Portafolio Álgebra

Módulo Algebra Página 1
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y
CIENCIAS AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
PRIMER NIVEL
Paralelo:“B”
Autor:Cinthya Cucás.
Ing. Oscar René Lomas Reyes
Marzo 2013 – Agosto 2013
ALGEBRA

Contenido
INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 3
OBJETIVOS................................................................................................................................. 4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES..................................................................................... 5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................. 6
EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 7
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 9
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?....................................................................................................... 11
Partes de una ecuación........................................................................................................... 11
¡Exponente!............................................................................................................................. 12
PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 13
FACTORIZACIÓN...................................................................................................................... 15
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.................................................................................. 16
ECUACIONES LINEALES............................................................................................................ 16
SILABO......................................................................................................................................... 18

INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para
generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos
análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro
de la misma operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.
Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5
a ambos lados del signo igual (=), así:
x - 5 = 2
x - 5 + 5 = 2 + 5
x + 0 = 7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,
negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Elaborar el portafolio estudiantil.
Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para
la evaluación.
Trabajar en forma grupal en la recolección de la información.

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y
así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que
pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros
y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es
racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números y son
ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números
irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la
derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que
para todo número real a.
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y
después sumar todos los productos.

EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.
n = índice
x = radicando
y = raíz

=signo radical
Leyes radicales

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.

Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos
semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=",
por ejemplo:
x + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo
que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un
número que todavía no conocemos.
Normalmente es una letra como x o
y.
Un número solo se llama una
constante.
Un coeficiente es un número que
está multiplicando a una variable (4x
significa 4 por x, así que 4 es un
coeficiente)
Un operador es un símbolo (como
+, ×, etc) que representa una
operación (es decir, algo que
quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o
variable solo, o números y variables
multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de
términos (los términos están
separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el
segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente
es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2
) dice cuántas veces
usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82
= 8 × 8 = 64
y3
= y × y × y
y2
z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4
z2
es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
segundo.
(a + b)2
= a2
+ 2 · a · b + b2
(X + 3)2
= x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
segundo.
(a − b)2
= a2
− 2 · a · b + b2
(2x − 3)2
= (2x)2
− 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x2
− 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2
− b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2
− 52
= 4x2
− 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3
= a3
+ 3 · a2
· b + 3 · a · b2
+ b3
(x + 3)3
= x 3
+ 3 · x2
· 3 + 3 · x· 32
+ 33
=
= x 3
+ 9x2
+ 27x + 27

Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado
del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3
= a3
− 3 · a2
· b + 3 · a · b2
− b3
(2x - 3)3
= (2x)3
- 3 · (2x)2
·3 + 3 · 2x· 32
- 33
=
= 8x 3
- 36 x2
+ 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado
del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el
segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por
el tercero.
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2
− x + 1)2
=
= (x2
)2
+ (−x)2
+ 12
+2 · x2
· (−x) + 2 x2
· 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4
+ x2
+ 1 − 2x3
+ 2x2
− 2x =
= x4
− 2x3
+ 3x2
− 2x + 1
Suma de cubos
a3
+ b3
= (a + b) · (a2
− ab + b2
)
8x3
+ 27 = (2x + 3) (4x2
- 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3
− b3
= (a − b) · (a2
+ ab + b2
)
8x3
− 27 = (2x − 3) (4x2
+ 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2
+ ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2
+ (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2
+ 5x + 6

FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de
polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se
dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e
inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de
cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.
Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado
como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al
primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del
signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:
Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:
Factorización de cubos perfectos de binomios.

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común,
pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización
total de la expresión.
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA
ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra
solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia
(elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden
representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) Ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas
es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede
serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en
el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.).
Ejemplo:
ECUACIONES LITERALES
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla.

SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA
Formar profesionales humanistas,
emprendedores y competentes,
poseedores de conocimientos
científicos y tecnológicos;
comprometida con la investigación y la
solución de problemas del entorno
para contribuir con el desarrollo y la
integración fronteriza
La Escuela de Desarrollo Integral
Agropecuario contribuye al desarrollo
Provincial, Regional y Nacional,
entregando profesionales que
participan en la producción,
transformación, investigación y
dinamización del sector agropecuario
y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de
eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA
Ser una Universidad Politécnica
acreditada por su calidad y
posicionamiento regional
Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica
generando profesionales competentes en
Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que incorpore los últimos adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos naturales,
producción limpia, principios de equidad,
participación, ancestralidad, que den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-
UNESCO
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-
UNESCO
Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO NIVEL PRIMERO
DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.
TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec

oscarlomasreyes@yahoo.es
CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3
HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS
48
PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)
CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)
CÓDIGOS
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola
LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera,
Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas

para plantear y resolver problemas del entorno.
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
1. TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP
Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.
FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.
2. TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER
Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a
INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER
dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
métodos de investigación, y los criterios para el uso de
habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3. PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.
4. PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR
Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados
5. TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a
6. TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.
1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.
2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a

3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO
HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir
EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL,
así como la sensibilización y el conocimiento del propio
conocimiento.
Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas
discretas.

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
El estudiante será capaz de
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
Estrategias, métodos y
técnicas
HORAS
CLASE
COGNITIVOS
¿Qué TIENEque saber?
PROCEDIMENTALES
¿Saber cómo TIENE
queaplicar el conocimiento?
AFECTIVO MOTIVACIONALES
¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?
T P
Identificar los términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.
Sistema de Números
Reales
Recta de números Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones
Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe
Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación
Hacer síntesis gráfica
Repasar los conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico
Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales
Disposición para trabajar en equipo
Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo
Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente
DEMOSTRAR.
1. Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
2 4

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento
Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial
Aplicar operaciones mentales
Identificar los diferentes tipos
polinomios
Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.
Identificar los diferentes tipos de
productos notables
Resolver ejercicios
Aceptar opiniones divergentes
Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo
Potenciar la resolución de problemas
Valorar las participaciones de los
demás
Demostrar grado por lo que hacemos
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
INDUCTIVO
1.Observación
2. Experimentación.
3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
2 4

socializar la solución.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas para el
desarrollo del razonamiento
Máximo común divisor de
polinomios.
Mínimo común múltiplos
de polinomios.
Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones
Resolver ejercicios con
polinomios sencillos y complejos
Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.
Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.
Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.
Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.
RAZONAR
1. Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
1. Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
2. Determinar los
criterios de relación
entre los objetos
3 6
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados
Ecuaciones lineales,
resolución
Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.
Aplicaciones
Plantear ecuaciones lineales.
Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera
Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.
Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.
Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.
EXPOSICION
PROBLEMICA.
1. Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
3 6
Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.
Definición y clasificación.
Ecuaciones reducibles a
cuadráticas
Resolución de ecuaciones
Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas
Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA
1. Determinar el
problema
2. Realizar el encuadre
del problema
3. Comunicar el
3 6

cuadráticas por factoreo.
Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.
expresiones cuadráticas
Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.
conocimiento
(conferencia ,video )
4. Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)
Construir expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del
entorno.
Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.
Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.
Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales
Valorar la creatividad de los demás
Respetar el criterio del grupo.
1. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
2. Encontrar la solución
( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)
3 6

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados
DIMENSIÓN
(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)
INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción
TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN
1°
PARCIA
L
2°
PARCIA
L
3°
PARCIA
L
SUPLETORI
O
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.
FACTUAL. Interpretar información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
10%
10%
10%
10%

Pruebas
Portafolio
Reactivos
Documento
50%
10% 100%
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados
PROCESAL Analizar problemas y sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10% 100%
Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia
para el diseño.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5%
Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas
del entorno.
FACTUAL.
CONCEPTUAL.
PROCESAL
METACOGNITIVO
Interpretar información.
Modelar, simular sistemas
complejos.
Analizar problemas y sistemas
complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5% 100%
ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

Nivel ponderado de aspiración y
alcance
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE
HORAS
AUTÓNO
MAS
INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO
T P
Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del
Consulte información en el
internet y textos
especializados los
conceptos de números
reales, presentar en
organizadores gráficos.
Prueba
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.
Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.
2 4
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
Consulta sobre la definición
de un monomio y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Identifica los tipos de polinomios 2 4
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Distinguir plenamente
entre expresiones
racionales e irracionales
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales
e irracionales
3 6
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados
Dar solución a ecuaciones
de primer grado
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.
Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de expresiones
cuadráticas.
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.
Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas
3 6
Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.
3 6
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
TOTAL
16 32
CRÉDITOS
1 2
3

VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda
edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición
Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

NÚME
RO NOMBRES
SEX
O
ED
AD
FECH
A DE
COMP
RA
FECHA
ACTUAL
DÍAS
TRANSCUR
RIDOS
AÑOS
TRANSCUR
RIDOS
BIENES
COMPRA
DOS
COS
TO
DEL
BIEN
VALOR
RESID
UAL
VALO
R DE
RESC
ATE 0
DEPRECIA
CIÓN CON
VALOR DE
RESCATE
DEPRECIA
CIÓN SIN
VALOR
RESIDUAL
VALOR
POR
DEPEC
IAR
CON
VALOR
RESID
UAL
VALOR
POR
DEPRECI
AR SIN
VALOR
DE
RESCATE
1
CALI
DAYANA F 18
20-
mar-
98
30/07/2
013 5.611 15,37
EDIFICIO
S
1000
00 10000 0 5854,57
6505,0793
09
94145,
43
93494,9
2069
2
CARVAJAL
SALMA F 22
01-
ene-
10
30/07/2
013 1.306 3,58
VEHÍCUL
O
2500
0 2500 6288,28
6986,9831
55
18711,
72
18013,0
1685
3
CUCÁS
CINTHYA F 18
30-
jun-09
30/07/2
013 1.491 4,08 MUEBLES
1000
0 1000 2203,22
2448,0214
62
7796,7
8
7551,97
8538
4
CHAMORR
O BRAYAN M 19
01-
dic-11
30/07/2
013 607 1,66
EQUIPOS
DE
COMPUT
O 2000 100 1142,50
1202,6359
14 857,50
797,364
0857
5
FUELTALA
MIGUEL M 19
15-
abr-12
30/07/2
013 471 1,29
EQUIPOS
DE
COMPUT
O 1500 250 968,68
1162,4203
82 531,32
337,579
6178
6
GUACHAG
MIRA
ADRIANA F 19
18-
oct-05
30/07/2
013 2.842 7,79
MAQUIN
ARIA
1800
0 1800 2080,58
2311,7522
87
15919,
42
15688,2
4771
7
GUERRERO
GEOVANN
Y M 19
01-
ene-
96
30/07/2
013 6.420 17,59
EDIFICIO
S
7000
0 7000 3581,78
3979,7507
79
66418,
22
66020,2
4922
8 HERNAND M 18 29-jul- 30/07/2 4.749 13,01 EDIFICIO 8500 8500 5879,66 6532,9543 79120, 78467,0

EZ
JONATHAN
00 013 S 0 06 34 4569
9
LOPEZ
CRISTINA F 20
01-
ene-
10
30/07/2
013 1.306 3,58
VEHÍCUL
O
3200
0 3200 8049,00
8943,3384
38
23951,
00
23056,6
6156
10
MONTAÑO
DIANA F 18
10-
sep-
04
30/07/2
013 3.245 8,89
MAQUIN
ARIA
2100
0 2100 2125,89
2362,0955
32
18874,
11
18637,9
0447
11
PADILLA
KAREN F 20
28-
nov-
00
30/07/2
013 4.627 12,68 EDIFICIO
9500
0 9500 6744,65
7494,0566
24
88255,
35
87505,9
4338
12
PUSDA
PATRICIA F 19
01-
ene-
12
30/07/2
013 576 1,58
EQUIPO
DE
COMPUT
O 1800 180 1026,56 1140,625 773,44 659,375
13
ROMO
DAVID M 21
14-
feb-10
30/07/2
013 1.262 3,46
VEHÍCUL
O
2800
0 2800 7288,43
8098,2567
35
20711,
57
19901,7
4326
14
RUANO
ERICK M 21
01-
ene-
12
30/07/2
013 576 1,58
EQUIPOS
DE
COMPUT
O 2500 250 1425,78
1584,2013
89
1074,2
2
915,798
6111
15
SALAZAR
JACOB M 20
30-
mar-
11
30/07/2
013 853 2,34 EDIFICIO
1200
00 12000 46213,36
51348,182
88
73786,
64
68651,8
1712
16
TUPE
OSCAR M 21
01-
ene-
94
30/07/2
013 7.150 19,59 EDIFICIO
8000
0 8000 3675,52
4083,9160
84
76324,
48
75916,0
8392
17
DIANA
PAOLA F 21
17-
ago-
09
30/07/2
013 1.443 3,95
VEHÍCUL
O
2500
0 2500 5691,27
6323,6313
24
19308,
73
18676,3
6868

