Probabilidad y Teoría de la Distribución II

Probabilidad y Teorı́a de la Distribución II
Econometrı́a 1
Week 02 - Session 1
Joel Turco Quinto
jturco@continental.edu.pe
Continental University
School of Economics
2023

Variables aleatorias: caso univariado Distribución de probabilidad: caso bivariado
Contenido
1 Variables aleatorias: caso univariado
Distribuciones de probabilidad
Distribución Discreta
Distribución Continua
Caracterı́sticas de las distribuciones
Valor esperado y varianza
Momentos de una distribución
Algunas distribuciones importantes: caso univariado
Distribución Poisson
Distribución Normal
Distribución Chi-cuadrada
Distribución t de student
Distribución F
2 Distribución de probabilidad: caso bivariado
Distribución conjunta
Distribución marginal
Distribución condicional
Esperanza y varianza condicional
Covarianza y coeficiente de correlación
Un ejemplo
Prof. Joel Turco (Continental University - School of Economics) Econometrics 1 (Week 02 - Session 1) 2023 3 / 35

Sección 1
Variables aleatorias: caso univariado

Variables aleatorias
Definition: variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una variable definida sobre el espacio muestral Ω asociado a un experimento
ε. Es decir, es una función X : Ω → R, en donde a cada elemento (punto muestral) del espacio
muestral le hace corresponder un número real. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Ejemplo. Sea el experimento de lanzar una moneda dos veces. Definimos a la variable aleatoria como
el número de caras que aparece. El espacio muestral serı́a
Ω = {CC, SS, CS, SC}
y cada resultado se convertirı́a en
X(CC) = 2, X(SS) = 0, X(CS) = 1, X(SC) = 1
Entonces definirı́amos al rango o recorrido de la variable aleatoria como Rx = {0, 1, 2}.

Función de densidad de una variable discreta
Definition: Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria X es discreta si hay una secuencia finita o infinita numerable de distintos números
reales x1, x2, · · · , y una correspondiente secuencia de números reales p1, p2, · · · , tal que P(X = xi ) = pi
para todo i, y que
P
i pi = 1.
Definition: Función de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2, ..., xn. Se define función de probabilidad (o
distribución de probabilidad) discreta a f (x) que cumple que f (xi ) = P(X = xi ) = pi , ∀ i = 1, .., n y
f (x) = 0, ∀ x ̸= xi .
Ejemplo. En un lanzamiento de dos dados, la variable aleatoria X, que se define como la suma de los
números que aparecen en dichos dados, se puede graficar como sigue

Definition: Función de distribución acumulada
Función de distribución acumulada discreta
Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2, ..., xn. La función de distribución acumulada (o
simplemente función de distribución), F(x), de la variable aleatoria discreta X se define por:
F(x) = P(X ≤ x) =
X
xi ≤x
P(X = xi ) =
X
xi ≤x
f (xi ).
Theorem: Propiedades de la función de distribución
Sea F(x) la función de distribución acumulada de una variable aleatoria X. Entonces se cumple que
1 0 ≤ F(x) ≤ 1 para todo x,
2 F(x) ≤ F(y) cuando x ≤ y,
3 limx→+∞ F(x) = 1,
4 limx→−∞ F(x) = 0.
Ejemplo. En un lanzamiento de dos dados, la variable aleatoria X se define como la suma de los
números que aparecen en dichos dados. Calcular la función de distribución acumulada y graficarla.

Función de densidad de probabilidad continua
Definition: Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria X es continua si P(X = x) = 0, para todo x ∈ R.
Definition: Función de densidad de probabilidad
Sea X una variable aleatoria continua y f : R → R una función. Entonces f es una función de densidad
de probabilidad si
1 f (x) ≥ 0 para todo x ∈ R.
2
R ∞
−∞
f (x)dx = 1.
3 P(a ≤ x ≤ b) =
R b
a
f (x)dx (X es absolutamente continua). Asimismo,
P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x ≤ b) = P(a < x < b).
Ejemplo. Pregunta: ¿Será f (x) = 1
9 x2
una función de densidad ?, donde 0 ≤ x ≤ 3.

