La Transformada Z.pptx

LaTransformada z
Definicióndelatransformadaz
Propiedadesytransformadascomunes
RepresentacióndesistemasLTIdetiempodiscretemediantelatransformadaz
Funcióndetransferenciadesistemasdetiempodiscreto

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La Transformada z
Como se vio anteriormente, para un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo (LTI) con la
respuesta al impulso h[n], la respuesta y[n] del sistema a una entrada exponencial compleja de la
forma 𝒛𝒏
es
donde
para 𝒛 = 𝒆𝒋𝝎
con ω (es decir, con |z| = 1), la sumatoria de la ecuación (10.2) corresponde a la
transformada de Fourier de tiempo discreto de h[n]. De manera más general, cuando |z| no está
restringida a la unidad, la sumatoria se conoce como la transformada z de h[n].
La transformada z de una señal discreta general x[n] se define como
donde z es una variable compleja.

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Por conveniencia, la transformada z de x[n] se denota algunas veces como Z{x[n]} y la relación entre
x[n] y su transformada z se indica como
Anteriormente examinamos varias relaciones importantes entre la transformada de Laplace y la
transformada de Fourier para señales continuas. En forma similar, pero no idéntica, hay un gran
número de relaciones importantes entre la transformada z y la transformada de Fourier de tiempo
discreto. Para explorar estas relaciones, expresemos la variable compleja z en forma polar como
Siendo r la magnitud de z y ω su ángulo. En términos de r y ω, la ecuación (10.3) pasa a ser
o, de manera equivalente,

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A partir de la ecuación (10.6) vemos que 𝑿(𝒓𝒆𝒋𝝎
) es la transformada de Fourier de la secuencia x[n]
multiplicada por una exponencial 𝒓−𝒏
; esto es,
La exponencial que pondera a x[n] puede ser creciente o decreciente al incrementarse n,
dependiendo de si r es mayor que o menor que la unidad. En particular, podemos observar que, para
r = 1 o, de forma equivalente |z| = 1, la ecuación (10.3) se reduce a la transformada de Fourier; es
decir,
La relación entre la transformada z y la transformada de Fourier para señales discretas se asemeja
mucho al análisis correspondiente para señales continuas, pero con algunas diferencias importantes.
En el caso continuo, la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier cuando la
parte real de la variable transformada es cero. Si interpretamos lo anterior en términos del plano s,
esto significa que la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier sobre el eje
imaginario (es decir, para s = jω. En contraste, la transformada z se reduce a la transformada de
Fourier discreta cuando la magnitud de la variable de transformación z es unitaria (es decir, para 𝒛 =
𝒆𝒋𝝎
). Por lo tanto, la transformada z se reduce a la transformada de Fourier sobre un contorno del
plano complejo z que corresponde a un círculo con radio unitario, como se indica en la figura 10.1. El
círculo en el plano z se conoce como el círculo unitario, y en el análisis de la transformada z juega un
papel similar al que desempeña el eje imaginario en el plano s para la transformada de Laplace.

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De la ecuación (10.7) vemos que para la convergencia de la transformada z requerimos que la
transformada de Fourier de 𝒙[𝒏]𝒓−𝒏
converja. Para cualquier secuencia específica x[n], esperaríamos
que esta convergencia ocurriera para algunos valores de r pero no para otros. En general, la
transformada z de una secuencia lleva asociado un rango de valores de z para el cual X(z) converge.
Al igual que con la transformada de Laplace, este rango de valores se conoce como la región de
convergencia (ROC). Si la ROC incluye el circulo unitario, entonces la transformada de Fourier
también converge.
Para ilustrar la transformada z y la región de convergencia asociada, examinemos varios ejemplos.

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Comparando las ecuaciones (10.9) y (10.11), así como las figuras 10.2 y 10.3, vemos que la expresión
algebraica de X(z) y el diagrama de polos y ceros correspondiente son idénticos en los ejemplos 10.1
y 10.2, y la transformada Z difiere sólo en sus regiones de convergencia. Por lo tanto, al igual que con
la transformada de Laplace, la especificación de la transformada z requiere tanto de la expresión
algebraica como de la región de convergencia. Asimismo, en ambos ejemplos las secuencias fueron
exponenciales y las transformadas z resultantes fueron racionales. De hecho, como sugiere el
próximo ejemplo, X(z) será racional siempre que x[n] sea una combinación lineal de exponenciales
reales o complejas:

