Este documento presenta una sesión sobre la Transformada Z en el procesamiento digital de señales. Se define la Transformada Z y sus propiedades, incluyendo cómo permite pasar de una señal en tiempo discreto a una función continua en el dominio Z. También explica cómo calcular la Transformada Z, sus propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo, y cómo se puede usar para analizar sistemas y calcular su función de transferencia en el dominio Z. Finalmente, introduce la interpretación en frecuencia de la Transformada Z y los diagramas de polos

1. Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
Procesamiento Digital de Señales
(TC61)
Sesión: 9 y 10
La Transformada Z
Ing. José C. Benítez P.

2. Sesión 9 y 10. La Transformada Z
Definición y propiedades
Calculo de la Transformada Z
Transformada Z unilateral
Propiedades de la Transformada Z
Tabla de parejas comunes de Transformada Z
Función de transferencia de un sistema en el
dominio Z
Tipos básicos de secuencias
Función de transferencia de sistemas basados en
ecuaciones en diferencias
Calculo en el dominio Z de la respuesta de un
sistema
Interpretación en frecuencia de la Transformada Z
El cuento de los maquinistas
Ejemplo de interpretación en frecuencia de la
Transformada Z
Diagrama de polos y ceros
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2

3. Definición y propiedades
El dominio Z constituye una representación alternativa al
dominio temporal discreto.
La transformada Z permite pasar de una señal en tiempo
discreto a una función continua de la variable z; presentando
además algunas características importantes:
a) es muy fácil de calcular,
b) suministra información sobre la composición frecuencial
de la secuencia original, y
c) suministra información sobre la causalidad y la
estabilidad para el caso de sistemas.
La aportación fundamental de la transformada Z es
suministrar información frecuencial continua a partir de
una cantidad discreta de coeficientes.

4. Cálculo de la transformada Z
Si x[n] es una señal en tiempo discreto, su transformada
Z (que se denota como Z{x[n]}) se define así:
X(z) = Z{x[n]} = Σn=-∞,∞ x[n]z-n
De esta forma, a partir de una secuencia x[n] obtenemos
una función continua X(z) que depende de la variable z.
La variable z es compleja por lo que se considera como
plano Z el definido por los ejes real e imaginario de z.
Cada punto del plano Z determina un valor de X(z), lo que
supone una tercera dimensión, por lo que X(z) describe
una superficie sobre el plano Z.

5. Cálculo de la transformada Z
La relación entre una secuencia, x[n], y su transformada Z, X(z),
suele representarse también como:
x[n] ↔ X(z)
Se dice en cualquier caso que x[n] y X(z) constituyen una
pareja de transformadas Z.
Como puede observarse en los siguientes ejemplos, el cálculo de
esta transformada es extremadamente sencillo:
x[n] = {1; 2; 3} ↔ X(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2
x[n] = {1; 0; 1; 0; 1} ↔ X(z)=1 + z-2 + z-4
x[n] = an ↔ X(z) = ... + a-2z2 + a-1z + 1 + az-1 + a2z-2 + ...

6. Transformada Z unilateral
Para ser estrictos, es necesario indicar que la ecuación
presentada define la que se conoce como transformada
Z bilateral (al ir de -∞ hasta ∞).
De manera alternativa, puede definirse la
transformada Z unilateral empezando en cero. Esta
transformada se denota como Z+{x[n]} y se define
así:
X+(z) = Z+{x[n]} = Σn=0,∞ x[n]z-n
Nótese que, si x[n] es causal, entonces X(z) = X+(z).
Por ello, la transformada Z bilateral de una
secuencia multiplicada por el escalón unitario (lo
que la hace causal) es igual a la transformada Z
unilateral de esa secuencia:
Z{x[n]u[n]} = Z+{x[n]}

7. Propiedades de la transformada Z
Correspondencia unívoca. Indica que la transformada
Z de una secuencia la determina unívocamente. Es
decir, no existen dos secuencias diferentes que
posean la misma transformada ni dos
transformadas diferentes que provengan de la
misma secuencia:
Z{x[n]} = Z{y[n]} <=> x[n] = y[n]
Linealidad. Consiste en que la transformada de una
suma de secuencias escaladas es igual a la suma
de las transformadas escaladas de dichas
secuencias:
Z{ax[n] + by[n]} = aZ{x[n]} + bZ{y[n]}

