1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DEUNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DEUNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DEUNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE
LOJALOJALOJALOJA
ESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONESESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONESESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONESESCUELA DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Ensayo semana 4: DISTRIBIUCIONES CONTINUAS
AlumnoAlumnoAlumnoAlumno::::
Vicente Quezada PVicente Quezada PVicente Quezada PVicente Quezada Patiñoatiñoatiñoatiño
CCCCiiiicccclolololo::::
2do2do2do2do ““““CCCC””””
DocenteDocenteDocenteDocente----IIIInnnnvestigadorvestigadorvestigadorvestigador::::
Ing. Patricio PuchaicelaIng. Patricio PuchaicelaIng. Patricio PuchaicelaIng. Patricio Puchaicela

2. Introducción:
En este capítulo se va a tratar sobre las distribuciones continuas, al contrario
del capítulo anterior en donde las variables aleatorias discretas podían tomar un
valor concreto, aquí veremos las variables aleatorias continuas que no toman
valores específicos, sino que tiene que trabajarse en intervalo en incluso
modelar una función que represente la distribución.
Marco Teórico
Densidades Continuas
Variable aleatoria continua: Una variable aleatoria X es continua si puede tomar
cualquier valor en uno o más intervalos de números reales, como por ejemplo
la hora en cualquier instante del día.
Densidad continua: Si tenemos una variable aleatoria continua, la densidad
continua será una función f tal que:
1. 0)x(f ≥ , en todo x real.
2. ∫ =
∞
∞−
1dx)x(f
3. ∫=≤≤
b
a
dx)x(f]bXa[P , a y b números reales se llama densidad de X.
Para que una función sea una densidad deberían cumplirse las condiciones 1 y
2.
Distribución Acumulativa
Distribución acumulativa continua. Para una variable aleatoria X continua con
densidad f. La función de distribución acumulativa de X, se representa con F,
está dada por:
]xX[P)X(F ≤= donde x es real
El cálculo de F(x) para un número real específico x precisa integrar la densidad
para todos los números reales que sean menores o iguales que x.
∫==≤ ∞−
x
dt)t(f)x(F]xX[P en todo número real x.
Para obtener f a partir de F en el caso continuo se saca la primera derivada de
F(x).
f(x)=F’(x)
Por ejemplo para una distribución acumulativa con la función 162 2
+− xx ,
51 ≤≤ x
F(x)= 162 2
+− xx
F’(x)= 64 −x en el intervalo 5.0x1.0 ≤≤
DISTRIBUCIÓN UNIFORME

3. Es una de las más sencillas para trabajar, tiene una estrecha relación con la
distribución uniforme discreta, ya que, en cierto sentido, los eventos ocurren
con probabilidad igual (uniforme).
Esperanza y Parámetros De Una Distribución
Valor esperado: Para una variable aleatoria continua X con densidad f, y una
variable aleatoria H(X). El valor esperado de H(X), denotado con E[H(X)], está
dado por:
dx)x(f)x(H)]X(H[E ∫=
∞
∞−
Siempre que ∫
∞
∞−
dx)x(f|)X(H| sea finita.
La media o valor esperado de X es un caso especial de la definición anterior
∫=
∞
∞−
dx)x(xf|X|E
La función generadora de momentos de una variable aleatoria continua X será
]e[E tX
, a siempre que exista para t en un intervalo abierto en torno a 0.
Distribuciones Gamma, Exponencial y ji Cuadrada
Función gamma: La función Γ , definida por:
∫=αΓ
∞ −−α
0
z1
dzez)( 0>α
Y tiene las siguientes propiedades
1. 1)1( =Γ
2. Para 1>α , )1()1()( −αΓ−α=αΓ
Distribución gamma: Si tenemos una variable continua X con densidad:
ex
)(
1
)x(f /x1 β−−α
α
βαΓ
=
Cuando 0x > , 0>α , 0>β tiene distribución gamma con parámetros α y β.
La media y la varianza de una variable aleatoria gamma puede evaluarse
usando la técnica de la función generadora de momentos.
Si tenemos una variable aleatoria gamma X con parámetros α y β:
1. La función generadora de momentos de X está dada por:
)t1()t(mx β−= α−
t<1/β
2. E[X] = αβ
3. Var X = βα 2
Distribución exponencial
La distribución gamma origina una familia de variables aleatorias llamadas
variables exponenciales. Esta familia se conforma de cada variable aleatoria

