calculo en fenómenos naturales y procesos sociales

M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 79
4) ¿Cuál es el resultado de la siguiente integral?
A)
B)
C)
D)
5) Encuentra el valor de esta integral indefinida
A)
B)
C)
D)
6) Si se tiene que , ¿cuál es su integral indefinida?
A)
B)
C)
D)
 =
+ dx
7)
(3x
3x 2
c
7)
(3x 2
3
2
+
+
c
3
7)
(3x
2
2
3
2
+
+
c
2
7)
(3x
3
2
3
2
+
+
c
3
7)
(3x
2
3
2
+
+
=
−
+
+
 )dx
2
3x
(5x
1)
(5x 3
2
c
2)
3x
2(5x 3/2
3
+
−
+
c
2)
3x
(5x 3/2
3
+
−
+
c
2)
3x
(5x
9
2 3/2
3
+
−
+
c
2)
3x
(5x
9
2 1/2
3
+
−
+
 =
+
dy
5
2y
3y
2
c
5)
(2y
2
3 1/2
2
+
+
c
5)
(2y
3
2 1/2
2
+
+
c
5)
(2y
2
3 3/2
2
+
+
c
5)
(2y 1/2
2
+
+

7) Observa cada una de las gráficas de las funciones dadas y menciona para cuál(es) de las
funciones dadas se cumple que el límite cuando x tiende a cero existe.
f(x) = 1/x
(1
g(x) = (x2
- 4)/(x - 2)
(2
h(x) = |x|
(3
A) Sólo para 1
B) 2 y 3
C) 1 y 3
D) Sólo para 2

8) ¿Cuál es el resultado de resolver el siguiente límite?
A) No está definida
B) 0
C) 2
D) No existe
9) Calcula e identifica la opción que NO corresponde con el valor de la integral
A)
B)
C)
D)
10) ¿Cuál es el resultado de la integral indefinida ?
A)
B)
C)
D)
f(x)
lim
2
x +
→
 =
+ dy
4y)
(y 2
2
( ) c
80
4
30y
5
3y
15
1
+
+
+
c
y
3
32
4y
y
5
2 3
4
5
+
+
+
c
y
3
16
2y
y
5
1 3
4
5
+
+
+
c
3
y
3
1
4
y
4
1
5
y +
+
+
 + )dx
x
(x3
c
x
x 2
3
4
+
+
c
x
2
1
3x
2
/
1
2
+
+
−
c
x
2
3
x
4
1 3/2
3
+
+
c
x
3
2
x
4
1 3/2
4
+
+

11) ¿Cuál es el resultado de calcular la integral indefinida ?
A)
B) 2x − 2 + x + c
C)
D) x3
− x2
− x + c
12) Determina la antiderivada general de la función:
A)
B)
C)
D)
13) ¿Cuál es la antiderivada general f(x) + c de ?
A)
B)
C)
D)
 =
+
−
dx
x
1
2x
x
2
3
4
c
x
x
x
3
1 2
3
+
−
−
c
x
1
x
x
3
1 2
3
+
−
−
4
5
x
3
x
4
f(x) −
=
c
12x
20x
f(x) 3
4
+
+
−
= −
−
c
4x
5x
f(x) 3
4
+
+
−
= −
−
3
4
x
x
f(x) −
−
−
=
c
x
x
f(x) 3
4
+
+
−
= −
−
7
3
x
6
x
1
f(x) +
=
c
42x
3x 8
4
+
−
− −
−
c
x
x
2
1 6
3
+
−
− −
−
c
x
x
2
1 6
2
+
−
− −
−
c
x
x
2
1 7
2
+
−
− −
−

14) ¿Cuál es la antiderivada de la función siguiente?
A)
B)
C)
D)
15) Al obtener la integral o antiderivada se obtiene:
A)
B)
C)
D)
16) ¿Cuál es el valor de la integral ?
A)
B)
C)
D)
2
2
3
x
1
3x
2x
f(x)
+
−
=
c
2
x
x
2
3
2
x2
+
−
−
c
x
3x
x 1
2
+
−
− −
c
x
x
2
3
x 2
2
+
−
− −
c
x
1
3x
x
2
1 2
+
−
−
 =
−3)dy
(y
y 2
2
c
6y
y
5
1
f(y) 5
+
−
=
c
2y
y
5
1
f(y) 2
5
+
−
=
c
y
y
5
1
f(y) 3
5
+
−
=
c
6y
4y
f(y) 3
+
−
=
 =
+
−
dx
x
1
3x
x 2
3
c
2x
x
5
6
x
7
2 1/2
5/2
7/2
+
+
−
c
2x
x
5
2
x
7
2 1/2
5/2
7/2
+
+
−
c
x
x
5
6
x
7
2 1/2
5/2
7/2
+
+
−
c
x
2
1
x
2
5
x
2
7 1/2
5/2
7/2
+
+
−

17) Resuelve la integral y seleciona la opción que contiene su resultado.
A)
B) 4x3
+ 4x + c
C)
D)
18) Calcula la siguiente integral:
A)
B) 6x5
− 2x + c
C) x7
− x3
+ c
D) 7x7
− 3x3
+ c
19) Resuelve la integral definida con las condiciones dadas.
A)
B)
C)
D)
20) ¿Cuál es el resultado de utilizando el teorema fundamental del cálculo?
A)
B)
C)
D)
 =
+ dx
1)
(x 2
2
c
x
x
x
5
1 3
5
+
+
+
c
x
x
3
2
x
5
1 3
5
+
+
+
c
x
x
3
2
x 3
5
+
+
+
 − dx
1)x
(x 2
4
c
x
3
1
x
7
1 3
7
+
−
=
+
−
−
2
1
2
3)dx
2x
(3x
5
3x]
x
[x 2
1
2
3
=
+
− −
6
57
3x]
2
x
3
x
[ 2
2
3
1
=
+
− −
15
3x]
x
[x 2
1
2
3
=
+
− −
18
2]
[6x 2
1 =
− −
 =
+
2
1
3
7)dx
(4x
22
7x]
[x 2
1
4
=
+
4
43
7x]
x
4
1
[ 2
1
4
=
+
36
]
[12x 2
1
2
=
38
7x]
[x 2
1
4
=
+

