analisis de señales

1. Tema 8
La transformada de Laplace
Prof. Roselina Diaz
ANALISIS DE
SEÑALES

2. Contenido
• Transformación de Laplace. Definición.
• Propiedades de la Transformada de
Laplace.
• Región de convergencia.
• Propiedades de la región de convergencia.
• Diagrama de polos y ceros.
• Transformada de Laplace de señales
básicas.

3. Transformación de Laplace
Es una transformada la cual está definida por medio de una integral impropia y cambia una función de una variable de entrada en otra
función en otra variable. La transformada de Laplace de f(t) es entonces una función de la variable s y se denota por F(s) o L {f(t)}.
La transformación de Laplace es un proceso que reduce un sistema de ecuaciones integro-diferenciales simultáneas lineales a un
sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas lineales. La transformada de Laplace asocia una función en el dominio del tiempo con
otra función, la cual se define en el “plano de frecuencia compleja”.
Sea 𝑒𝑠𝑡
una exponencial compleja con frecuencia compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔. Es posible escribir 𝑒𝑠𝑡
como la señal de valor complejo
𝑒𝑠𝑡 = 𝑒𝜎𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝑗𝑒𝜎𝑡 sin(𝜔𝑡)
Las funciones f(t) y F(t) forman un par de transformadas de Laplace, es decir, que F(s) es la transformada de Laplace de f(t).

4. Transformación de Laplace
La mayoría de los ejemplos están basados en la integral
Algunas transformadas importantes

5. Propiedades de la Transformada
de Laplace
Linealidad
Escalamiento
ℒ 𝑥(𝑎𝑡) =
1
𝑎
𝑋
𝑠
𝑎
Desplazamiento temporal
La restricción en el corrimiento surge debido a que la transformada unilateral se define exclusivamente en términos de las partes
positivas de la señal.

6. Propiedades de la Transformada
de Laplace
Desplazamiento de la frecuencia
Convolución
Diferenciación en el dominio del tiempo
Integración

7. Propiedades de la Transformada
de Laplace

8. Diagrama de polos y ceros
Usualmente, la transformada F(t) de una función f(t) es una función racional en s, es decir,
Los coeficientes ak y bk son constantes reales y m y n son enteros positivos. La función F(s) se denomina una función
racional propia si n > m, y una función racional impropia si n ≤ m. Las raíces del polinomio del numerador, zk se
denominan los ceros de F(s) porque F(s) = 0 para esos valores de s. De igual forma, las raíces del polinomio del
denominador, pk, se denominan los polos de F(s) ya que ella se hace infinita para esos valores de s. En consecuencia,
los polos de F(s) están fuera de la región de convergencia (ROC) ya que F(s), por definición, no converge en los polos.
Por otra parte, los ceros pueden estar dentro y fuera de la ROC. También tenemos que si el orden del denominador
excede el orden del numerador por k, F(s) tendrá k ceros en el infinito. De manera similar si el orden del numerador
excede el orden del denominador por k, F(s) tendrá polos en el infinito.

9. Diagrama de polos y ceros
Tradicionalmente se usa una “×” para indicar la ubicación de un polo y un “○” para indicar cada cero. Esto se ilustra en
la Fig. para la función dada por

10. Región de convergencia
El recorrido de valores de la variable compleja s para los cuales converge la transformada de Laplace se denomina la
región de convergencia (ROC). Por ejemplo, sabemos que la señal Escriba aquí la ecuación.x(t) = e-atu(t), a real, tiene
como transformada la función X (s)= 1/(s+a) , siempre que Re(s) > − a, puesto que
sólo si Re(s+a)>0 o Re(s) > −a . Así que la RDC para este ejemplo la especifica la condición Re(s)> −a y se muestra en el
plano complejo como lo ilustra la Fig. mediante el área sombreada a la derecha de la línea Re(s) = −a , para el caso en
que a > 0 .

