Módulo Algebra: Ecuaciones Lineales

Módulo Algebra Página 1
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y
CIENCIAS AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: “ B ”
Ing. Oscar René Lomas Reyes
Nombre: Patricia Pusdá
Marzo 2013 – Agosto 2013

Contenido
INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 3
OBJETIVOS................................................................................................................................. 4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES..................................................................................... 5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................. 6
EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 7
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 9
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?....................................................................................................... 11
Partes de una ecuación........................................................................................................... 11
¡Exponente!............................................................................................................................. 12
PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 13
FACTORIZACIÓN...................................................................................................................... 15
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.................................................................................. 16
ECUACIONES LINEALES............................................................................................................ 16
SILABO......................................................................................................................................... 18

INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para
generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos
análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro
de la misma operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.
Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5
a ambos lados del signo igual (=), así:
x - 5 = 2
x - 5 + 5 = 2 + 5
x + 0 = 7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,
negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Elaborar el portafolio estudiantil
Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para
la evaluación.
Trabajar en forma grupal en la recolección de la información

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y
así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que
pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros
y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es
racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números y son
ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números
irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la
derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que
para todo número real a.
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y
después sumar todos los productos.

EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.
n = índice
x = radicando
y = raíz

=signo radical
Leyes radicales

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.

Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos
semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",
por ejemplo:
x + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo
que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un
número que todavía no conocemos.
Normalmente es una letra como x o
y.
Un número solo se llama una
constante.
Un coeficiente es un número que
está multiplicando a una variable (4x
significa 4 por x, así que 4 es un
coeficiente)
Un operador es un símbolo (como
+, ×, etc) que representa una
operación (es decir, algo que
quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o
variable solo, o números y variables
multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de
términos (los términos están
separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el
segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente
es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2
) dice cuántas veces
usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82
= 8 × 8 = 64
y3
= y × y × y
y2
z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4
z2
es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
segundo.
(a + b)2
= a2
+ 2 · a · b + b2
(X + 3)2
= x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
segundo.
(a − b)2
= a2
− 2 · a · b + b2
(2x − 3)2
= (2x)2
− 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x2
− 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2
− b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2
− 52
= 4x2
− 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3
= a3
+ 3 · a2
· b + 3 · a · b2
+ b3
(x + 3)3
= x 3
+ 3 · x2
· 3 + 3 · x· 32
+ 33
=
= x 3
+ 9x2
+ 27x + 27

Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3
= a3
− 3 · a2
· b + 3 · a · b2
− b3
(2x - 3)3
= (2x)3
- 3 · (2x)2
·3 + 3 · 2x· 32
- 33
=
= 8x 3
- 36 x2
+ 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado
del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el
segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por
el tercero.
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2
− x + 1)2
=
= (x2
)2
+ (−x)2
+ 12
+2 · x2
· (−x) + 2 x2
· 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4
+ x2
+ 1 − 2x3
+ 2x2
− 2x =
= x4
− 2x3
+ 3x2
− 2x + 1
Suma de cubos
a3
+ b3
= (a + b) · (a2
− ab + b2
)
8x3
+ 27 = (2x + 3) (4x2
- 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3
− b3
= (a − b) · (a2
+ ab + b2
)
8x3
− 27 = (2x − 3) (4x2
+ 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2
+ ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2
+ (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2
+ 5x + 6

FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de
polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se
dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e
inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de
cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.
Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado
como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al
primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del
signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:
Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:
Factorización de cubos perfectos de binomios.

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,
pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización
total de la expresión.
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA
ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia
(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden
representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) Ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas
es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede
serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en
el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
C . ECUACIONES LITERALES
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla.

SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA
Formar profesionales humanistas,
emprendedores y competentes,
poseedores de conocimientos
científicos y tecnológicos;
comprometida con la investigación y la
solución de problemas del entorno
para contribuir con el desarrollo y la
integración fronteriza
La Escuela de Desarrollo Integral
Agropecuario contribuye al desarrollo
Provincial, Regional y Nacional,
entregando profesionales que
participan en la producción,
transformación, investigación y
dinamización del sector agropecuario
y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de
eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA
Ser una Universidad Politécnica
acreditada por su calidad y
posicionamiento regional
Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica
generando profesionales competentes en
Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que incorpore los últimos adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos naturales,
producción limpia, principios de equidad,
participación, ancestralidad, que den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-
UNESCO
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-
UNESCO
Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO NIVEL PRIMERO
DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.
TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec

oscarlomasreyes@yahoo.es
CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3
HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS
48
PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)
CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)
CÓDIGOS
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola
LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera,
Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas

para plantear y resolver problemas del entorno.
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
1. TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP
Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.
FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.
2. TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER
Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a
INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER
dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
métodos de investigación, y los criterios para el uso de
habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3. PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.
4. PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR
Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados
5. TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a
6. TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.
1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.
2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a

3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO
HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir
EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL,
así como la sensibilización y el conocimiento del propio
conocimiento.
Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas
discretas.