21) ¿Cuál es el valor de la integral ?
A)
B)
C) 8x3
− 6x = 2
D)
22) Dadas las siguientes relaciones, identifica cuales representan a una función:
R1 = [(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)]
R2 = [(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)
R3 = [(1, - 1), (1, 1) (4, - 2), (4, 2), (9, - 3), (9, 3)]
R4 = [(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)]
R5 = [(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7)]
A) R3, R4 y R5
B) R2 y R5
C) R1 y R3
D) R1, R2 y R4
23) Encuentra el valor de F(2), en la función F(x) = 2x2
+ 4x + 2.
A) 14
B) -2
C) 18
D) 2
24) El costo mensual C, en pesos, para llamadas locales en cierta compañía de teléfonos
celulares está dado por la función
C(x) = 0.25x + 10, donde x es el número de minutos usados.
Si dispones de $47, ¿cuántas horas puedes usar el celular?
A) 2.47
B) 3.80
C) 3.08
D) 4.93
 =
+
−
1
0
2
4
5)dx
3x
(2x
3
20
5x
x
3
1
2x 3
5
=
+
−
5
22
5x
x
x
5
2 3
5
=
+
−
5
32
5x
x
x
5
2 3
5
=
+
−

25) El volumen V de un cono circular recto de radio R y altura H está dado por la fórmula V =
2R2
H.
Se pide expresar la altura H como una función de V y R y evaluar H, para R = 1 cm y V = 3 cm3
.
A) H = V/(2R2
) , H = 1.5 cm
B) H = V+2R2
, H = 5.0 cm
C) H = V-2R2
, H = 1.0 cm
D) H = 2VR2
, H = 6.0 cm
26) ¿Cuál es el límite de la función f(x) = 4, cuando el límite de x→0?
A) 4
B) 2x
C) 1
D) 2
27) Con ayuda de la gráfica encuentra .
A) 1
B) 2
C) 3
D) 0
f(x)
lim
-
1
x→

28) De acuerdo con los datos mostrados en la gráfica, encuentra la función f(x).
A)
B)
C)
D)
29) ¿Cuál es el resultado del siguiente límite?
lim (5 + x2
)
x → 9
A) 
B) 81
C) 86
D) - 76






=
=
=
1
1
si
3
-
1
x
si
1
-
1
x
si
2
f(x)






=

=
1
x
si
3
-
1
x
si
1
-
1
x
si
2
f(x)






=

=
x
1
si
3
-
1
x
si
1
-
1
x
si
2
f(x)





=
1
1
si
3
-
1
x
si
2
f(x)

30) ¿Cuánto vale el límite que se te presenta? indica las operaciones.
lim(x3
- 3x2
+ 2x - 3)
x → 0
A) No existe porque la función no es factorizable.
B) Derivando: (0)2
- 3(0)1
+ 2 = 2
C) (0)3
- 3(0)2
+ 2(0) - 3 = - 3
D) (0)3
- 3(0)2
+ 2(0) - 3 = 3
31) Encuentra el siguiente límite:
A) -2
B) 2
C) No existe
D) 0
32) Realiza los cálculos necesarios y determina el límite de:
A) 1
B) 3
C) 5
D) -3
33) Calcula el siguiente límite:
A) - 4
B) No existe porque la función no es factorizable
C) 4
D) 0
3 3
8
x
x
lim
0
x
−
−
→
1
x
1
x
lim
2
2
x −
−
→
)
2
(
2
lim x
x
+
−
→

34) ¿Cuál es el resultado al resolver este límite?
A) 
B) -4
C) 0
D) 4
35) Encuentra el resultado de
A) 5
B) 3
C) 2
D) 4
36) Determina el siguiente límite y justifica la respuesta:
A)
B)  No existe
C)
D)
37) Selecciona la opción que completa el siguiente enunciado:
"Puede f ser una función definida en un intervalo cerrado [a,b], por lo tanto la función f será
continua en [a, b], si también lo es en (a, b) y además si se cumplen las condiciones,
________________ y ________________."
A) 
B) 
C) 
D) 
( )
4
lim
0
x→
)
2
x
(3
lim
2
x
−
+
→
3 3
8
x
x
lim
0
x
−
−
→
0
=
=
−
=
−
−
→
3
3 3
3 3
0
0
0
8
x
x
lim
0
x
3
3 3
8
8
x
x
lim
0
x
−
=
−
−
→
2
=
−
=
−
−
=
−
−
→
3
3 3
3 3
8
8
0
0
8
x
x
lim
0
x
2
−
=
−
=
−
−
=
−
−
→
3
3 3
3 3
8
8
0
0
8
x
x
lim
0
x
( ) ( )
a
f
x
f
lim
a
x
=
+
→
( ) ( )
b
f
x
f
b
x
=
−
→
lim
( ) L
x
f
lim
0
x
=
→
( ) ( )
b
f
x
f
lim
a
x
=
−
→
( ) ( )
a
f
x
f
lim
a
x
=
+
→
( ) L
x
f
lim
0
x
=
→
( ) ( )
a
f
x
f
lim
a
x
=
+
→
( ) ( )
b
f
x
f
b
x
=
−
→
lim

38) ¿Qué tipo de discontinuidad tiene la función f(x) = 1/x?
A) De segunda especie
B) Evitable
C) De salto finito
D) No evitable
39) La f(x) = x2
+ 2x + 1 es una función polinomial. Encuentra su límite cuando x tiene a 2 y
determina si es continua en este punto.
A) 9, no es continua.
B) 7, sí es continua.
C) 9, sí es continua.
D) 7, no es continua.
40) Si se tienen las funciones continuas f(x) = x + 4 y g(x) = x + 1, encuentra el siguiente límite:
A) 2
B) -2
C) -0.66
D) -6
41) A continuación se te presentan las funciones continuas
f(x) = 2x + 3 y g(x) = x + 1.
Tómalas en cuenta y encuentra el límite de .
A) 7, el límite existe
B) 3, el límite existe
C) 1, no existe límite
D) 5, no existe límite
42) ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en x = 3?
A)
B)
C)
D) g(x) = x - 3
( )
( )
x
g
x
f
lim
2
x→
( ) ( )
 