8. Propiedades de la transformada Z
Desplazamiento en el tiempo. Esta propiedad
se traduce en que un retardo en el tiempo de
una muestra en una secuencia equivale a
dividir por z su transformada:
Z{x[n - 1]} = z-1Z{x[n]}
Esto puede extenderse a k muestras, quedando:
Z{x[n - k]} = z-kZ{x[n]} (para k entero)

9. Propiedades de la transformada Z
Convolución de secuencias. Consiste en que la
operación de convolución en el tiempo es
equivalente al producto en el dominio Z:
Z{x[n] * y[n]} = Z{x[n]}Z{y[n]}
Todas estas propiedades las posee también la
transformada Z unilateral. La única salvedad es que
la propiedad de desplazamiento, en este caso, se
formula de manera diferente:
Z+{x[n - 1]} = x[-1] + z-1Z+{x[n]}

10. Propiedades de la transformada Z
En el caso de secuencias de longitud infinita, la
transformada Z sería un polinomio de infinitos
términos.
En estos casos, es posible expresar la transformada
como un cociente de polinomios definidos en z-1.
Para ello, basta encontrar un sistema cuya respuesta a
la muestra unitaria sea la secuencia que deseamos
transformar y calcular su función de transferencia en el
dominio Z.

11. Propiedades de la transformada Z
Consideremos por ejemplo la secuencia:
s[n] = u[n]nan = {0; a; 2a2; 3a3; 4a4; ...}
Para calcular su transformada Z{s[n]} supongamos
que existe un sistema cuya respuesta a la muestra
unitaria es esa secuencia (h[n] = s[n]). Su ecuación
de recurrencia podría ser la siguiente:
y[n] = ax[n - 1] + 2ay[n - 1] - a2y[n - 2]

12. Propiedades de la transformada Z
Es fácil de comprobar examinando los valores que adquiere
h[n]:
h[n] = aδ[n - 1] + 2ah[n - 1] - a2h[n - 2]
h[0] = 0 + 0 - 0 = 0
h[1] = a + 0 - 0 = a
h[2] = 0 + 2a2 - 0 = 2a2
h[3] = 0 + 4a3 - a3 = 3a3
h[4] = 0 + 6a4 - 2a4 = 4a4
...

13. Propiedades de la transformada Z
Una vez comprobado que el sistema descrito por la ecuación es
el correcto, aplicamos transformada Z en ambos lados de la
misma obteniendo:
Y(z) = az-1X(z) + 2az-1Y(z) - a2z-2Y(z)
Aunque esto se verá con detalle en la siguiente sección,
podemos calcular la transformada H(z) = Z{h[n]}, que es igual
a Z{s[n]}, como el cociente entre la entrada y la salida en el
dominio Z:
H(z) = Y(z) / X(z) = (az-1) / (1 - 2az-1 + a2z-2) =
(az-1) / (1 - az-1)2 ↔ h[n]

14. Tabla de parejas comunes de
transformadas Z

15. Función de transferencia de un
sistema en el dominio Z
Dado un sistema, su función de
transferencia en el dominio Z se define como
la transformada Z de su respuesta a la muestra
unitaria:
H(z) = Z{h[n]}
Para calcularla, podemos transformar la ecuación
de convolución:
y[n] = x[n] * h[n]
Y(z) = X(z)H(z)
Y despejar:
H(z)=Y(z) / X(z)

16. Tipos básicos de secuencias
y[n] = (x[n] + x[n - 1]) / 2
Y(z) = (X(z) + z-1X(z)) / 2
H(z) = (1 + z-1) / 2
Ejemplo: función de transferencia en el dominio
Z del promediador móvil de 2 términos

17. Función de transferencia de sistemas
basados en ecuaciones en diferencias
Para el caso de sistemas que satisfacen una ecuación en
diferencias de la forma:
Σk=0,P a[k]y[n - k] = Σk=0,Q b[k]x[n - k]
Puede calcularse su función de transferencia aplicando
transformada Z a ambos lados de la igualdad:
Σk=0,P a[k]z-kY(z) = Σk=0,Q b[k]z-kX(z)
Con lo que tenemos:
H(z) = Y(z) / X(z) = (Σk=0,Q b[k]z-k) / (Σk=0,P a[k]z-k)