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
El estudiante será capaz de
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
Estrategias, métodos y
técnicas
HORAS
CLASE
COGNITIVOS
¿Qué TIENEque saber?
PROCEDIMENTALES
¿Saber cómo TIENE
queaplicar el conocimiento?
AFECTIVO MOTIVACIONALES
¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?
T P
Identificar los términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.
Sistema de Números
Reales
Recta de números Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones
Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe
Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación
Hacer síntesis gráfica
Repasar los conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico
Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales
Disposición para trabajar en equipo
Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo
Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente
DEMOSTRAR.
1. Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
2 4

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento
Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial
Aplicar operaciones mentales
Identificar los diferentes tipos
polinomios
Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.
Identificar los diferentes tipos de
productos notables
Resolver ejercicios
Aceptar opiniones divergentes
Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo
Potenciar la resolución de problemas
Valorar las participaciones de los
demás
Demostrar grado por lo que hacemos
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
INDUCTIVO
1.Observación
2. Experimentación.
3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
2 4

socializar la solución.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas para el
desarrollo del razonamiento
Máximo común divisor de
polinomios.
Mínimo común múltiplos
de polinomios.
Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones
Resolver ejercicios con
polinomios sencillos y complejos
Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.
Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.
Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.
Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.
RAZONAR
1. Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
1. Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
2. Determinar los
criterios de relación
entre los objetos
3 6
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados
Ecuaciones lineales,
resolución
Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.
Aplicaciones
Plantear ecuaciones lineales.
Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera
Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.
Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.
Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.
EXPOSICION
PROBLEMICA.
1. Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
3 6
Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.
Definición y clasificación.
Ecuaciones reducibles a
cuadráticas
Resolución de ecuaciones
Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas
Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA
1. Determinar el
problema
2. Realizar el encuadre
del problema
3. Comunicar el
3 6

cuadráticas por factoreo.
Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.
expresiones cuadráticas
Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.
conocimiento
(conferencia ,video )
4. Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)
Construir expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del
entorno.
Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.
Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.
Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Valorar la creatividad de los demás
Respetar el criterio del grupo.
1. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
2. Encontrar la solución
( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)
3 6

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados
DIMENSIÓN
(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)
INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción
TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN
1°
PARCIA
L
2°
PARCIA
L
3°
PARCIA
L
SUPLETORI
O
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
FACTUAL. Interpretar información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
10%
10%
10%
10%

Pruebas
Portafolio
Reactivos
Documento
50%
10% 100%
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados
PROCESAL Analizar problemas y sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10% 100%
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia
para el diseño.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5%
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas
del entorno.
FACTUAL.
CONCEPTUAL.
PROCESAL
METACOGNITIVO
Interpretar información.
Modelar, simular sistemas
complejos.
Analizar problemas y sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5% 100%
ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

Nivel ponderado de aspiración y
alcance
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE
HORAS
AUTÓNO
MAS
INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO
T P
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
Consulte información en el
internet y textos
especializados los
conceptos de números
reales, presentar en
organizadores gráficos.
Prueba
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.
2 4
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
Consulta sobre la definición
de un monomio y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Identifica los tipos de polinomios 2 4
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Distinguir plenamente
entre expresiones
racionales e irracionales
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales
e irracionales
3 6
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados
Dar solución a ecuaciones
de primer grado
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.
Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de expresiones
cuadráticas.
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas
3 6
Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.
3 6
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
TOTAL
16 32
CRÉDITOS
1 2
3

VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda
edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición
Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.
ENTREGADO: Marzo 2013

1 NÚMEROS REALES

PROBLEMAS 0.2

2 EJERCICIOS-POTENCIACIÓN-RACIONALIZACIÓN

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS-FACTORIZACIÓN

3 TABLA DINÁMICA EXCEL

REACTIVOSDE ÁLGEBRA
NOMBRE PATRICIA PUSDÁ
ÁLGEBRA
1. ¿Cuál de los siguientes ejemplos es un número natural?
a) Π
b)
c)
d) -8
2. Solucionar
a)
b)
c)
d)
3. Simplificar
X2
/ x6
y 2
y5
a) Y3/ x2
b) Y3/ x3
c) X3/y33
d) Ninguna
4. Resolver
X2 +(a +b) x + ab
a) (x +b)(x +a)
b) (x- b )(x +ab)
c) Ninguna
d) a y b
5. Solucionar
Y= X2
+ 5x +6
a) Y= 4