Definition: Función de distribución acumulada de una variable continua
Función de distribución de una variable continua
La función de densidad de distribución acumulada, F(x), de la variable aleatoria continua X se define
por:
F(x) = P(X ≤ x) =
Z x
−∞
f (t)dt, para − ∞ < x < +∞
Definition: Propiedades de la distribución acumulativa
Sea F(x) la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continuaX. Entonces se cumple
que
1 F(−∞) = 0,
2 F(∞) = 1,
3 P(a < X < b) = F(b) − F(a),
4
dF(x)
dx = F′
(x) = f (x).

Función de distribución acumulada de una variable continua
Ejemplo. La figura representa la función de densidad de X. Encuentre el valor de C, la función de
densidad, función de distribución acumulada, y P(5/4 ≤ X ≤ 5/2).

Valor esperado o esperanza matemática
Definición
La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta es
µ = E[x] =
X
x
xf (x);
si la variable es continua, el valor esperado es
µ = E[x] =
Z
x
xf (x)dx.
Propiedades
1 Sea a una constante o variable no aleatoria. E(a) = a.
2 Sea a y b constantes o variables no aleatorias. E[ax + b] = aE[x] + b.
3 Sean x y y dos variables aleatorias independientes. E[xy] = E[x]E[y].
4 Sea x una v.a. con función de densidad f (x) y sea g(X) otra función de x.
E[g(x)] =
P
x g(x)f (x) en el caso discreto, y E[g(x)] =
R
x
g(x)f (x) si es continua.

Varianza de una variable aleatoria
Definición
La varianza de una variable aleatoria discreta es
σ2
= Var[x] = E[(x − µ)2
] =
X
x
(x − µ)2
f (x);
si la variable es continua, la varianza es
σ2
= Var[x] = E[(x − µ)2
] =
Z
x
(x − µ)2
f (x)dx.
Propiedades
1 Var[x] = E[(x − µ)2
] = E[x2
] − µ2
. Si a es constante, Var[a] = 0.
2 Sea a y b constantes o variables no aleatorias. Var[ax + b] = a2
Var[x].
3 Sean x y y dos variables aleatorias independientes (x ⊥ y). Entonces Var[x + y] = Var[x] + Var[y]
y Var[x − y] = Var[x] + Var[y].
4 Sean x ⊥ y y a y b constantes. Var[ax + by] = a2
Var[x] + b2
Var[y].

Momentos de una distribución
Definición
A veces necesitamos medidas de resumen además de la media, varianza y covarianza, tales como los
momentos de mayor orden. El momento r de una distribución f (x) alrededor de su media se define
como:
µr = E[(x − µx )r
].
El tercer y cuarto momentos ayudan a estudiar la forma de la distribución de probabilidades: la falta de
asimetrı́a (asimetrı́a) y su apuntamiento (curtosis)
1 Asimetrı́a. El coeficiente de asimetrı́a se define como: S =
µ3
σ2
.
2 Curtosis. Una medida de curtosis se define como: K =
µ4
σ4
− 3.

Distribución Poisson (X ∼ P(λ))
Definición
Dada una variable aleatoria discreta X con rango Rx = 0, 1, 2, ..., tiene distribución Poisson con
parámetro λ > 0 si su función de probabilidad es
f (x) = P(X = x) =
e−λ
λx
x!
, donde x = 0, 1, 2, ...
Se caracteriza por tener los siguientes parámetros asociados:
1 Media: µ = E[x] = λ.
2 Varianza: σ2
= Var[x] = λ.
La distribución Poisson es un modelo muy importante porque ayuda a analizar un gran número de
fenómenos observables.