18. Función de transferencia de sistemas
basados en ecuaciones en diferencias
La ecuación anterior es la función de transferencia en el
dominio Z de un sistema genérico que satisface una ecuación
en diferencias de la forma indicada y que por tanto es lineal e
invariante con el tiempo.
En general, como se ha indicado con anterioridad suele darse
valor 1 al coeficiente a[0] con lo que quedaría:
H(z) = (Σk=0,Q b[k]z-k) / (1 + Σk=1,P a[k]z-k)
Falta indicar que, por la propiedad de correspondencia unívoca
de la transformada Z, la función de transferencia en el dominio
Z de un sistema caracteriza plenamente su comportamiento.
Es decir, es un modelo de ese sistema.

19. Cálculo en el dominio Z de la
respuesta de un sistema
La respuesta Y(z) de un sistema ante una determinada entrada
X(z) puede calcularse como el producto de esa entrada y de su
función de transferencia H(z).
Partiendo por ejemplo del sistema definido por:
h[n] = {1; 2; 1}
y de la secuencia de entrada:
x[n] = {1; 1; 1}
podemos obtener la respuesta correspondiente como:
X(z) = 1 - z-1 + z-2
H(z) = 1 + 2z-1 + z-2
Y(z) = X(z)H(z) = 1 + z-1 + z-3 + z-4
y[n] = {1; 1; 0; 1; 1}

20. Interpretación en frecuencia de la
transformada Z
La transformada Z de una señal en tiempo discreto suministra
información acerca de su composición frecuencial.
Realizando un cambio de variable (sustituyendo z por e-jω),
puede obtenerse la DTFT de la secuencia original:
X(ω) = DTFT{x[n]} = Σn=-∞,∞ x[n]e-jωn
X(z) = Z{x[n]} = Σn=-∞,∞ x[n]z-n
Esto puede aplicarse también a sistemas: realizar esta
sustitución en su función de transferencia H(z) permite obtener
la respuesta en frecuencia H(ω) de un sistema.

21. El cuento de los maquinistas

22. Ejemplo de interpretación en
frecuencia de la transformada Z

23. Diagrama de polos y ceros
Observando la función de transferencia genérica vemos que
se trata de un cociente de polinomios en z-1:
H(z) = (Σk=0,Q b[k]z-k) / (1 + Σk=1,P a[k]z-k)
Las raíces de esos polinomios (llamémoslos polinomio
numerador y polinomio denominador) son puntos especiales
del plano Z:
Las raíces del polinomio numerador anulan la función
de transferencia y son los ceros del sistema.
Las raíces del polinomio denominador hacen infinita
la función de transferencia y son los polos del sistema.
Nunca pueden coincidir un polo y un cero ya que, si
existiese un valor de z que fuese a la vez polo y cero, podría
simplificarse en el cociente de polinomios.

24. Diagrama de polos y ceros
El diagrama de polos y ceros de un sistema es un
diagrama de Argand en el que se representan estos
valores especiales:
Los polos se simbolizan con una cruz.
Los ceros se simbolizan con una circunferencia.
Es habitual representar en este diagrama la
circunferencia de radio unidad (denominada
circunferencia unitaria).

25. Diagrama de polos y ceros
El diagrama de polos y ceros
de un sistema es un
diagrama de Argand en el
que se representan estos
valores especiales mediante
cruces (polos) y
circunferencias (ceros).
Es también habitual
representar en este
diagrama la circunferencia
de radio unidad
(denominada
circunferencia unitaria).

26. Tarea 6
1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de
todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 11 y 12.-
Filtros.
2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.
Presentación:
• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.
• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas
conceptuales en CMapTools.
• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).
• La fuente debe provenir de una universidad.
Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 26

27. Presentación
Todas las fuentes deben presentarse en formato digital
(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,
sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.
Ejemplo:
PDS_BenitezPalacios_T6
La fuente debe conservar el nombre original y agregar
_tema.
Las Tareas que no cumplan las indicaciones
no serán recepcionados por el profesor.
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28. Sesión 9 y 10. Transformada Z
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