b) Y = 6
c) Y= 12
d) X= 34
Economía y finanzas
1. La curva de demanda de trabajo se desplazará hacia la izquierda cuando:
a. Aumente el precio del producto.
b. Se produzca una mejora tecnológica.
c. Disminuya el precio del producto.
d. Ninguna de las anteriores
2. cuando el activo circulante (activo corriente), es menor que el pasivo circulante
(pasivo corriente), se dice que:
a) el fondo de maniobra es negativo
b) el fondo de maniobra es despreciable
c) el fondo de maniobra es positivo
d) ninguno
3. los organigramas reflejan:
a) la interrelación entre los diferentes objetos de la empresa
b) una visión gráfica y resumida de la estructura formal de la organización
c) una visión gráfica y resumida de la estructura informal de la organización
d) nada de lo anterior
4. Si el activo de una empresa es igual al neto patrimonial:
a) La empresa se encuentra en una grave situación de inestabilidad
b) Estamos ante la máxima estabilidad financiera
c) El empresario ha invertido todo su dinero en el negocio
d) Ninguna de las anteriores
5. La diferencia entre activo circulante y el pasivo circulante define:
a) El fondo de maniobra
b) El ratio de tesorería
c) El ratio de liquidez
d) Ninguna de las anteriores

EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Depreciaciones

Trabajo en clase

FRACCIONES ALGEBRAICAS
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras ligados
por operaciones.
A las letras se les llama parte literal de la expresión y suelen
designar magnitudes variables.
Los números reciben el nombre de coeﬁcientes.
Algunos ejemplos son:
a) La expresión P 5 2a 1 2b puede servir para designar de forma
genérica el perímetro de un rectángulo de lados a y b. Para un
valor de P determinado, digamos P 5 100, la expresión será 100
5 2a 1 2b.
b) La expresión D 5 10000 2 2p puede dar la demanda de un
producto en función de su precio p. Esta relación permite
determinar la demanda para cada valor de p.
Tipos de expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo
término.
Ejercicios
12ab+ 3ab+ 7ab= 22ab
(15a) – (8a)= 15a- 8a = 7a
(3ab) (-5a²c) = - 15aᶟbc
4aᶟb²÷ - 2ab= -2a (3- 1) b(2- 1) = -2a²b

Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
abx+aby
(ab)•(x+y)
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
X 2 +6x+9
x2-6x+9
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un
término.
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

OPERACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son:
Suma y Resta
Multiplicación
División
Simplificación de Fracciones Algebraicas
Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o
totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y
denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus
términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los
factores que tengan en común.
Ejemplo:
Simplifica la siguiente fracción
CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.

Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el
grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es
mayor o igual que el grado del denominador.
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea
en su numerador o en su denominador, o en ambos.

EJERCICIOS DE ECUACIONES LINEALES
2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5
3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0
8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1
Ejemplo 1: Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son
números reales con adiferente de cero.
Definició
n

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un
planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera
potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir,
una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la
primera potencia.
También podemos decir que ax + b = c
es una ecuación de primer grado en x.
Not
a
5x
2
+ 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado
6x
3
+ 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado
Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales

Ejercicios
Ejercicio 1
x-15 = -27
x = -27+15
x = -12
Comprobación
-12-15 = -27
-27 = -27
Ejercicio 2
-11x+12 = 144
-11x = 144-12
-11x = 132
x = 132/-11
x = -12
Comprobación
-11(-12)+12 = 144
132+12 = 144
144 = 144

Ejercicio 3
-8x-15 = -111
-8x = -111+15
-8x = -96
x = -96/-8
x = 12
Comprobación
-8(12)-15 = -111
-96-15 = -111
-111 = -111
Ejercicio 4
6x-10 = -16
6x = -16+10
6x = -6
x = -6/6
x = -1
Comprobación
6(-1)-10 = -16
-6-10 = -16
-16 = -16
Ejercicio 5
-15x-6 = 9

-15x = 9+6
-15x = 15
x = 15/-15
x = -1
Comprobación
-15(-1)-6 = 9
15-6 = 9
9 = 9
Ejercicio 6
12x+12 = 72
12x = 72-12
12x = 60
x = 60/12
x = 5
Comprobación
12(5)+12 = 72
60+12 = 72
72 = 72
Ejercicio 7
-10x+9 = -81
-10x = -81-9

-10x = -90
x = -90/-10
x = 9
Comprobación
-10(9)+9 = -81
-90+9 = -81
-81 = -81
Ejercicio 8
5x-15 = 15
5x = 15+15
5x = 30
x = 30/5
x = 6
Comprobación
5(6)-15 = 15
30-15 = 15
15 = 15
Ejercicio 9
2x-13 = -19
2x = -19+13
2x = -6

x = -6/2
x = -3
Comprobación
2(-3)-13 = -19
-6-13 = -19
-19 = -19
SISTEMAS DE ECUACIONES