Distribución Normal (X ∼ N(µ, σ2
))
Definición
Dada una variable aleatoria continua X con rango Rx = ℜ, tiene distribución normal (o gaussiana) con
parámetros µ y σ2
si su función de densidad es
f (x) =
1
σ
√
2π
e− 1
2 ( x−µ
σ )2
, donde − ∞ < x < +∞
Tiene las siguientes propiedades:
1 Es simétrica respecto a µ . El área total que encierra es igual a 1.
2 Valor máximo en x = µ. Puntos de inflexión son x = µ − σ y x = µ + σ.
3 Tiene al eje X como ası́ntota horizontal: lim±∞ f (x) = 0.

Distribución Normal Estándar (Z ∼ N(0, 1))
Definición
Una distribución normal estándar (Z = X−µ
σ ∼ N(0, 1)) es una distribución normal con media cero y
desviación estándar uno. La función de densidad es
ϕ(z) =
1
√
2π
e− 1
2 z2
, donde − ∞ < z < +∞
Donde z = x−µ
σ . Tiene las siguientes propiedades:
1 Es simétrica respecto a µ . El área total que encierra es igual a 1.
2 Valor máximo en z = 0. Puntos de inflexión son z = −1 y z = 1.

Distribución Normal Estándar (Z ∼ N(0, 1))
Deninimos la probabilidad acumulada para la distribiución normal estandar como:
P(Z ≤ z) = Φ(z) =
Z z
−∞
1
√
2π
e− 1
2 t2
dt
Entonces, se cumple que
P(X ≤ x) =
Z x
−∞
1
σ
√
2π
e− 1
2 ( t−µ
σ )2
dt = P(Z ≤ z) =
Z z
−∞
1
√
2π
e− 1
2 t2
dt
Recuerde que se cumple (aproximando con Taylor):
P(0 ≤ Z ≤ z) =
Z z
0
1
√
2π
e− 1
2 t2
dt =
1
√
2π
∞
X
k=0
(−1)k
z2k+1
2k (2k + 1)k!

Distribución Normal Estándar: uso de la tabla
Con métodos de integración numérica (usando Taylor u otros) se han tabulado los valores para la
distribución acumulada de la normal estándar:
Φ(z) = P(Z ≤ z) =
Z z
−∞
1
√
2π
e− 1
2 t2
dt.
Usando este resultado es fácil calcular cualquier probabilidad acumulada:
Propiedades
1 P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a).
2 Φ(−z) = 1 − Φ(z).
3 P(−a ≤ Z ≤ a) = Φ(a) − Φ(−a) = Φ(a) − (1 − Φ(a)) = 2Φ(a) − 1.
4 Sea X ∼ N(µ, σ2
), entonces P(a ≤ X ≤ b) = P(a−µ
σ ≤ Z ≤ b−µ
σ )
Ejemplos
1 P(Z ≤ 1.2).
2 P(0.81 ≤ Z ≤ 1.94).
3 P(Z ≤ −1.28).
4 P(Z ≥ −0.68).
5 Sea X ∼ N(4, 9). Calcule P(2 < X ≤ 6) y P(| X |> 2).

Distribución Normal: Propiedades adicionales
1 Propiedad reproductiva de la normal. Sea X1 ∼ N(µ1, σ2
1) y X2 ∼ N(µ2, σ2
2) y X1 ⊥ X2. La
combinación lineal Y = aX1 + bX2 tiene una distribución
Y ∼ N(aµ1 + bµ2, a2
σ2
1 + a2
σ2
2).
2 Teorema del lı́mite central. Sean X1, X2, ...; Xn variables aleatorias independientes, donde
Xi ∼ N(µ, σ2
). Entonces, si definimos la media muestral X =
P
Xi /n, su distribución será
X ∼ N(µ,
σ2
n
) y su estandarización serı́a Z =
X − µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1).
3 Momentos. El tercer y cuarto momentos alrededor de la media son, respectivamente:
E(x − µ)3
= 0 y E(x − µ)4
= 3σ4
.
4 Jarque-Bera. Según las medidas de asimetrı́a, una distribución normal tiene asimetrı́a S = 0 y
curtosis K = 3; es decir, es simétrica y mesocúrtica. Entonces, para saber si una variable se acerca
a una normal, se usa el siguiente estadı́stico:
JB = n[
S2
6
+
(K − 3)2
24
].