x
g
x
f
lim
1
x
+
→
3
x
3)
(x
h(x)
2
−
−
=
3
x
1
k(x)
−
=
9
x
3
x
f(x) 2
−
+
=

43) Determina cuales son los puntos de discontinuidad de la función .
A) 4, 2
B) -2,-4
C) 1, 4
D) 2, -2
44) La recta que pasa por un punto P y tiene una pendiente m(x1) y está dada por __________.
A)
B)
C)
D)
45) ¿Cuál es el punto P[2, f(2)] según la función f(x) = x2
+ 2x + 3?
A) P(2, 9)
B) P(2,11)
C) P(2, 5)
D) P(2, 3)
46) ¿Cuál es el punto P según la función f(x) = 2x2
+ 3x?
A) P
B) P
C) P
D) P
4
x
1
f(x) 2
−
=
( )
x
1
x
1
Δ
)
f(x
)
Δ
f(x
lim0
Δx
+
+
→
x
m
( )
x
1
x
1
Δ
)
f(x
)
Δ
f(x
lim0
Δx
−
+
=
→
x
m
( )
1
1
x
1
x
)
f(x
)
Δ
f(x
x lim
m
0
Δx
−
+
=
→
( )
)
f(x
)
f(x
)
Δ
f(x
x
m
1
1
x
1
lim0
Δx
−
+
=
→

47) Identifica la ecuación de la recta tangente a la gráfica que se muestra a continuación:
A) y - 3 = 0
B) y = x
C) -y = 3
D) y - 4 = 0
48) Si se tiene que y= v(t) es una función de velocidad de un automóvil al tiempo t, ¿cuál es la
razón media de variación de v(t) con respecto a t, en el intervalo
[t, t + h]?
A)
B)
C)
D)
49) Encuentra la pendiente de la recta que es tangente a la función f(x) = x2
+ 1 que pasa por el
punto (-1, 2).
A) 1
B) 2
C) -1
D) -2

50) El valor de la pendiente de la recta tangente en el punto (2,1) según la función f(x) = 2x – 5
es:
A) -2
B) 0
C) 2
D) -5
51) Si se deja caer un objeto desde un globo a 300 ft de altura sobre el suelo, entonces su altura
a los t segundos es 300-16t2
. Encuentra la velocidad en ft/s en t = 3 segundos.
A) -96
B) -48
C) -144
D) 48
52) El volumen de un cubo de lado s es V = s3
. Localiza el ritmo de cambio del volumen con
respecto a s cuando s = 4 centímetros.
A) 48
B) 64
C) 16
D) 12
53) Observa la siguiente función y = 3x2
– 5x + 4 y determina la razón de cambio de y con respecto
a x.
A) - 6x + 5
B) 6x + 3h - 5, h  0
C) 6x - 5
D) No existe dicha tasa
54) Como parte de tus ejercicios de práctica se te pide que dejes caer una bola desde lo alto de
un edificio con una velocidad inicial de 384 pies/s y tienes que calcular su velocidad en m/s tras
5 segundos.
¿Cuál es la velocidad que posee la bola en ese momento?
A) 68
B) 166
C) 277
D) 335

55) ¿Cuál es la fórmula que determina la derivada de una función?
A)
B)
C)
D)
56) ¿A qué es igual la derivada de una función f(x) evaluada en el punto a, de una recta que es
tangente a la función f(x) en el punto (a, b)?
A) El mismo punto (a, b)
B) La variable independiente
C) Pendiente de la recta
D) La función f(x)
57) Identifica la derivada de f(x) = k2
, donde k es una constante.
A) 1
B) 2k
C) 0
D) k3
/3
58) ¿Cuál es la fórmula correcta para calcular la derivada de
f(x) = x3/5
?
A)
B)
C)
D)
59) ¿Cuál es la derivada de f(x) = -x3
?
A) -3x2
B) -2x2
C) -3x3
D) 3x2
Δx
f(x)
Δx)
f(x
(x)
f lim
0
Δx
−
+
=

→
f(x)
Δx)
f(x
(x)
f lim
0
Δx
−
+
=

→
Δx
f(x)
Δx)
f(x
(x)
f lim
0
Δx
+
+
=

→
Δx
f(x)
Δx)
f(x
(x)
f lim
0
Δx
−
−
=

→
nx
dx
dx 1
−
= n
n
nx
dx
dx 1
+
= n
n
nx
dx
dx n
n
=
x
dx
dx n
n
=

60) ¿Cuál de los siguientes enunciados define a la derivada de una función f?
Es la pendiente de la ____________ a la gráfica de la función.
A) perpendicular a la secante
B) recta tangente
C) recta perpendicular
D) recta secante
61) La pendiente de una línea tangente que toca a una curva en un punto cualquiera es igual a
la __________.
A) función
B) derivada
C) integral
D) recta
62) El incremento de una variable resulta de la __________ entre el valor final y el inicial de la
misma variable.
A) suma
B) multiplicación
C) diferencia
D) división
63) La derivada en cualquier punto de la curva es la __________ de la tangente de la curva en
ese punto.
A) pendiente
B) diferencia
C) resultante
D) línea
64) Deriva la función f(x) = 2x5
– 7x6
+ 5x4
– 9x + 1 y selecciona la opción que contiene el resultado
f'(x) =
A) 10x4
– 42x5
+ 20x3
– 9
B) 10x4
– 42x5
+ 20x3
– 8
C) 10x4
+ 42x5
+ 20x3
– 9
D) 30x4
- 42x5
- 9
65) Calcula la derivada de f(x) = x (x2
- 3 )
A) 3x2
- 3x - 3
B) 3x2
C) 3x2
- 3
D) 4x - 3

66) Determina la derivada de la función
f(x) = 3(2x²-5x+1)
A) f'( ) = 3(2x²-5x+1)
ln(3) (4x+5)
B) f'(x) = 4x - 5(ln3) 3(2x²-5x+1)
C) f'( ) = 3(2x²-5x+1)
ln(3)(4x-5)
D) f'(x) = 3(2x²-5x+1)
(4x-5)
67) ¿Cuál es la derivada de f(x) = cos (2x3
- 3x)?
A) (6x2
- 3) cos (2x3
- 3x)
B) - cos (2x3
- 3x) 6x2
- 3
C) - (6x2
- 3) sen (2x3
- 3x)
D) - 6x2
- 3 sen (2x3
- 3x)
68) Deriva y selecciona la opción que representa su resultado.
A)
B) f'(x) = −2x3/2
C) f'(x) = −2x−
3/2
D)
69) ¿Cuál es la derivada de la función ?
A) +4
B)
C)
D) 2
x
1
f(x)=
3/2
x
2
1
(x)
f −
=

