x  R2, " k  R : T (k x) = k T (x) ?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k
x2) =
= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =
= k T (x)
Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la
transformación es lineal.
6) Analicemos ahora si T es lineal, siendo
T: Mn x n  R / " v  Mn x n : T (v) =
det(v)
Sabemos que
det(A + B) ¹ det(A) + det(B), y det(kA) =
kn det(A) ¹ k det(A),
entonces esta transformación no es
lineal.

15. Las transformaciones son las que se utiliza para que un vector se convierta en otro
vector. Se saben si son transformación lineales cuando su dominio e imagen son
espacios vectoriales y cumplen las condiciones necesarias. Utilizamos el método de
Gauus Jordan para resolver sistemas de ecuaciones, en el cual podemos hallar la
inversa de un matriz y sus distintas propiedades, este usa el método de transformación
hasta tener una matriz diagonal. Cualquier transformación lineal puede representarse
por medio de una matriz. Para saber si una transformación es lineal se tiene que hallar
su imagen, núcleo, nulidad o rango.

16. • http://www.monografias.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-
gauss-jordan/resolucion-sistemas-metodo-gauss-
jordan2.shtml#ixzz4a5hXExeZ
• https://algebralinealcarlosruz.files.wordpress.com/2009/12/problemas
_resueltos.pdf
• www.monografías.com
• www.laguia2000.com