Distribución Chi-cuadrada (X ∼ χ2
(n))
Definición
Sean {zi }n
1 un conjunto de n variables normales estandar independientes. Entonces, la siguiente
expresión se distribuye como una chi-cuadrado con n grados de libertad:
x =
n
X
1
z2
i ∼ χ2
(n).
Donde E(x) = n y Var(x) = 2n. Algunas propiedades son:
1 Si {zi }n
1 son independientes con N(0, σ2
), entonces 1/σ2
Pn
i=1 z2
i ∼ χ2
(n).
2 Sean {xi }n
1 ∼ χ2
(ki ), entonces se cumple que
Pn
i=1 xi ∼ χ2
(k1 + k2 + ... + kn).

Distribución t de student (X ∼ t(n))
Definición
Sean z ∼ N(0, 1) y x ∼ χ2
(n) ambos independientes, entonces la siguiente expresión se distribuye como
una t de student con n grados de libertad
t =
z
p
(x/n)
∼ t(n)
Donde E(x) = 0 y Var(x) = n/(n − 2). Algunas propiedades son:
1 Es simétrica alrededor de cero, pero más plana que la normal. Sin embargo, a mayor grado de
libertad, la distribución t se aproxima a la normal.

Distribución F (X ∼ F(n1, n2))
Sean x1 ∼ χ2
(n1) y x2 ∼ χ2
(n2) ambos independientes, entonces la siguiente expresión se distribuye
como una F de student con n1 y n2 grados de libertad
F =
(x1/n1)
(x2/n2)
∼ F(n1, n2).
Donde E(F) = n2/(n2 − 2) y Var(F) = [2n2
2(n1 + n2 − 2)]/[n1(n2 − 2)2
(n2 − 4)]. Algunas propiedades
son:
1 Al igual que la distribución ji cuadrada, la F está sesgada hacia la derecha. A medida que
aumentan n1 y n2, la distribución F tiende a una normal.
2 El cuadrado de una variable con distribución t con n grados de libertad sigue una distribución F
con 1 y n grados de libertad: t2
∼ F(1, n)
3 Si en F ∼ F(n1, n2), n2 es grande, se cumple que k1F ∼ χ2
(n1).

Sección 2
Distribución de probabilidad: caso bivariado

Variable aleatoria bivariada
Definition: Variable aleatoria bidimensional
Sea ε un experimento y S un suceso asociado con ε. Sean X = X(s) y Y = Y (s) dos funciones que
asignan un número real a cada uno de los resultados s ∈ S. Llamamos a (X, Y ) variable aleatoria
bidimensional (vector aleatorio).

Distribución conjunta discreta
Definition: Función de probabilidad conjunta discreta
Sea (X, Y ) una variable discreta bidimensional. Entonces, a la función
p = f (x, y) = P(X = x, Y = y)
es llamada función de masa de probabilidad conjunta discreta (fmpcd) de (X, Y ).
Ejemplo. Sea ε el lanzamiento de dos dados y las variables aleatorias Y1 (puntaje obtenido en el dado
uno) y Y2 (puntaje obtenido en el dado dos). Entonces fmpcd se representa gráficamente como

Distribución conjunta continua
Definition: Función de probabilidad conjunta continua
Una función f (x, y) de R2
en R es llamada función de densidad de probabilidad conjunta (fdpc) de una
variable aleatoria bivariada continua (X, Y ), si, para cada conjunto A ⊂ R2
, la función
P((X, Y ) ∈ A) =
Z
A
Z
f (x, y)dxdy.
Ejemplo. La siguiente gráfica es un ejemplo de una función de distribución conjunta para las variables
experiencia y salario (wage)
Definition: Función de probabilidad conjunta acumulativa
Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional. Entonces, a la función F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) se
le llama función de distribución acumulativa de (X, Y ).