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o
más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema
matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que
satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores
numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se
plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las
incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de
antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función
que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan
automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el
valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del
sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto
latino, o si son demasiadas, con subíndices.
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones.
Por ejemplo, las ecuaciones:
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se
encuentre elevada alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque
el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones
de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas
(porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen
términos con las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es
un sistema de ecuaciones lineales.
Resolviendo sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Ejemplo:
Resolver
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:
3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
− 10y = − 30
Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x + 2(3) = 8
x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3

Método de reducción
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un
múltiplo común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las
ecuaciones del sistema.
Ejemplo:
Resolver
Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo,
amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación
por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3
queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para
trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y.
Se elimina la x:
Se elimina la y:
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010
Método de igualación
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las
que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Resolver
Despejamos x en la primera ecuación:
Despejamos x en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
x = 3 + 2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema:
x = 1, y = –1
Otro ejemplo:
Resolver, por el método de igualación, el sistema
Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

Igualamos ambas expresiones:
Luego, resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x:

ECUACIONES CUADRÁTICAS
ECUACION CUADRÁTICA
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es
decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de
segundo grado o polinomio cuadrático.
La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:
Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es
un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término
independiente.
Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función
cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la
intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de
la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos
pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c,
donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2
+ 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
- 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2
+ 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de
las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática
en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada
binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2
]
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c;
y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que
despejar de la siguiente forma:
4x2
+ 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2
+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2
+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2
+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2
+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2
+ 2x + 1 = 8 + 1
x2
+ 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2
= 9
(x + 1) = ±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c
de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2
+ 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x = 4 x = -8
2 2
x = 2 x = - 4
EJEMPLOS

GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrática conviene
notar que, lo que caracteriza a una ecuación de segundo grado es que, la
potencia máxima de la incógnita sea la segunda, independientemente del número
de incógnitas.
Gráfica
Uno de los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas es la graficación, donde
tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).Pero
para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadráticas:
Las ecuaciones de la forma axª + bx + c = 0,son las ecuaciones de segundo grado
o cuadráticas toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es
una ecuación cuadrática pura, la cual carece del termino de primer grado.

Características
Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el
vértice.
Parábola f(x) = x2 + 5x + 6
La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función.
Hallamos el vértice de la parábola:

Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2
Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4
V = (-2.5, - 12.5)
Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser
2):
Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la
variable dependiente y tome los suyos:
En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y
por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9
Podemos escribir:
Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:
y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura
siguiente:

13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado:
Respuesta:
Solución

Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º
grado:
Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.
¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?
Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que
indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían::
Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los
puntos y obtendríamos algo parecido a:

Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el
resultado.
Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1).
En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se
trata de:
El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.
Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es
1. Luego, parax=0; y=1.
Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas.
El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:

En el caso de que representásemos gráficamente la
ecuación:
Para x=0 y=-2 La parábola sería:
En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en
el punto (0,2):

Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.
13.82(a) Representa gráficamente la ecuación:
13.83 Representa gráficamente la ecuación:
Respuesta:

Solución
Los puntos que hemos tomado han sido:
El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1)
Ejemplo:
En este caso a vale 1.
Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas
Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su
eje.
Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos
coincidirían.

UNIVERSIDAD Politécnica ESTATAL DEL CARCHI
DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
Modulo: ÁLGEBRA
Tema: GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS
Ing. OSCAR LOMAS
NOMBRE: Patricia Pusdá

GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrática conviene
notar que, lo que caracteriza a una ecuación de segundo grado es que, la
potencia máxima de la incógnita sea la segunda, independientemente del número
de incógnitas.
Gráfica
Uno de los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas es la graficación, donde
tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).Pero
para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadráticas:
Las ecuaciones de la forma axª + bx + c = 0, son las ecuaciones de segundo grado
o cuadráticas toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es
una ecuación cuadrática pura, la cual carece del termino de primer grado.

Características
Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el
vértice.
Parábola f(x) = x2 + 5x + 6
La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función.
Hallamos el vértice de la parábola:

Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2
Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4
V = (-2.5, - 12.5)
Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser
2):
Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la
variable dependiente y tome los suyos:
En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y
por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9
Podemos escribir:
Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:
y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura
siguiente:

13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado:
Respuesta:
Solución

Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º
grado:
Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.
¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?
Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que
indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían::
Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los
puntos y obtendríamos algo parecido a:

Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el
resultado.
Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1).
En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se
trata de:
El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.
Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es
1. Luego, para x=0; y=1.
Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas.
El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:

En el caso de que representásemos gráficamente la
ecuación:
Para x=0 y=-2 La parábola sería:
En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en
el punto (0,2):

Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.
13.82(a) Representa gráficamente la ecuación:
13.83 Representa gráficamente la ecuación:
Respuesta:

Solución
Los puntos que hemos tomado han sido:
El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1)
Ejemplo:
En este caso a vale 1.
Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas
Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su
eje.
Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos
coincidirían.

Módulo Algebra: Ecuaciones Lineales

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