3/2
x
2
1
(x)
f −
−
=

4
x
f(x) +
=

70) ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = cos (x3
+ 5x)?
A) - 3x2
+ 5 sen (x3
+ 5x)
B) - (3x2
+ 5) sen (x3
+ 5x)
C) (3x2
+ 5) cos (x3
+ 5x)
D) - cos (x3
+ 5x) 3x2
+ 5
71) ¿Cuál es la derivada de ?
A)
B)
C)
D)
A) f'(x) = 2x
B)
C)
D)
73) Identifica la derivada de f(x) = tan (x2
− 5x + 9)
A) f'(x) = −(2x − 5)sec2
(x2
− 5x + 9)
B) f'(x) = 2x − 5sec2
(x2
− 5x + 9)
C) f'(x) = tan (2x − 5)
D) f'(x) = (2x − 5)sec2
(x2
− 5x + 9)
3 3/2
x
f(x)=
x
1
x
2
1
2
x
x
2
1
x
x
(x)
f
2
+
=
2
2
1)
(x
2x
x
-
(x)
f
+
−
=

2
2
1)
(x
2x
x
(x)
f
+
+
=

2
2
1)
(x
2
-
2x
x
(x)
f
+
+
=


74) Encuentra la derivada de f(x) = (3x + 4) (5x - 9)
A) 30x - 47
B) 30x + 47
C) 30x
D) 30x - 7
75) ¿Cuál es la derivada de f'(x) = e(x²+5x-1)
?
A) f'(x) = (2x+5)e(x²+5x-1)
B) f'(x) = e(2x+5)
C) f'(x) = 2x+5e(x²+5x-1)
D) f'(x) = (2x+5-0)e(x²+5x-1)
= (7x)e(x²+5x-1)
76) ¿Cuál es la derivada de f(x) = log3 (x2
+ x), en donde (x + x2
) > 0?
A)
B)
C)
D)
77) ¿Cuál es el valor del incremento de la función que se requiere para que la derivada resultante
sea cero?
A) x = 1
B) y = 1
C) y = 0
D) x = 0
78) ¿Cuál es la derivada de f(x) = (3x - 8)2/3
?
A) 2(3x - 8)1/3
B) 2(3x)-1/3
C) 2(3x - 8)-1/3
D) [6(3x - 8)-1/3]
/9
1
2x
x)ln3
(x
1
(x)
f 2
+
+
=

1)
(2x
x)ln3
(x
1
(x)
f 2
+
+
=

1)
(2x
ln3
x
x
1
(x)
f 2
+
+
=

1
2x
ln3
x
x
1
(x)
f 2
+
+
=


79) Deriva
A)
B)
C)
D)
80) ¿Cuál es la derivada de f(x) = x3/5
?
A)
B)
C)
D)
81) ¿Cuál es el resultado de derivar la función f(x) = sen (x2
)?
A) - cos (2x)
B) - 2x cos (x2
)
C) (2x) cos (x2
)
D) cos (2x)
82) ¿Qué opción corresponde a la derivada de f(x) = x (x+1) (x2
– 3)?
A) 4x3
+ 3x2
- 6x
B) 4x3
+ 3x2
+ 6x - 3
C) 4x3
+ 3x2
– 6x – 3
D) 4x3
- 3x2
- 3
1
x
x
f(x) 2
−
=
2
2
2
1)
(x
1
x
(x)
f
−
+
−
=

2x
1
(x)
f =

2
1)
(x
1
(x)
f
−
−
=

2
2
2
1)
(x
1
x
(x)
f
−
+
=

2/5
5x
3
(x)
f =

3/4
x
5
3
(x)
f =

2/4
x
5
3
(x)
f =

2/5
x
5
3
(x)
f =


83) ¿Cuál es la derivada de f(x) = x3
– 2x2
+ x – 9?
A) 3x2
+ 4x + 1
B) 3x2
– 4x - 8
C) 3x2
– 4x + 1
D) -x2
+ 1
84) Si n es un número entero positivo y f(x) = xn
, de acuerdo con la regla de diferenciación para
potencias con exponentes enteros positivos indica a que es igual su derivada.
A) f'(x) = nxn-1
B) f'(x) = nxn+1
C) f'(x) = (n-1)xn
D) f'(x) = (n-1)xn-1
85) ¿Cuál es la regla para derivar la función h(x) donde h(x) es el producto de f(x) y g(x) y éstas
últimas son funciones derivables?
A) h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
B)
C) h'(x) = f(x)g'(x) - g(x)f'(x)
D) h'(x) = f'(x)g'(x) + g(x)f(x)
86) Observa la siguiente f(x) = x3
y g(x) = x5
y encuentra la derivada de h(x) que representa la
suma de las funciones f(x) y g(x).
A) h'(x) = 3x2
+ 5x4
B) h'(x) = 8(x2
+x4
)
C) h'(x) = 8x6
D) h'(x) = 3x2
- 5x4
87) ¿Cuál es la diferencial dy de y = 5x2
-8?
A) 5x + dx
B) 5xdx
C) 10xdx
D) 10x + dy
2
(g(x))
(x)
g(x)f'
-
(x)
f(x)g'
(x)
h' =

88) ¿Cuál es la diferencial de la suma de las dos funciones diferenciables u(x) y v(x)?
A) u+v
B)
C)
D)
89) ¿En cuál de las siguientes opciones aparece y
si y = f(x) y x es un incremento de x?
A)
B)
C) f(f(x) + x) - x
D) f(x + x) - f(x)
90) Si y = f(x) es una función derivable y x es un incremento de x, la diferencial de la variable
dependiente y es ____________.
A) dy = y x
B) dy = f'(x) x
C) dy = f(x + x) + f(x)
D) dy = y + f'(x)
91) Si y= 2x, y' = 2 y x es un incremento de x, la diferencial de la variable dependiente y es
_________.
A) dy = 2x x
B) dy = 2 x
C)
D) dy = 2 y x
92) El valor del incremento debe aproximarse a _______ para que se pueda calcular la
derivada.
A) Dy
B) cero
C) uno
D) infinito
Δx
f(x)
Δx)
f(x
0
Δx
lim
−
+
→
Δx
f(x)
Δx)
f(x
0
Δx
lim
−
−
→
2
Δx
dy =
x


