Clase de matematica

1. Operaciones y potencia
Matemática 29/52

2. INTRODUCCIÓN
¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es la reunión de elementos bien definidos y
diferenciables entre si, que en general tienen características
similares.
¿Qué es un conjunto numérico?
Los conjuntos numéricos son las categorías en las que se
clasifican los números, en función de sus diferentes
características. Por ejemplo, si tienen o no una parte decimal,
o si poseen un signo negativo delante.

3. Números naturales (ℕ)
ℕ = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, … … . 𝟔𝟕, … … . 𝟐𝟑𝟒𝟖, … …
Números enteros (ℤ)
ℤ = … . . −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
Números racionales (ℚ)
ℚ =
𝒂
𝒃
: 𝒂, 𝒃𝜖 ℤ ⋀𝒃 ≠ 𝟎
CONJUNTOS NÚMERICOS

4. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
OPERACIONES EN ℚ
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
Inverso multiplicativo:

5. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
OPERACIONES EN ℚ : Ejemplos
• Suma:
• Multiplicación:
• División:

6. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
OPERACIONES EN ℚ : SIMPLIFICACIÓN
20
3
.
9
2
=
10
1
.
3
1
= 30
45
10
=
9.5
2.5
=
9
2
.
5
5
=
9
2
. 1 =
9
2
En la multiplicación:
20
3
:
2
9
=
10
3
En la división:
Fracciones equivalentes:

7. Números iraccionales(𝐈)
𝑝, donde p es primo
Números reales (ℝ)
ℝ ∈ (−∞, ∞)
CONJUNTOS NÚMERICOS

8. Números Reales (ℝ)
ℝ: ℚ ∪ 𝚰
ℤ
ℕ𝟎
ℚ 𝚰
0 1 2 3 4
ℕ𝟎
𝟎 𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ℤ
−𝟒
− 𝟑
− 𝟐
− 𝟏
−𝟏 −
𝟑
𝟒
−
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟒
𝟎
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
ℚ
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟓
ℤ
ℤ
= ℚ
−𝟐 −
𝟑
𝟐
− 𝟏 −
𝟏
𝟒
𝟎
𝟏
𝟒
𝟏 𝟐 𝟐
ℚ ∪ 𝑰
ℝ
𝟐
𝝅
𝒆
CONJUNTOS NÚMERICOS

9. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
PROPIEDADES
Es necesario recordar las propiedades de los números reales o axiomas
para su correcta aplicación. Esto asegura un manejo fluido de la
operatoria con los elementos del conjunto ℝ.

10. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
REGLA DE LOS SIGNOS EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

11. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
PROPIEDAD ASOCIATIVA
Dada una operación y 3 elementos de un conjunto, diremos que cumple con la
propiedad asociativa si el resultado no depende de la manera en la que se agrupan
los términos.
Ejemplo:

12. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Dada una operación y 2 elementos de un conjunto, diremos que cumple con la
propiedad CONMUTATIVA cuando al cambiar el orden de los términos,
permanece invariable el resultado.
Ejemplo:

13. EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO
Ejemplo:
OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
El elemento neutro de una operación, es un numero (n) que al ser
operado con cualquier otro número del conjunto a, se obtiene el valor del
mismo número a.
ℕ; + : {𝒏 = 𝟎}
ℕ; 𝐱 : {𝒏 = 𝟏}
a ⊗ n = n ⊗ a = a

14. EXISTENCIA DE INVERSO Y OPUESTO
INVERSO OPUESTO
Cuando sumamos a un número su opuesto o lo multiplicamos por su inverso,
obtenemos como resultado el elemento neutro (n) de la operación aplicada.
OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
En la multiplicación, todo número
a tiene un inverso a-1
En la adición, todo número a tiene
un opuesto (-a)
a x a-1 = n a + (-a) = n

15. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
DIVISIBILIDAD
Si al dividir un número n ∈ ℤ con otro número d ∈ ℤ y la división es exacta (sin
resto), diremos que n es múltiplo de d, que n es divisible por d, que d es divisor
de n, o que d divide a n.
cociente
EJEMPLO: 10 = 5.2 n = 10 d = 2 c = 5
2|10 10 es múltiplo de 2, 10 es divisible por 2, 2 es
divisor de 10 o 2 divide a 10

16. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
FACTORIZACIÓN
¿Recuerdan cómo factorizar un número para hallar el m.c.m. (mínimo común
múltiplo) y el M.C.D. (máximo común divisor)?
Para calcular el m.c.m (8,12) y el M.C.D (8,12), necesitamos conocer la
factorización de 8 y 12
8 2
4 2
2 2
1
12 2
6 2
3 3
1
8 = 2.2.2 12 = 2.2.3
• m.c.m.(8,12) = 2.2.2.3 = 24
24 es el menos número tal que
8|24 y 12|24
• M.C.D.(8,12) = 2.2 = 4
4 es el mayor número tal que
4|8 y 4|12

17. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO DE
LA SUMA
Ejemplo:
OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS

18. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
POTENCIACIÓN
base exponente
Al resultado lo
llamamos Potencia

19. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
POTENCIACIÓN - PROPIEDADES
1
Todo número elevado a la cero es
igual a uno
2
Todo número elevado a la uno es
igual a si mismo
3
Producto de potencias de igual base,
sumo exponentes
4
Cociente de potencias de igual base,
resto exponentes
5
Potencia de potencia, multiplicó
exponentes

20. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
POTENCIACIÓN - PROPIEDADES
Ejemplos con potencias negativas:

21. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
POTENCIACIÓN - PROPIEDADES
6
La potencia es distributiva
respecto al producto
7
La potencia es distributiva
respecto al cociente
8
Exponente negativo, invierto la
base
9 Exponente fraccionario

22. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
OPERACIONES: POTENCIA-PROPIEDADES
10) Cuadrado de un binomio
• 𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 2 + 22 = 𝑥2 + 4. 𝑥 + 4
• 𝑥 +
3
4
2
= 𝑥2 + 2. 𝑥.
3
4
+
3
4
2
= 𝑥2 +
3
2
𝑥 +
9
16
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2

23. OPERACIONES, PROPIEDADES
CÁLCULOS COMBINADOS
POTENCIACIÓN - PROPIEDADES
10) Cuadrado de un binomio - Resta
• 𝑥 − 2 2 = 𝑥2 + 2. 𝑥. −2 + 22 = 𝑥2 − 4. 𝑥 + 4
• 𝑥 −
3
4
2
= 𝑥2 + 2. 𝑥. −
3
4
+
3
4
2
= 𝑥2 −
3
2
. 𝑥 +
9
16

24. GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!!!!
Consultas:
jonatan.pendiuk@unab.edu.ar