18
DIEGO
JAVIER M 23
23-
dic-11
30/07/2
013 585 1,60
EQUIPOS
DE
COMPUT
O 1900 190 1066,92
1185,4700
85 833,08
714,529
9145
19
TANIA
LORENA F 20
12-
may-
12
30/07/2
013 444 1,22
MAQUIN
ARIA
1750
0 1750 12947,64
14386,261
26
4552,3
6
3113,73
8739
20 LENIN M 24
01-
ene-
11
30/07/2
013 941 2,58 MUEBLES 9800 980 3421,15
3801,2752
39
6378,8
5
5998,72
4761

“UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI “
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y
CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
MÓDULO
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: “B”
AUTOR: CINTHYA CUCÁS
ING. OSCAR RENÉ LOMAS REYES
MARZO 2013 – AGOSTO 2013
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones
algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama
denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/b es
una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la
expresión a (dividendo) entre expresión b (divisor).
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.
Son ejemplos de fracciones simples:
.
Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el
grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es
mayor o igual que el grado del denominador.
Por ejemplo, son fracciones propias, mientras
que son fracciones impropias. Una fracción impropia
puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea
en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de
fracciones compuestas:
Significados de una fracción
Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3
divido por 4 o bien 3¸4. Cuando una fracción significa división, el numerador es
el dividendo y el denominador es el divisor.
Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4
o bien 3:4. Cuando una fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben
estar expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2
semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14
días eliminándose luego la unidad común.
Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo
de cosas. Por ejemplo, ¾ puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien
3 monedas de 4 monedas.
Numerador o Denominador Nulo

Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo
siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0.
Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción para x = 5 vale cero.
Sin embargo 0/0 es indeterminado.
Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador
sea cero es imposible. Por ejemplo 3¸0 es imposible. O bien 3/0 carece de
sentido. Asimismo, six = 0 la fracción 5¸x es imposible o bien 5/x carece de
sentido.

TAREA EN CLASE 2
DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de
ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones
lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de la economía.
Para el estudio de estos sistemas tenemos que distinguir tres partes
fundamentales:
 FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
 DISCUSIÓN DEL SISTEMA
 RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.
Estas son las tres fases que suelen plantearse en un sistema de ecuaciones
lineales. Pero antes de comentar estas fases vamos a dar algunas
generalidades de lo que se entiende por un sistema lineal.

EJEMPLO.
Planteemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
¿Son sistemas de ecuaciones lineales en las variables x e y?
Como puede observarse el primero y segundo no son sistemas de ecuaciones
lineales en las incógnitas x e y, por el contrario el tercer sistema es lineal en las
incógnitas x e y actuando t como parámetro del sistema.
Esta visión de los sistemas de ecuaciones lineales, nos obliga a definir qué se
entiende por un sistema de ecuaciones lineales:
DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1, x2,
x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1, x2,
x3,... es decir son de la formaa1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b
donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de
otras variables que no son x1,x2,...,xn.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar atendiendo a dos
criterios fundamentales:
a. SEGÚN COMO SEA EL TÉRMINO INDEPENDIENTE:
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en
SISTEMAS HOMOGÉNEOS (si el término independiente es el vector
nulo)
SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS (el término independiente es no nulo)
; siendo

a. SEGÚN LA EXISTENCIA O NO DE SOLUCIONES
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en:
SISTEMAS COMPATIBLES: si tienen una o infinitas soluciones.
SISTEMAS INCOMPTAIBLES: si no tienen soluciones.

TAREA EN CLASE 3
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus
soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y
resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y
con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de
pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen
menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el
número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos
miembros de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro
derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las
ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que
la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de
partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (
son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en
, entonces la ecuación.
no contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta
llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su
solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de
incógnitas en dichas ecuaciones.
Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la
primera, para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las
de partida.
Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del
sistema.

Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue
un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro
equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante
las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz
triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema
equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera
con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra
el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita
siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la
incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no
nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda
por , para obtener:
Que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de
coeficientes y matriz de términos independientes .
TAREA

TAREA EN CLASE 4
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,
llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo
por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por
lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es
una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones
cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos
soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la
siguiente forma:
ax2
+ bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números
reales que corresponda en cada caso particular.
Solución de ecuaciones cuadráticas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+
bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2
+ 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
– 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2
+ 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = 0 (o cualquiera
de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes
métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de
segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo
grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable.
Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de
sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a
cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las
incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2
+ 5x − 12 = 0
2x2
+ 5x = 12
2x2
− 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus
factores a cero y luego resolver en términos de x:
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:
Soluciones:
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede
completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática
se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una
ecuación del tipo:
(ax + b)2
= n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2
, es el cuadrado de la
suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2
+ bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación

x2
+ 8x = 48, que también puede escribirse x2
+ 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x2
+ 8x) le falta un término para completar
el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2
+ 2axb + b2
x2
+ 8x + 16 = 48 + 16
x2
+ 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2
= 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la
ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2
, que es el cuadrado perfecto de
un binomio.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 2x2
+ 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :
y también
Así es que las soluciones son .
Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a, b, y c son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es
ax2
+ bx + c = 0.
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o
ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de
segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2
= 0; si b = 0 y c = 0.
ax2
+ bx = 0; si c = 0.
ax2
+ c = 0; si b = 0.
Algunos ejemplos, con soluciones
1) Resolver: − 5x2
+ 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a
la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c
= 6.
Se aplica la fórmula:
Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:
Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra
usando el signo −.
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella
producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores
hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal
como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con , se tiene
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3
y son las raíces de − 5x2
+ 13x + 6 = 0
2.- Resolver: 6x − x2
= 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma
conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:
− x2
+ 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:
El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales
a 3, es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18
− 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuación de segundo grado.
Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a
una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las
relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se
resuelve la ecuación.
Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar,
los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para
muchos, es la biblia del álgebra.
Problema 1
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle
ambos números

Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos
incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre
uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:
x = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:
10 − x = Segundo número
Para entenderlo mejor:
Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene
usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600.
Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en
función de x, es decir, usted tiene 1.000 − x .
La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de
ambos números resulta 58, entonces:
x2
+ (10 - x)2
= 58
Esta es la ecuación a resolver
Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego
reordenamos para llegar a la fórmula conocida.
Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un
binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a − b)2
= a2
−
b2
, lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a − b)2
= a2
− 2•a•b + b2
Desarrollando la ecuación se tiene: x2
+ 102
− 2•10•x + x2
= 58 = x2
+ 100 −
20•x + x2
= 58
Ordenando y agrupando: 2x2
− 20•x+ 42 = 0;
Dividiendo entre 2 toda la ecuación:
x2
− 10x + 21 = 0
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de
segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.
Veamos, si tenemos
a = 1, b = −10 c = 21

Los números buscados son 7 y 3.
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el
ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el
área original de la sala.
Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.
Supongamos que:
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:
x + 3 = largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
x • (x + 3 ) = área de la sala.
Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el
largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos
la ecuación:
(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)
Se efectúan las multiplicaciones: x2
+ 5x + 3x + 15 = 2x2
+ 6x
Se pasa todo al primer miembro: x2
+ 5x + 3x + 15 − 2x2
− 6x = 0

Se simplifica: − x2
+ 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.
Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.
La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser
negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2
.
Problema 3
Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las
dimensiones están en metros
Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"
(c2
= a2
+ b2
). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los
catetos, se plantea entonces la ecuación:
(x + 3)2
+ (x − 4)2
= (2x − 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2
+ 2 • 3 • x + 32
+ x2
− 2 • 4 • x + 42
= (2x)2
− 2 • (2x) • 5 + 52
= x2
+ 6x + 9 +
x2
− 8x + 16 = 4x2
− 20x + 25
Reagrupando:
x2
+ 6x + 9 + x2
− 8x + 16 − 4x2
+ 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x2
+ 18x = 0
Es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no
es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda
con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los
dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
ESTATAL DEL CARCHI
INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
1ER Semestre.
Cinthya Cucás.
Ing. Oscar Lomas.
30/07/13
GRÁFICAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
ÁLGEBRA

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