A) f´(x) =
B) f(x)´ =
C) f(x)´ =
D) f(x)´ =
94) Tomando en cuenta que f(x) = x2
y g(x) = x, encuentra la derivada de h(x) utilizando la derivada
de un producto de las funciones f(x) y g(x).
A) h'(x) = x3
+ 2x2
B) h'(x) = 2x + x3
C) h'(x) = 3x2
D) h'(x) = -x2
95) Tomando en cuenta que la f(x) = (x2
+2)y g(x) = (x-1) encuentra la derivada de h(x) donde h(x)
es el producto de f(x) con g(x).
A) 3x2
- 2x +2
B) -x2
+ 2x +2
C) x3
+ 2x2
D) -2x2
- 2x +2
96) Si f(x) = (x2
) y g(x) = (x), ¿cuál es la derivada de h(x) al usar la derivada de un cociente de las
funciones ?
A) h'(x) = 3
B) h'(x) = 1
C) h'(x) = -x2
D) h'(x) = -x
( ) x
x
f =
x
2
1
2
1
x
2
1
−
x
2
1
2
1
x
2
1
−
)
x
(
g
)
x
(
f

97) La derivada de la función es:
A) -5
B) x
C) 1
D) 5x4
98) De la siguiente lista selecciona la primera y segunda derivadas respectivamente para la
función f(x) = x3
+ 2x2
+ 2.
[1] f'(x) = 3x2
+ 4x
[2] f'(x) = 3x2
+ 4x + x-1
[3] f''(x) = 6x + 4 - x-2
[4] f''(x) = 5x + 5
[5] f''(x) = 6x + 4
A) [2] y [3]
B) [1] y [4]
C) [2] y [4]
D) [1] y [5]
99) ¿En cuál de los siguientes intervalos es decreciente la función de posición al tiempo t dada
por s(t) = -0.05t2
+ t?
A) [0, 10]
B) [5, 15]
C) [0, 20]
D) [10, 20]
100) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración en función del tiempo de la siguiente función que
representa la posición de un cuerpo que tiene un movimiento rectilíneo en donde d(t) = 2t2
+ t
metros?
A) v(t) = 4t + 1 m/s ; a(t) = 4 m/s2
B) v(t) = 4t + t m/s ; a(t) = 4 m/s2
C) v(t) = 4t + 1 m/s ; a(t) = 4t m/s2
D) v(t) = 4t - 1 m/s ; a(t) = 4 m/s2
101) ¿Cuál es la aceleración de un cuerpo en movimiento que tiene una velocidad en función del
tiempo de v(t) = 3t2
+ t m ?
A) a(t) = 6t + t m/s2
B) a(t) = 6t + 1 m/s2
C) a(t) = 5t + t m/s2
D) a(t) = 6t + -1 m/s2
2
3
x
x
f(x)=

102) Una partícula se desplaza a lo largo de una línea horizontal y su desplazamiento está
definido por la ecuación d(t) = t2
- 4t m., con estos datos, ¿cuál es la ecuación en función del
tiempo que describe su velocidad y el tiempo en el cual la velocidad instantánea es cero?
A) v(t) = 2t - 4 m/s y t = 2 segundos
B) v(t) = 2t - 4t m/s y t = 2 segundos
C) v(t) = 2t - 4 m/s y t = -2 segundos
D) v(t) = 2t + 4t m/s y t = -2 segundos
103) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10m/s. Considera
su movimiento hacia arriba positivo, t representa los segundos que transcurren hasta que la
pelota alcanza su altura máxima y su ecuación que describe su desplazamiento es d(t) = -9.81 t2
+ 10t m.
¿Cuál es la ecuación que describe la velocidad y el tiempo donde la pelota alcanza su punto
más alto?
A) v(t) = -7.62 t + 10 m/s y t = 1.31 segundos
B) v(t) = -19.62 t + 10 m/s y t = 0.5 segundos
C) v(t) = -7.62 t +10 m/s y t = -0.5 segundos
D) v(t) = -19.62 t + 10t m/s y t = 0.5 segundos
104) Selecciona la opción que completa la siguiente frase:
Una función F(x) es una antiderivada de otra función f(x) si se cumple que __________.
A) F(x) = f'(x)
B) F'(x) = f(x)
C) F(x) = f(x)
D) F'(x) = f'(x)
105) ¿Cuál de las siguientes formulas se utiliza para encontrar la antiderivada de una función
f(x) = xn
donde n y p son números racionales?
A) (xn
)(xp
)
B) (xn
)p
C)
D) nxn-1
1
n
x 1
n
+
+

106) ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = x5
?
A) F(x) = x6
+ C
B) F(x) = 6x6
+ C
C)
D)
107) ¿Cuál es la antiderivada de f(x) = ?
A)
B)
C)
D)
108) Si deseas calcular la antiderivada general de la función
f(x) = 2x3
- 1
¿Cuál de las siguientes fórmulas de integración es la que debes usar para iniciar el proceso?
A)
B)
C)
D)
C
6
x
F(x)
6
+
=
C
6
x
F(x)
6
+
−
=
4 3
x
C
x
7
4
F(x) 7
4
+
=
C
x
7
4
F(x) 4
7
+
=
C
x
4
7
F(x) 4
7
+
=
C
x
7
4
F(x) 4
7
+
−
=
 
= udu
c
cudu
 +
= c
kx
kdx
c
1
n
u
du
u
1
n
n
+
+
=

+
  
 +
+
=
+
+ wdx
vdx
udx
w)dx
v
(u

109) Para calcular la antiderivada más general de la función f(x) = (x-5)9
, ¿cuál fórmula de
integración debes utilizar para iniciar el proceso?
A)
B)
C)
D)
110) ¿Qué fórmula de integración debes utilizar para calcular la antiderivada la función
?
A)
B)
C)
D)
111) ¿Cuál es la constante por la que debes multiplicar la integral para completarla al
emplear la fórmula
donde u = 2x-1 y du = 2dx?
A)
B)
C) 22
D) 2
c
1
n
x
du
x
1
n
n
+
+
=