Distribución marginal
Definition: Función de densidad de probabilidad marginal
Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional. Entonces, la función de densidad de probabilidad
marginal o individual de X es
1 En el caso discreto (probabilidad marginal): f (x) = P(X = x) =
P
y f (x, y)
2 En el caso continuo (densidad marginal): f (x) =
R +∞
−∞
f (x, y)dy

Distribución condicional
Definition: Función de densidad de probabilidad marginal
Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional. Entonces, cuando la variable es discreta la función de
probabilidad condicional de X dado Y es
f (x | y) = P(X = x, Y = y) =
f (x, y)
f (y)
mientras que, cuando la variable aleatoria es continua, la función de densidad condicional de X dado Y
es
f (x | y) =
f (x, y)
f (y)
Definition: Independencia
Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional. Entonces, X y Y serán independientes si solo si la
función de probabilidad (densidad) conjunta satisface
f (x, y) = f (x)f (y)

Esperanza y varianza condicional
Definition: Esperanza condicional
Sea f (x, y) una función de densidad conjunta de X dado Y . La esperanza condicional de X, dado
Y = y, se define como
E(X | Y = y) =
X
x
f (x | Y = y) si X es discreto
E(X | Y = y) =
Z +∞
−∞
f (x | Y = y)dx si X es continuo
Definition: Varianza condicional
Sea f (x, y) una función de densidad conjunta de X dado Y . La varianza condicional de X, dado
Y = y, se define como
Var(X | Y = y) = E

[X − E(X | Y = y)]2
| Y = y

Covarianza
Definición
Sean x y y dos v.a. con medias µx y µy . La covarianza entre las dos variables se define como
cov[x, y] = E[(x − µx )(y − µy )] = E[xy] − µx µy .
En cálculo de la covarianza para variables discretas es
cov[x, y] =
X
y
X
x
(x − µx )(y − µy )f (x, y) =
X
y
X
x
xyf (x, y) − µx µy ;
si las variables son continuas, la covarianza es
cov[x, y] =
Z
y
Z
x
(x − µx )(y − µy )f (x, y)dxdy =
Z
y
Z
x
xyf (x, y)dxdy − µx µy ;
Propiedades
1 Si x ⊥ y, cov[x, y] = 0. Además, cov(a + bx, c + dy) = bdcov(x, y).

Coeficiente de correlación
Definición
Sean x y y dos v.a. con con desviaciones σx y σy . El coeficiente de correlación entre x y y se define
como:
ρxy = corr[x, y] =
cov[x, y]
σx σy
.
Es una medida de dependencia lineal entre x y y.
Propiedades
1 0 ≤ ρxy ≤ 1.
2 Para constantes a, b, c y d, con a, c 0, se cumple que corr[ax + b, cy + d] = corr[x, y].
3 Para constantes a, b, c y d, con a, c 0, se cumple que corr[ax + b, cy + d] = −corr[x, y].

Un ejemplo
Calcular las probabilidades marginales, condicionadas, valor esperado condicionado y varianza
condicionada de la siguiente función de distribución conjunta

Bibliografı́a
1 Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadı́stica, Aplicaciones y Métodos. México: McGraw-Hill.
2 Meyer, P. (1999). Probabilidad y Aplicaciones Estadı́sticas. Addison Wesley Longman.
3 Grenne, W. (2012). Econometric Analysis (7th ed.). Boston: Prentice Hall.
4 Wackerly, D., Mendenhall, W. Scheaffer, R. (2010). Estadı́stica Matemática con
Aplicaciones(7ma ed.). México: Cengage Learning.
5 Casella, G. Berger, R. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury: Thomson Learning.
6 Evans, M. Rosenthal, J. (2010). Probability and Statistics. The Science of Uncertainty (2nd
ed.). New York: W. H. Freeman.
Recursos virtuales:
Statistical-method-in-economics
John Tsitsiklis, and Patrick Jaillet. RES.6-012 Introduction to Probability. Spring 2018.
Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare
c
d

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