Propiedades de los números reales

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Unidad 8.1: Los números reales
Tema 1: Notación científica, estimación y propiedades
Lección 1.1: Las propiedades de los números reales e
irracionales
El conjunto de los números reales se divide en dos grandes grupos:
números racionales (𝐐) e irracionales (𝐈). El siguiente diagrama te presenta
ejemplos de cada uno de los grupos que componen los números reales.
ℕ = Números naturales (enteros positivos)
ℤ = Números enteros (negativos, cero y positivos)
ℚ = Números racionales (fracciones y decimales)
𝕀 = Números irracionales

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Los números reales pueden manejarse de diferentes maneras que se
conocen como propiedades de números reales. El siguiente diagrama resume
algunas de estas propiedades.
Para mejor entendimiento, vamos a ver cada una de las propiedades con
un ejemplo. Los próximos ejemplos se presentan con letras o variables, que
pueden ser cualquier número real.
Propiedad distributiva 𝒂 (𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄
Propiedad asociativa de la suma 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄
Propiedad asociativa de la
multiplicación
𝒂 × (𝒃 × 𝒄) = (𝒂 × 𝒃) × 𝒄
Propiedad de identidad
𝒂 + 𝟎 = 𝒂
𝒂 × 𝟏 = 𝒂
Propiedad conmutativa de la suma 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂
Distributiva
Asociativa
Conmutativa Inverso
Identidad
Clausura

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Propiedad conmutativa de la
multiplicación
𝒂 × 𝒃 = 𝒃 × 𝒂
Propiedad del inverso de la suma u
opuesto aditivo
𝒂 + (−𝒂) = 𝟎
Propiedad del inverso de la
multiplicación
𝒂 × (
𝟏
𝒂
) = 𝟏, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 ≠ 𝟎
Propiedad de clausura de la suma 𝒂 + 𝒃 = 𝒄 ∈ ℝ
Propiedad de clausura de la
multiplicación
𝒂 × 𝒃 = 𝒄 ∈ ℝ
Es muy importante que, al momento de realizar un ejercicio matemático,
recordemos que podemos combinar varias de las propiedades en el mismo
ejercicio. Veamos un ejemplo:
Simplifica la expresión:
2(2 − 3𝑎) + 10
2 (2 − 3𝑎) + 10 Propiedad distributiva
4 − 6𝑎 + 10 Agrupar términos semejantes
(4 + 10) − 6𝑎 Sumar términos semejantes
𝟏𝟒 − 𝟔𝒂 Resultado
Veamos otro ejemplo, simplifica la siguiente expresión:
𝑎 + 5𝑎 ( 2 ) − 10 (𝑎 + 3𝑎)
𝑎 + 10 𝑎 − 10 𝑎 − 30𝑎
𝑎 + 10𝑎 + (−10𝑎) + (−30𝑎)
𝑎 + (−30𝑎)
−𝟐𝟗𝒂

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Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las
actividades de cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos
estudiados en esta unidad.
Si deseas conocer más sobre el tema, puedes pulsar en los siguientes enlaces:
Sistema de números reales
- http://tube.geogebra.org/m/319407
- http://tube.geogebra.org/m/55688
- http://tube.geogebra.org/m/64081
Referencias
Foster, A., Gordon, B., Winters, L., Rath, J. & Gell. J. (1992). Algebra 1:
Applications and Connections. USA: Glencoe McGraw-Hill.
Bittinger, M., Ellenbogen, D. & Johnson, B. (2010). Pre-álgebra. México: Pearson
Educación (5ta edición).