+
 
 −
=
− vdx
udx
v)dx
(u
 

 +
+
=
+
+ wdx
vdx
udx
w)dx
v
(u
c
1
n
u
du
u
1
n
n
+
+
=

+
8
2x
f(x) +
=
c
1
n
x
du
x
1
n
n
+
+
=

+



 +
+
=
+
+ wdx
vdx
udx
w)dx
v
(u
c
1
n
u
du
u
1
n
n
+
+
=

+
 
 −
=
− dx
v
dx
u
dx
v)
(u n
n
n
 −1
2x
dx
 u
du
2
2
2
1

112) La operación inversa de la derivada es la _____________.
A) pendiente
B) tangente
C) diferencial
D) integral
113) ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = ?
A)
B)
C)
D)
114) ¿Cuál es la antiderivada de [F(x) + G(x)] si f(x) = x2
y g(x) = 2x?
A)
B)
C)
D)
115) Determina la antiderivada de la función f(x) = x4
+ x3
+ 2x2
+ x
A)
B)
C)
D)
3
x
1
C
2x
1
F(x) 2
+
−
=
C
2x
1
F(x) 2
+
−
= −
C
2x
1
F(x) 2
+
=
C
4x
1
F(x) 2
+
−
=
C
x
x
3
1
G(x)]
[F(x) 2
3
+
+
=
+
C
x
x
3
1
G(x)]
[F(x) 2
3
+
−
=
+
C
x
x
3
1
G(x)]
[F(x) 2
3
+
+
−
=
+
C
x
2
1
x
3
1
G(x)]
[F(x) 2
3
+
+
=
+
C
x
2
1
x
3
2
x
4
1
x
5
1
F(x) 2
3
4
5
+
+
+
+
=
C
x
x
3
2
x
4
1
x
5
1
F(x) 2
3
4
5
+
+
+
+
=
C
x
2
1
3x
x
4
1
x
5
1
F(x) 2
3
4
5
+
+
+
+
=
C
x
2
1
x
3
2
x
4
1
5x
F(x) 2
3
4
5
+
+
+
+
=

116) ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = (x+2)2
?
A)
B)
C)
D)
117) ¿Cuál es la antiderivada más general de f(x) = (x - 1)2
?
A) 3(x − 1)3
+ c
B)
C)
D) 2(x − 1) + c
118) ¿Cuál es el resultado de calcular ?
A) 2 + C
B) x2
+ x + C
C) 2x2
+ x + C
D) x2
+ C
119) ¿Cuál es el resultado de ?
A) 1 + C
B) ln x + ln5 + C
C) x + 5 + C
D) ln (x + 5 )+ C
C
2x
2x
x
3
1
F(x) 2
3
+
+
+
=
C
4x
x
x
3
1
F(x) 2
3
+
+
+
=
C
4x
2x
x
3
1
F(x) 2
3
+
+
+
=
C
4x
2x
x
3
1
F(x) 2
3
+
+
−
=
c
x
x
3
1 3
+
−
c
1)
(x
3
1 3
+
−
 +1)dx
(2x
 +5
x
dx

120) Determinar el valor de .
A)
B) 4x4
− 2x2
+ c
C)
D) 3x2
− 2 + c
121) ¿Cuál es el valor de calcular la integral como se indica en ?
A)
B)
C) (3x − 1)4
+ c
D)
122) A partir del teorema fundamental del cálculo, encuentra el valor de .
A) F(x) = 60
B) F(x) = 4.75
C) F(x) = 3.75
D) F(x) = -3.75
123) ¿Cuál es el valor de ?
A) F(x) = 1.33
B) F(x) = 0.66
C) F(x) = -0.66
D) F(x) = -1.33
 − 2x)dx
(x3
c
x
4
x 2
4
+
−
c
x
2
4
x 2
4
+
−
 − dx
1)
(3x 3
c
x
x
4
27 3
+
−
c
1)
(3x
12
1 4
+
−
c
4
1)
(3x 4
+
−
dx
x
2
1
3

 +
1
0
2
1)dx
(x

124) Ale tiene que hacer una tarea donde le piden investigar sobre Teorema fundamental del
cálculo. En lugar de consultar el libro de texto Ale tuvo la idea de entrar a un foro de tareas en
Internet denominado "MiTarea . com". Después de plantear su pregunta obtiene varias
respuestas que deberá analizar antes de tomarlas como aceptables.
Esta es la secuencia de su diálogo:
Ale Hola todos: Alguien me puede decir ¿Cuál teorema debes utilizar para
calcular el área de una curva descrita por una función?
Enviado hace 2 horas
Juan Creo que va por el teorema fundamental del cálculo.
Una persona la calificó como buena
Miguel Es el teorema de la integral indefinida.
Ismy Seguramente es el teorema del valor medio para integrales.
Jonás Ps, yo me inclino + por el teorema de las sumas de Riemann.
Ale Gracias a todos, sus opiniones son interesantes, pero creo que solo
hay uno que acertó.
Enviado hace 1 hora
¿Quién dio una respuesta correcta a la pregunta de Ale?
A) Jonás
B) Juan
C) Ismy
D) Miguel

125) ¿Cuál es la expresión usada para calcular el área del espacio en blanco si A es el área
bajo la curva en el intervalo [a,b]?
A)
B)
C)
D)
126) Si se aplica el teorema fundamental del cálculo, ¿cuál es el valor de ?
A) F(x) = 1.66
B) F(x) = -1.66
C) F(x) = -0.6
D) F(x) = 0.6
127) ¿Cuál es el valor de después de ser calculado?
A) F(x) = 4.66
B) F(x) = 8.66
C) F(x) = 3.33
D) F(x) = -0.66
A
-
x
)
g(z
A
n
i
i
b
1
 
