Transformadas de laplace

1. Transformada Z
-Alfaro Díaz, José
-Portilla Gonzales, Ytalo
-Rivera Romero, Carlos

2. Definición
La transformada Z es una herramienta matemática que convierte una señal real en el dominio del tiempo
discreto a una señal en el dominio de la frecuencia compleja. En la mayoría de los casos se puede resolver
como un serie geométrica
Siendo una secuencia x[n], su transformada z se define como

3. Relación entre Transformada Z y Transformada de Laplace
La transformada Z es a las señales discretas lo que la transformada de Laplace es para señales continuas

4. Bilateral, unilateral e inversa
Bilateral Unilateral (cuando la secuencia sea
causal)
Inversa

5. ROC
Dado que la transformada Z es una serie de potencias, solo existe para aquellos valores de z para los que
la serie converge. El conjunto de valores de z para los cuales la serie converge se llama región de
convergencia.
Definimos la función escalón unitario en tiempo discreto como

6. Propiedades de la transformada

7. Linealidad
La transformada Z de una combinación lineal de señales puede hallarse a partir de la
combinación Lineal de las transformadas Z de las señales individuales, y su ROC (Región de
Convergencia) contendrá la intersección de las ROC de las señales individuales.

8. Demostración

9. Desplazamiento Temporal
Un desplazamiento temporal introduce un decaimiento exponencial en el dominio
transformado Z. La ROC en general no se altera.

10. Demostración

11. Escalado en frecuencia
Un escalamiento en el dominio Z introduce una expansión exponencial en el dominio
temporal. La ROC resulta también escalada

12. Demostración

13. Multiplicación para n

14. Demostración

15. Convolución

16. Demostración

17. Usada en el procesamiento de imágenes digitales (televisores de alta definición, cámara digitales)
Usada en sistemas de radares
Usada en sistemas de control de procesos de computadoras
Usada para el eficaz almacenamiento de sonido digital
Usada para la elaboración de imágenes médicas mediante ultrasonido
Aplicaciones de la Transformada Z en electrónica

18. Tabla de Transformadas Z

19. Ejercicio 1

20. Ejemplo 2

21. Ejemplo 3

22. Conclusiones
El uso de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la Transformada de Laplace pero
para señales continuas, y estas a la vez mantienen una relación con la Transformada de Fourier.
Dentro del mundo de la tecnología, la relevancia de la Transformada Z recae en el diseño de sistemas de
control digital, ya que al muestrear la función haremos que pase de ser continua a discreta.
Actualmente, usamos esta herramienta matemática para el procesamiento de imágenes digitales,
sistemas de radares, control de procesos de computadoras, en el eficaz almacenamiento de sonido digital
y la elaboración de imágenes médicas mediante ultrasonido

23. -Definición de la transformada z (Pedro Antonio Teppa Garran)
https://www.youtube.com/watch?v=6wrDK8qBTpw&t
Soliman, S. & Srinath, M. (1999). Señales y Sistemas continuos y discretos. 2da edición. Madrid:
Pretince Hall Iberia, S.R.L
-TRANSFORMADA Z - Parte 1: Definición | El Traductor (El Traductor de Ingeniería)
https://www.youtube.com/watch?v=JIUUgep4w_c
Bibliografía