4. gamma con 1=α . La densidad de una variable aleatoria exponencial es la
siguiente:
e
1
)x(f /x β−
β
= 0x > , 0>β
Distribución ji cuadrada
Se usa ampliamente en estadística aplicada, también sirve de base para
elaborar inferencias sobre la varianza de una población basada en una muestra.
Definición de distribución ji cuadrada: Al tener una variable aleatoria gamma X
con β=2 y α = γ/2, donde γ es un entero positivo. Se afirma que X tiene
distribución ji cuadrada con γ grados de libertad. Esta variable se denota con
X
2
γ .
Una variable aleatoria ji cuadrada se especifica por completo al indicar sus
grados de libertad. La aplicación del teorema anterior permite apreciar que la
media de una variable aleatoria ji cuadrada es γ, sus grados de libertad, y su
varianza, 2γ, el doble de sus grados de libertad.
Distribución Normal
Se dice que una variable aleatoria X con densidad:
2]/)x)[(2/1(
e
2
1
)x(f σµ−−
πσ
= ∞<<∞− x
∞<µ<∞−
0>σ
Tiene distribución normal con parámetros µ y σ.
Esta definición afirma solamente que µ es un número real y que σ. Es positiva.
Los parámetros que aparecen en la ecuación de la densidad de una variable
aleatoria, son la media y la desviación estándar. Ello puede verificarse una vez
que se conoce la función generadora de momentos de X.. El teorema siguiente
muestra esta forma importante:
Sea X una variable de distribución normal con parámetros µ y σ. La función
generadora de momentos de X está dada por:
e)t(m
2/2t2t
x
σ+µ
=
Ahora si es fácil demostrar que los parámetros incluidos en la definición de la
densidad normal son en verdad la media y desviación estándar de la variable.
Sea X una variable aleatoria normal con parámetros µ y σ. Entonces, µ es la
media de X y σ es su desviación estándar.
Distribución normal estándar

5. La determinación de las áreas bajo la curva normal requiere el uso de técnicas
de integración numéricas. Se usa una transformación algebraica sencilla para
superar este problema. La transformación se llama procedimiento de
estandarización, toda pregunta acerca de cualquier variable aleatoria normal
puede transformarse en una pregunta equivalente, que concierne a una
variable aleatoria normal con media 0 y desviación estándar 1. Esta variable se
denota con Z y se llama variable normal estándar.
Teorema de estandarización: Al tener una variable normal X con media µ y
desviación estándar σ. La variable (X- µ)/σ es la variable normal estándar.
Regla De Probabilidad Normal Y Desigualdad De Chebyshev
Suele ser de utilidad contar con un método rápido para determinar cuáles
valores de una variable aleatoria son comunes y cuáles se consideran
infrecuentes. En el caso de una variable aleatoria de distribución normal, es
posible desarrollar una regla general, llamada regla de probabilidad normal.
Esta regla se describe en el siguiente teorema:
Regla de probabilidad normal: Sea X una variable de distribución normal con
parámetros µ y σ. Entonces:
68.0]X[P =σ<µ−<σ−
95.0]2X2[P =σ<µ−<σ−
997.0]3X3[P =σ<µ−<σ−
La regla de probabilidad normal puede expresarse en porcentajes. De manera
particular, implica que casi el 68% de los valores observados de X en el
muestreo repetido de una distribución normal debe ubicarse a no mas de una
desviación estándar de su media; 95%, a no mas de dos desviaciones estándar,
y 99.7%, a no mas de tres desviaciones estándar de la media. Así pues, un
valor observado que esté a más de tres desviaciones estándar de la media de µ
es infrecuente, ya que ocurre con probabilidad de 0.003.
Desigualdad de Chebyshev
Se utiliza para juzgar cuán infrecuentes son los valores de una variable
aleatoria. La desigualdad difiere de la regla de probabilidad normal en que no
requiere que la variable aleatoria correspondiente tenga distribución normal.
Además es innecesaria la continuidad. La desigualdad es válida con cualquier
variable aleatoria.
Teorema de la desigualdad de Chebyshev: Para una variable aleatoria X con
media µ y desviación estándar σ. Entonces, con cualquier número positivo k:
k
1
1k]X[P 2
−≥σ<µ−
Aproximación Normal de la Distribución Binomial

6. Las tablas binomiales están limitadas necesariamente en su alcance porque n
puede variar de 1 al infinito y porque p puede tomar cualquier valor entre 0 y 1.
Una distribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribución
normal, siempre que n sea grande y p no esté muy próxima a 0 o a 1. La
aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y
desviación típica que la distribución binomial.
Distribución de Weibull y confiabilidad
Esta distribución puede ser usada para representar varios fenómenos físicos.
Su función de densidad está dada por
Donde b y θ son los parámetros de forma y escala, respectivamente. La función
de distribución acumulativa es como sigue
Si T es una variable aleatoria que sigue esta función de probabilidad, entonces
su esperanza es
Conclusiones
- En este capítulo tratamos a cerca del tratamiento de variables aleatorias
continuas, y se vio que es más complicado de manejarlas que a las discretas
porque estás van cambiando constantemente su valor, y se las debe tratar por
intervalos. Por ello se usa el cálculo integral que nos permite evaluar funciones
dentro de un intervalo determinado.
- El valor esperado de una variable aleatoria será una función finita definida en
un intervalo determinado.
- Las principales funciones que me permiten tratar variables aleatorias continuas
son: Distribuciones Acumulativas, Gamma, Exponencial y ji Cuadrada,
Distribución de Weibull.