=
=
x
)
g(z
A
A
n
i
i
b
1
 
−
=
=
x
)
g(z
lim
A
A
n
1
i
i
b
0
x
 
−
=
=
→


−
=
=
n
i
b
1
i
)
g(z
A
A

0
1
3
2
dx
x
 +
+
2
0
2
3
x)dx
x
(x

128) Determina cual es el valor de .
A) F(x) = 11.68
B) F(x) = 7.91
C) F(x) = -7.91
D) F(x) = 17.80
129) Calcula la integral y selecciona la opción que contenga su resultado.
A) 8
B) 11/6
C) 2
D) 5/6
130) Al realizar los cálculos, ¿cuál es el valor de ?
A) -5
B) 0
C) 6
D) -6
131) Identifica el resultado de .
A) -37/3
B) 37/3
C) 111
D) -55/3
132) Si f(x) es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x = c, determina de
que manera se puede verificar si:
[C1] Es cóncava hacia arriba
[C2] Es cóncava hacia abajo
A) [C1- si f'(c) < 0] [C2- si f'(c) > 0]
B) [C1- si f"(c) > 0] [C2- si f"(c) < 0]
C) [C1- si f"(c) < 0] [C2- si f"(c) > 0]
D) [C1- si f'(c) > 0] [C2- si f'(c) < 0]
 +
2
0
2
2)dx
(x
2x
 −
+
1
0
2
1)dx
3x
(x
 −
1
1
-
3)dx
(x

4
3
2
dx
x

133) Realiza los cálculos necesarios y encuentra el valor de .
A) 1.36
B) 0.60
C) 2.42
D) 1.27
134) Si se conoce el desplazamiento que tiene un cuerpo en movimiento rectilíneo y se desea
encontrar la aceleración que lleva en un tiempo dado.
¿Qué concepto se debe usar para encontrar su aceleración?
A) Segunda derivada
B) Primera derivada
C) Integral definida
D) Tercera derivada
135) Si una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal y se desea encontrar la
velocidad en un punto dado, ¿qué derivada es necesaria para encontrar su velocidad?
1. Primera derivada.
2. Segunda derivada.
3. Tercera derivada.
A) Solo 3
B) 1 y 2
C) Solo 1
D) 2 y 3
136) ¿Cómo se representa la tasa de variación instantánea de "y" por unidad de variación de
"x" en y = f(x)?
A)
B)
C)
D)
 +
=
1
0
2
dx
1)
(x
x
f(x)
dx
dy
4
4
dx
y
d
3
3
dx
y
d
2
2
dx
y
d

137) Si y = f(x), la razón instantánea de cambio de "y" con respecto a "x" en un intervalo de [x,
x + x] se representa por __________.
A)
B)
C)
D)
138) La corriente eléctrica en un circuito es I (Ampere) está dada por donde V = 50 volts
y R=25 Ohm, encuentra la tasa de cambio o variación de la corriente I con respecto a R.
A) ampere/ohm
B) ampere/ohm
C) ampere/ohm
D) ampere/ohm
139) Si $ C´(x) representa el costo marginal en pesos por la fabricación de zapatos de una fábrica
y x representa el número de zapatos, encuentra el costo marginal cuando se fabrican 10 zapatos,
tomando en cuenta que C(x) = 10 + 5x + 2x2
.
A) $C'(x) = C'(10) = 405 pesos
B) $C'(x) = C'(10) = 90 pesos
C) $C'(x) = C'(10) = 55 pesos
D) $C'(x) = C'(10) = 45 pesos
x
Δ
x
Δ
)
x
Δ
f(x −
+
x
Δ
f(x)
)
x
Δ
f(x −
+
x
Δ
f(x)
)
x
Δ
f(x +
+
x
Δ
f(x)
)
x
Δ
f(x −
−
R
V
I =
2
dR
dI
−
=
0.08
dR
dI
=
2
dR
dI
=
0.08
dR
dI
−
=

140) Una fábrica de productos electrodomésticos determina que el costo marginal por producir
x extractores de jugo para el hogar esta dado por $ C(x) = 5 + 2x + 10x2
. Calcular el costo marginal
por producir 20 extractores de jugo.
A) $C'(x) = C'(20) = 407 pesos
B) $C'(x) = C'(20) = 8002 pesos
C) $C'(x) = C'(20) = 440 pesos
D) $C'(x) = C'(20) = 402 pesos
141) Si C (x) = 5x2
+1 es la función de costo al producir x unidades de algún bien de consumo,
¿cuál es la razón instantánea de cambio del costo C (x) con respecto a x?
A) C'(x) = 10x
B)
C) C(x + h) − C(x) = 5x2
+ 10xh + 5h2
+ 1
D)
142) Calcula el valor de .
A)
B) 4x3
+ 4x + c
C)
D) 5x5
+ 6x3
+ x + c
143) El volumen V de un lago durante la temporada de lluvias esta dado por V(t)=10(t+1)2
m3
.
Donde t esta dado en semanas que toma valores de t=0, 1, 2 y 3 semanas.
Determina el volumen de agua que llega al lago cuando t=2 semanas
A) 90m3
B) 70m3
C) 80m3
D) 43m3
x
1
5x
x
C(x)
+
=
h
1
5h
10xh
5x
h
(x)
C
h)
(x
C 2
2
+
+
+
=
−
+
( )dx
1
x
2
2
 +
c
x
3
2x
5
x 3
5
+
+
+
c
1)
(x
6
1 3
2
+
+

144) La temperatura T(°C) de una mezcla de un proceso químico en función de t, está dada por
T(t) = 10 + 30t + 2 , donde t esta dado en minutos.
Calcula la tasa de variación o cambios de T(t) con respecto a t.
A) 30t + 4t minutos
B) 40 + 4t minutos
C) 30 + 4t2
minutos
D) 30 + 4t minutos
145) Si m(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva
y = x3
+ x2
+ 1, ¿cuál es la tasa de variación instantánea de la pendiente m con respecto a x, y
su valor para el punto (1, 2)?
A) [y'' = 5x + 2x] [y'' = 8]
B) [y'' = 6x + 2] [y'' = 8]
C) [y'' = 5x + 2] [y'' = 7]
D) [y'' = 6x + 2] [y'' = 14]
146) La temperatura de una persona en grados centígrados después de sufrir una enfermedad
durante 3 días está dada por
f(t) = 35 + 10t-0.1t2
.
Encuentra la ecuación de la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo y la
tasa de variación de la temperatura cuando t = 3 días.
A) [f'(t) = 10 + 0.2t] [f'(3) = 10.6 °C]
B) [f'(t) = 10 - 0.2t] [f'(3) = 6.8 °C]
C) [f'(t) = 10 + 0.2t] [f'(3) = 12.8 °C]
D) [f'(t) = 10 - 0.2t] [f'(3) = 9.4 °C]
147) Un automóvil baja por una pendiente y la distancia que recorren en el tiempo esta dada
por d(t) = 220t-10t2
, donde t está en segundos.
Calcula la velocidad del automóvil en t = 5 segundos y
en t = 10 segundos.
A) v(t = 5) = 120m/seg y v(t = 10) = 20m/seg
B) v(t = 5) = 120m/seg y v(t = 10) = 420m/seg
C) v(t = 5) = 320m/seg y v(t = 10) = 420m/seg
D) v(t = 5) = 195m/seg y v(t = 10) = 20m/seg

