La transformada z es una herramienta matemática fundamental en ingeniería electrónica que permite representar señales de tiempo discreto en el dominio complejo. Incluye propiedades como linealidad, desplazamiento, diferenciación, integración y convolución, y se utiliza para el diseño de sistemas de control digitales. La inversión de la transformada z permite recuperar la secuencia original a partir de su representación transformada.

1. LA TRANSFORMADA ZETA
Roberto Morales
C.I: 24.485.181
Ingeniería Electrónica

2. Indice
 - Introducción
 - Desarrollo:
 - Transformada Zeta de una secuencia. Mapeo entre plano S y plano Z.
- Transformada Zeta del Impulso, escalón, rampa y parábola unitaria.
- Propiedad de linealidad, desplazamiento, similitud, diferenciación,
integración y convolución.
- Transformada Zeta inversa.
 Conclusión

3. Introducción
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar
"Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría
haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las
señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
La transformada Z, se considera semejante a las secuencias de tiempo de la transformada de
Laplace. Esta misma puede tomarse como una extensión de la transformada de fourier
discreta. La transformada Z se usa para representar señales en el tiempo discreto (o
secuencias) en el dominio de la variable compleja Z para luego describir el concepto de la
función del sistema para un sistema lineal invariante con el tiempo.

4. Transformada Z
La definición matemática de la transformada de Z es la siguiente:
Básicamente transforma una señal en tiempo discreto x(n) en una función polinómica
compleja de variable. Es una forma alternatia de representar la señal donde los valores
de la señal pasan a ser los coeficientes de un polinomio en la variable compleja z.

5. Transformada Z
 Impulso unitario:
Definiendo la secuecia de impulso unitario ᵟ(k)= 1 para k = 0, su transformada se
determina de la siguiente manera Impulso unitario:
 Impulso retrasado:
Definiendo un impulso retrasado m unidades de tiempo discreto y retomando la
propiedad de corrimiento hacia la derecha, se obtine el siguiente par de
transformación:

6. Transformada Z
 Escalón Unitario:
Definido por la siguiente expresión
La transformada se obtiene de acuerdo con el siguiente desarrollo
Donde es la región de convergencia de la transformada , la cual se
enuncia de la siguien manera

7. Transformada Z
 Rampa Discreta unitaria
La transformada de una rampa discreta:
Multiplicando la ecuación anteriosr por –z y considerando a = 1, se obtiene finalmente la
expresión de la transformada de una rampa:

8. Propiedades de la Transformada Z
 Linealidad:
Por la propiedad de linealidad verifica que:
 Desplazamiento en k:
Por la propiedad de desplazamiento, el desplazamiento hacia delante de la misma
se conoce como:
Por la propiedad de desplazamiento, el desplazamiento hacia detrás de la misma
(asumiendo xk igual a cero para k negativo) se conoce como:

9. Propiedades de la Transformada Z
 Convolución:
Si Xk y Yk son tales que:
(Xk)*(Yk ), Donde * : Simbolo de convolución.
Si Xk es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y Y(k) es respuesta
al impulso entonces se obtendra que:
Donde Y(z) es la transformada de Y(k)

10. Propiedades de la Transformada Z
 Diferenciación:
Se tiene tiene una funcion en el dominio del tiempo , al aplicar la propiedad de
deferenciacion se obtiene que:
Es decir que en el espacio z será

11. Otras propiedades de la Transformada Z

12. Transformada inversa Z
La inversión de la transformada de Z para obtener la secuencia x(n) A
partir de su transformada en Z, x(z) se denomina la transformada Z inversa
y se denota como
La expresión formal de la transformada inversa Z es
Siendo C un contorno cerrado interiro a la ROC, recorrido en sentido
antihorario y que contenga el origen.
Aunque este metodo no es el adecuado para sistemas con transformada
z racional y en esos casos existen metodos mas sencillos.

13. Conclusión
La transformada z es muy importante para el diseño de sistemas de control digitales,
al muestrear la función hacemos que la función pase de ser continua a discreta, la cual,
solo toma valores enteros y la tecnología digital, generalmente, está en lenguaje
binario.