11. Propiedades de la región de
convergencia
1. La ROC no puede contener polos, si es una transformada racional de Laplace. Si la TL converge, X(s) es finita
sobre toda la ROC. Si d es un polo, X(d) = ±∞..
2. La ROC está formada por bandas paralelas al eje imaginario.
3. Si x(t) es acotada, integrable y de duración finita, entonces la ROC es todo el plano s.
4. Si x(t) es de orden exponencial: la ROC de una izquierda es de la forma 𝜎 < 𝜎𝑛, de una derecha 𝜎 > 𝜎𝑝, de una
bilateral 𝜎𝑝 < 𝜎 < 𝜎𝑛
• Si x(t)=0 para 𝑡 > 𝑏: señal unilateral izquierda.
• Si x(t)=0 para 𝑡 < 𝑎: unilateral derecha.
• Bilateral: extensión infinita en ambos sentidos.
5. Si X(s) es racional, la ROC está limitada por polos o se extiende hasta el infinito. Además, ningún polo de X(s) está
contenido en la ROC

12. Transformada de Laplace de señales
básicas 1

13. Transformada de Laplace de señales
básicas 2

14. Transformada Inversa de Laplace
Si F(s) es la transformada de Laplace de una función f(t), entonces f(t) se denomina la
transformada de Laplace inversa de F(s).
ℒ−1 𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)
En general, hay dos métodos de inversión fundamentales diferentes:
1. El Método de la Fórmula de Inversión. En este método, la función f(t) se expresa
directamente como una integral que involucra la función F(s).
2. Tablas. En este método se intenta expresar la función F(s) como una suma de
transformadas conocidas y tabuladas.

15. Inversión de Transformadas Racionales.
Parte 1
La transformada inversa f(t) de funciones racionales, es de la forma:
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
donde N(s) y D(s) son polinomios en s y no poseen factores comunes.
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑐1
𝑠 − 𝑠1
+
𝑐2
𝑠 − 𝑠2
+ ⋯ +
𝑐𝑛
𝑠 − 𝑠𝑛
Los coeficientes se obtiene

16. Inversión de Transformadas Racionales.
Parte 2
Donde
𝐷′
𝑠𝑖 =
𝑑𝐷
𝑑𝑠 𝑠=𝑠𝑖
=
𝐷(𝑠)
(𝑠 − 𝑠𝑖) 𝑠=𝑠𝑖
Puesto que la transformada inversa de la fracción
1
(𝑠−𝑠𝑖)
es igual a 𝑒𝑠𝑖𝑡 de la Ec. (3) se
concluye que la transformada inversa f(t) de la función racional F(s) es una suma de
exponenciales:

17. Inversión de Transformadas Racionales.
Parte 3
Para el caso de fracciones parciales para el caso en el cual el polinomio D(s) contiene
factores lineales repetidos de la forma (s−si)m
Donde los c c c se obtiene por

18. Inversión de Transformadas Racionales.
Parte 4
Para el caso de funciones racionales impropias, se procede a realizar la división de los
polinomios, entonces se obtiene
donde P(s) es el cociente y Q(s) es el residuo; m es el grado del numerador y n el del
denominador (m > n). Ahora el grado de Q(s) es menor que el de D(s). La nueva función
racional Q(s)/D(s) es propia y está preparada para su expansión. Se continúa entonces
con la expansión en fracciones parciales de Q(s)/D(s) y luego se obtiene la
transformada inversa de F(s).

19. Transformada inversa de Laplace.
Inspección directa
Este "método" consiste básicamente en familiarizarse con las tablas de pares de transformada de
Laplace y luego "realizar ingeniería inversa“, es decir simplificamos la expresión para Y(s) usando la
descomposición de fracciones parciales en transformadas tabulada y conocidas.
Por ejemplo:

20. Lecturas complementarias
• Haykin, Simon. (2001) Señales y sistemas. primera edición. Ed. Limusa-Wiley. Mexico
• Oppenheim, A.V y Schafer, R.W. (1999) Discrete-Time signal processing. Prentice&Hall. 1999.
• Morón J.(2011) SEÑALESY SISTEMAS. Fondo Editorial Biblioteca Universidad Rafael Urdaneta. 2011.Venezuela
• https://ocw.unican.es/pluginfile.php/1522/course/section/1956/Tema6.pdf
• http://www.lpi.tel.uva.es/lineales/resumen/resumen_tema9.pdf
• https://www.youtube.com/watch?v=8kEz2DSH9BA&ab_channel=MateFacil
• https://www.youtube.com/watch?v=McSN9g7DbYA&ab_channel=ElTraductordeIngenier%C3%ADa