Estadística

1. 1
Ing.Vanessa Salazar V.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
1. Distribución Uniforme
2. Distribución Gamma
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Ji-Cuadrado
5. Distribución Erland
6. Distribución Beta
7. Distribución Weibull
8. Distribución LogNormal
9. Distribución Normal
10. Distribución Normal Estándar
Distribución Uniforme
Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de
probabilidad en un intervalo especificado para la variable.
MENÚ
X: Variable aleatoria continua con distribución Uniforme.
x=x1, x2,,…,xn. los valores que puede tomar, con igual probabilidad.
La Densidad de Probabilidad de X es:
, a y b son los parámetros del modelo
( )
2
a b
E X

 
 
2
2
( )
12
b a
V X

 
0;
)(
)(
)( 


 t
abt
ee
eEM
tatb
xt
x

2. 2
Ing.Vanessa Salazar V.
Distribución Gamma
Es un modelo básico en la teoría estadística y corresponde a la siguiente definición:
Distribución Exponencial
Es un caso particular de la distribución Gamma cuando α=1y tiene aplicaciones de interés
práctico.
MENÚ
X: Variable aleatoria continua con distribución Exponencial.
La Densidad de Probabilidad de X es:
/1
, 0
( )
0 , para otro x
x
e x
f x




 


En donde β>0, es el parámetro para este modelo
2 2
( )
( )
E X
V X
 
 
 
 
1
( ) ; 0
1
xt
xM E e t
t
  

X:: Variable aleatoria continua con distribución Gamma.
La Densidad de Probabilidad de X es:
11
; 0
( ) ( )
0 ; para otro x
x
x e x
f x
 

 




 


α >0, β>0 son los parámetros de este modelo.
  )(XE
2 2
( )V X  
0;
)1(
1
)( 

 t
t
eEM xt
x 


3. 3
Ing.Vanessa Salazar V.
Distribución Ji-Cuadrada
Es un caso particular de la distribución Gamma cuando 2

 
y 2  tiene aplicaciones de
interés práctico.
Distribución Erlang
Es un caso particular de la distribución Gamma cuando α=n,. donde n es un entero positivo.
MENÚ
X: Variable aleatoria continua con distribución Erlang.
La Densidad de Probabilidad de X es:
11
; 0
( ) ( )
0 ; para otro x
x
n
n
x e x
f x n






 


α >0, β>0 son los parámetros de este modelo.
( )E X n  
2 2
( )V X n  
1
( ) ; 0
(1 )
xt
x n
M E e t
t
  

X: Variable aleatoria continua con distribución Ji Cuadrada.
La Densidad de Probabilidad de X es:
1
/22
/2
1
e ; x>0
( ) 2 ( / 2)
0 ; para otro x
x
x
f x






 


Esta distribución tiene un parámetro: 0  y se denomina
número de grados de libertad.
( )E X  
2
( ) 2V X  
/2
1
( ) ; 0
(1 2 )
xt
xM E e t
t 
  


4. 4
Ing.Vanessa Salazar V.
Distribución Beta
Distribución Weibull
Este modelo se usa en problemas relacionados con falla de materiales y estudios de
confiabilidad.
MENÚ
X: Variable aleatoria continua con distribución Beta.
La Función Beta es:
1
1 1
0
( ) ( )
( , ) (1 )
( )
x x dx   
  
 
   
  
 
La Densidad de Probabilidad de X es:
1 1( )
(1 ) ; 0<x<1
( ) ( )( )
0 ; para otro x
x x
f x
  
 
  

  


α >0, β>0 son los parámetros de este modelo.
  es la función gamma.
( )E X


 
 

2
2
( )
( ) ( 1)
V X


   
 
  
𝑀 𝑥( 𝑡) 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
X: Variable aleatoria continua con distribución Weibull.
La Densidad de Probabilidad de X es:
1
; x>0
( )
0 ; para otro x
x
x e
f x

 
  
 

En donde α >0, β>0 son los parámetros para este modelo.
1/
( ) (1 1/ )E X 
  
   
2 2/ 2
( ) (1 2/ ) ( (1 1/ ))V X 
   
        

5. 5
Ing.Vanessa Salazar V.
Razón de Falla
Si la variable aleatoria es el tiempo t en que falla un equipo, el índice o razón de falla en el
instante t es la función de densidad de falla al tiempo t. dado que la falla no ocurre antes de t.
Sean, t: Variable aleatoria continua (tiempo)
f(t): Función de densidad de probabilidad
F(t): Función de distribución (función de probabilidad acumulada)
Entonces,
( )
( ) , es la razón de falla
1 ( )
f t
r t
F t


Distribución LogNormal
La Distribución Lognormal que se la define como:
Esta variable es de alta aplicación en Economía como en Medicina.
MENÚ
X: Variable aleatoria continua con distribución Weibull.
La Densidad de Probabilidad de X es:
2
2
(ln )
-1 2
1
y e ; x>0
( ) 2
0 ; para otro x
y
f x


 



 


En donde α >0, β>0 son los parámetros para este modelo.
2
2
( )y E X e
 


 
2 2
2 (2 )
( ) 1y V X e e  
     
 
2
, donde X N( , )x
Y e   :

6. 6
Ing.Vanessa Salazar V.
Distribución Normal
Distribución Normal Estándar
MENÚ
X: Variable aleatoria continua con distribución Normal.
La Densidad de Probabilidad de X es:
2
1
21
( )
2


 
 
  
 

x
f x e
( )E X 
2
( )V X 
2 2
2
( )
t
t
xt
xM E e e

 
 
X: Variable aleatoria continua con distribución Normal
Estándar
La Densidad de Probabilidad de X es:
 21
2
1
( )
2
z
f z e


( ) 0E X  
2
( ) 1V X  
2
( )

 
z
xt
xM E e e