148) Se define y=f(x) que establece el consumo de fertilizante en toneladas en función del
número x de hectáreas.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa una razón de cambio de +2 toneladas/hectárea?
A)
B)
C)

D)
149) Resuelve el siguiente problema:
A)
B)
C)
D)
s
/
cm
47
.
4
dt
dy
y
x
y
dt
dD
2
2
=
+
=
s
/
cm
22
.
0
dt
dy
y
x
1
dt
dD
2
2
=
+
=
s
/
cm
13
.
4472
dt
dy
y
x
y
2
dt
dD 2
2
=
+
=
s
/
cm
12
.
0
y
x
2
dt
dy
dt
dD
2
2
=
+
=

150) Determinar el intervalo en que está definida la función y sus puntos máximos y mínimos:
A)
B) ; Máximo absoluto en P(0,0)
C) ; Mínimo absoluto en P(0,0)
D)
151) La tabla presenta la tasa de crecimiento poblacional en México entre 1895 y 1975. Con
ayuda de EXCEL se obtuvo una expresión aproximada que permite calcular la tasa de
crecimiento en función del año, es decir y = f(X), donde X=0 corresponde a 1895 y el año 1935
corresponde con X=4.
Determina la velocidad de crecimiento poblacional (V) en 1935.
A) V = -0.066 X2
+ 0.55 X - 0.57 = 0.57
B) V = -0.022 X2
+ 0.55 X = 1.85
C) V = -0.066 X2
+ 0.275 X = 0.04
D) V = -0.022 X3
+ 0.275 X2
- 0.57 X + 1.37 = 2.08
2
x
9
16
y −
−
=
3
4
x
en
mínimo
,
3
4
x
en
Máximo
;
x +
=
−
=








+
−

3
4
,
3
4
x






+
−

3
4
,
3
4
x
3
4
x
en
máximo
,
3
4
x
en
Mínimo
;
x +
=
−
=



152) Se desea integrar
Indica la fórmula que permite resolverla y proporciona el resultado.
A) F2 : 6 (x+1)-2
+ C
B) F4 : 6 ln(x+1) + C
C) F1: 6 (x+1)-1
+ C
D) F3 : 6 (x+1)-1
+ C
153) .¿Cuál es la sustitución de variable apropiada para realizar estas integrales?
P1:
P2:
A) [P1: u = − x2
] [P2: u = sen 2x ]
B) [P1: u = 1 − x2
] [P2: u = 4 + sen 2x ]
C) [P1: u = (1 − x2
)3
] [P2: u = (4 + sen 2x)2
]
D) [P1: u = 3x ] [P2: u = cos 2x ]
 +
dx
1
x
6
 − dx
)
x
1
(
x
3 3
2
 +
dx
x
sen
x
2
)
2
4
(
2
cos

154) Utiliza la regla general de la potencia para determinar la integral:
A)
B)
C)
D)
dx
3
x
x
5 3
2

−
5
4
4
)
x
3
x
4
1
(
3
5
−
C
)
3
x
(
5
4 5
1
3
+
−
−
−
C
)
3
x
( 5
4
3
+
−
−
C
)
3
x
(
12
5 5
4
3
+
−

155) Determina la expresión que permite calcular el área entre las funciones:
y = −x2
+ 3x + 6
y = 3 − x
cuya gráfica se presenta en la figura:
A)
B)
C)
D)
156) .¿Cuánta energía W se requiere emplear para comprimir 10 cm un resorte de constante k =
1000N/m?
Información física:
1) La fuerza necesaria para deformar un resorte está dada por la ley de Hooke: F = kx, donde k es la
constante del resorte, x es el cambio de longitud.
2) La energía requerida es igual al trabajo de deformación del resorte: W = F x, donde F es la fuerza
aplicada, x es el incremento en la distancia recorrida por el resorte al aplicar dicha fuerza.
A)
B)
C)
D)

−
−
−
−
=
1
3
2
dx
)
3
x
4
x
(
A

−
−
−
−
=
1
3
2
dx
)
6
x
3
x
(
A

−
−
+
−
−
=
1
3
2
dx
)
3
x
3
x
(
A


−
−
−
−
−
+
+
+
−
=
3
1
1
3
2
dx
)
x
3
(
dx
)
6
x
3
x
(
A
 =
=
10
0
Nm
10000
xdx
1000
W
 =
=
1
.
0
0
Nm
5
xdx
1000
W
 =
=
1
.
0
0
Nm
50
xdx
1000
W
 =
=
1
.
0
0
2
Nm
33
.
0
dx
x
1000
W

157) El precio al público por año de un producto agrícola se reporta en la hoja de cálculo
mostrada EN MILES DE PESOS.
¿Cuál es el total recibido entre 2002 y 2006 en miles de pesos?
A)
B)
C)
D)
 =
−
=
−
=
2006
2002
2006
2002
2
40
.
2
$
20
)
1998
x
(
dx
10
1998
x
T
 =
−
=
−
= −
2006
2002
2006
2002
2
47
.
0
$
)
1998
x
(
10
xdx
1998
x
10
T
 =
−
=
−
=
2006
2002
2006
2002
93
.
6
$
)
1998
x
ln(
10
dx
1998
x
10
T
 =
−
=
−
= −
2006
2002
2006
2002
2
94
.
0
$
)
1998
x
(
20
dx
1998
x
10
T

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