1. Escuela: Contabilidad
Curso: Matemática para los Negocios I
Docente: Ana Gamarra Carrasco
La derivada - Aplicaciones
1. En los problemas siguientes encuentre la derivada de las funciones:
a) f(x) = 100
b) f(x) = x10
c) f(x) = x1000
d) f(x) = 5
3 x3
e) f(x) = t5
15
f ) f(p) = p4 + 3p3 − 1
g) f(t) = 3t2 + 10t + 1
h) f(x) = 5x3 − x
−2
3
i) f(x) = 4x
5
3 − x
−2
3
j) f(x) = −9x
−1
9 − x
−5
6
k) f(x) = 6√
x
l) f(x) = 1
4
√
x
m) f(x) = x2√
x
n) f(x) = x2(3x)2
ñ) f(x) = x(3x2 − 13x + 5)
o) f(x) = x3(3x5 − 4x2 + 3)
p) f(q) = 4q3+7q−4
q
q) f(w) = w−8
w5
r) f(q) = 5q3+6q−4
q
s) f(q) = q2+q4
q4
2. Derivar:
a) f(x) = ex2+x
b) f(x) = 5x3+x2
c) f(x) = ln[a + x +
√
x2 + 2ax]
d) f(x) = sin(x2 + ex)
e) f(x) = tan(sin x + cos x)
f ) f(x) = cos(sin x + x2)
g) f(x) = cot(ex + ln x)
h) f(x) = ln(1+
√
sin x
1−
√
sin x
) + 2 sin x
i) f(x) = sin x−cos x
sin x+cos x
j) f(x) = 1 + ln(sin x)
k) f(x) = (3 − sin 2x)2
l) f(x) = ln
√
1−sin x
1+sin x
m) f(x) = a2
2 ln(x +
√
x2 + a2)
n) y = tan(1−ex
1+ex )
ñ) y = ln(x +
√
x2 − 1)
o) y = ln(3x2 +
√
9x4 + 1)
p) y = ln2
x − ln(ln x)
q) y = sin(sin(sin x))
r) y = sin(x2 + sin(x2 + sin x2))
3. En los problemas siguientes se dan funciones de costo, donde c es el costo de producir
q unidades de un producto. Para cada caso encuentre la función de costo marginal.
¿Cuál es el costo marginal para el valor o valores dados de q?.
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2. a) c = 500 + 10q; q = 100
b) c = 0,3q2 + 2q + 850; q = 3
c) c = q2 + 50q + 1000; q = 15, q = 16, q = 17
d) c = 0,03q3 − 0,6q2 + 4,5q + 7700; q = 10, q = 20, q = 100
e) c = 5000 + 6q; q = 36
4. En los problemas siguientes, cp representa el costo promedio por unidad, que es una
función del número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal
y el costo marginal para los valores indicados de q.
a) cp = 0,01q + 5 + 500
q ; q = 50, q = 100
b) cp = 2 + 1000
q ; q = 25, q = 235
c) cp = 0,00002q2 − 0,01q + 20000
q ; q = 100, q = 500
d) cp = 0,001q2 − 0,3q + 40 + 7000
q ; q = 10, q = 20
e) cp = 0,0002q3 + 55000
q2 ; q = 20, q = 200
5. En los problemas siguientes, r representa el ingreso total y es una función del número q
de unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal y el ingreso marginal
para los valores indicados de q.
a) r = 0,7q; q = 8, q = 100, q = 200
b) r = q(15 − q
30 ); q = 5, q = 15, q = 150
c) r = 250q + 45q2 − q3; q = 5, q = 10, q = 25
d) r = 2q(30 − 0,1q); q = 10, q = 150, q = 20
e) r = q(1,25 − q2
10); q = 10, q = 20, q = 30
6. Resuelva los siguientes problemas:
a) Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una pobla-
ción. El número de individuos infectados después de t meses está dado mediante
la fórmula:
N(t) = 1000(t0,5
+ t2
)
Encuentre N′(t). Evalúe N(9) y N′(9) e interprete estos valores.
b) Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de
educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que
una persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puede
esperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales, donde y = 5x
5
2 +
5900, 4 ≤ x ≤ 16. Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al
número de años de educación. Evalúela cuando x = 9.
c) Encuentre la razón de cambio del área A de un círculo con respecto a su radio
r si A = πr2. Evalúela cuando r = 7 pulgadas.
d) Él volumen V de una célula esférica está dado por V = 4
3 πr3 donde r es el
radio. Encuentre la razón de cambio del volumen con respecto al radio cuando
r = 6,5x10−4 centímetros.
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3. 7. Resuelva los siguientes problemas:
a) La función de costo total de una fábrica de medias es estimada por Dean como:
c = −10489,69 + 6,750q − 0,000328q2
donde q es la producción en docenas de pares y c es el costo total.Encuentre la
función de costo marginal y evalúela cuando q = 5000.
b) La función de costo total para una planta de energía eléctrica es estimada por:
c = 32,07 − 0,79q + 0,021q2
− 0,0001q3
20 ≤ q ≤ 90
donde q es la producción total en 8 horas y c el costo total en dólares del
combustible. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q = 70.
c) Para la función costo:
c = 0,2q2
+ 1,2q + 4
¿Qué tan rápido cambia c con respecto a q cuando q = 5?.
d) Para cierto fabricante, el ingreso r obtenido al vender q unidades de un producto
está dado por:
30q − 0,3q2
¿Qué tan rápido cambia r con respecto a q?
¿Determinar para q = 10?.
e) Un fabricante de bicicletas de montaña determinó que cuando se producen 20
bicicletas por día, el costo promedio es de $150 y el costo marginal de $125. Con
base de está información, determine el costo total de producir 21 bicicletas por
día.
8. En los problemas siguientes cada ecuación representa una función de demanda para
cierto producto, donde p denota el precio por unidad para q unidades. En cada caso,
encuentre la función de ingreso marginal. Recuerde que ingreso = pq.
a) p = 25 − 0,02q
b) p = 500
q
c) p = 108
q+2 − 3
d) p = q+750
q+50
e) p = 10
q−6 − 3q
9. Resolver los siguientes problemas.
a) El número de dólares del precio total de la manufactura de x relojes en cierta
fábrica está dada por
C(x) = 1500 + 30x +
20
x
Encontrar
La función de costo marginal.
El costo marginal cuando x = 40.
El costo de la manufacturera del cuadragésimo primer reloj.
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4. b) Si función de costo total es C(x),
C(x) = 0,2x2
+ 5x + 20000
Determinar el costo promedio y el costo marginal.
c) Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y la
cantidad de producción aumenta a razón de dos unidades por semana. Si C(x)
dólares es el costo de producción de x unidades, donde
C(x) = 0,08x3
− x2
+ 10x + 48
Calcule la rapidez actual a la que el costo de producción aumenta.
d) Si la función de costo total para un fabricante está dada por:
c =
5q2
√
q2 + 3
+ 5000
donde c está en dólares, encuentre el costo marginal cuando se producen 10
unidades.
e) La población P de una cierta ciudad dentro de t años está dada por:
P = 20000e0,03t
Encuentre la razón de cambio de la población con respecto al tiempo t dentro
de cuatro años. Redondee su respuesta al entero más cercano.
10. Resolver
El número de dólares del costo total de la producción de x unidades de una mercancia
es
C(x) = x2
+ 4x + 8
Encontrar la ecuación que defina
a) El costo promedio.
b) El costo marginal y costo promedio marginal.
c) Trazar las curvas del costo total, del costo promedio y del costo marginal en el
mismo sistema de coordenadas, verificar que los costos promedios y marginales
son iguales cuando el costo promedio tiene un valor mínimo.
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