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En cada uno de los cuatro ejemplos anteriores expresamos la transformada z como una relación de
polinomios en z y también como una relación de polinomios en e 𝒛−𝟏
. A partir de la definición de la
transformada z obtenida en la ecuación (10.3) vemos que, para secuencias que son cero para n < 0,
X(z) contiene sólo potencias negativas de z. Por lo tanto, para esta clase de señales es
particularmente cómodo expresar X(z) en términos de polinomios en 𝒛−𝟏
en lugar de z, y cuando sea
apropiado usaremos esta forma en nuestro análisis. Sin embargo, la referencia a los polos y ceros
siempre es en términos de las raíces del numerador y del denominador expresadas como polinomios
en z. Además, algunas veces resulta conveniente referirse a X(z), presentada como una razón de
polinomios en z, como si tuviera polos en el infinito si el grado en el numerador excediera el grado
del denominador o ceros en el infinito si el numerador fuera de menor grado que el denominador.

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La Región de Convergencia de la Transformada z
A continuación, exploraremos varias de las propiedades de la región de convergencia para la
transformada z. Cada una de las siguientes propiedades y su justificación son muy semejantes a las
correspondientes propiedades de la ROC de la transformada de Laplace. Se deja al estudiante el
análisis de las comprobaciones de las mismas, presentadas en el libro de texto.
Esta propiedad se ilustra en la figura 10.6, y se desprende del hecho de que la ROC consiste de
aquellos valores de 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝝎
para los cuales 𝒙[𝒏]𝒓−𝒏
tiene una transformada de Fourier que
converge. Esto es, la ROC de la transformada z de x[n] consiste de los valores de z para los cuales
𝒙[𝒏]𝒓−𝒏
es absolutamente sumable:

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De este modo, para secuencias izquierdas, los polos de X(z) diferentes de cualquiera que esté en z = 0
están mas alejados del origen que lo esta algún punto en la ROC.
Para un determinado patrón de polos y ceros o, de forma equivalente, una determinada expresión
algebraica racional X(z), hay un numero limitado de ROC diferentes que son congruentes con las
propiedades anteriores. Para ilustrar como las diferentes ROC pueden asociarse con el mismo patrón
de polos y ceros, presentamos el siguiente ejemplo.

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La Transformada z Inversa
Ahora examinaremos varios procedimientos para obtener una secuencia cuando se conoce su
transformada z. Para empezar, consideremos la relación formal que expresa una secuencia en
términos de su transformada z. Dicha expresión se puede obtener con base en la interpretación,
desarrollada de la transformada z como la transformada de Fourier de una secuencia
exponencialmente ponderada. En concreto, coma se expresa en la ecuación (10.7),
para cualquier valor de r tal que 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝝎
esté dentro de la ROC. Aplicando la transformada inversa
de Fourier a ambos miembros de la ecuación (10.38) se obtiene
o
Usando la expresión de la transformada inversa de Fourier, tenemos

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o, moviendo el factor exponencial 𝒓𝒏
dentro de la integral y combinándolo con el término 𝒆𝒋𝝎𝒏
,
tenemos
Esto es, podemos recuperar x[n] a partir de su transformada z evaluada a lo largo de un contorno
𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝝎
en la ROC, con r fija y una ω variante sobre un intervalo de 2π. Cambiemos ahora la
variable de integración ω a z. Con 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝝎
y r fija, entonces dz = jr 𝒆𝒋𝝎
dω = jz dω, o dω =
(1/j)𝒛−𝟏
𝒅𝒛. La integración en la ecuación (10.40) se da sobre un intervalo de 2π en ω el cual, en
términos de z, corresponde a una vuelta alrededor del circulo |z| = r. En consecuencia, en términos
de una integración en el plano z, la ecuación (10.40) puede rescribirse como
donde el símbolo ∳ denota la integración alrededor de un contorno circular cerrado en sentido
contrario a las manecillas del reloj, centrado en el origen y con radio r. El valor de r puede escogerse
como cualquier valor para el cual X(z) converge, es decir, cualquier valor tal que el contorno circular
de la integración |z| = r esté en la ROC. La ecuación (10.41) es la expresión formal de la
transformada z inversa y es la contraparte de tiempo discreto de la transformada inversa de Laplace.

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Al igual que con la transformada de Laplace inversa, la evaluación formal de la ecuación (10.41) de la
transformada inversa requiere que se utilice la integración de contorno en el plano complejo. Sin
embargo, existen diversos procedimientos alternativos para obtener una secuencia a partir de su
transformada z. Al igual que con las transformadas de Laplace, un procedimiento particularmente útil
para transformadas z racionales consiste en expandir la expresión algebraica en una expansión por
fracciones parciales y reconocer las secuencias asociadas con cada uno de los términos individuales.
En los siguientes ejemplos ilustraremos dicho procedimiento.

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Los ejemplos anteriores ilustran el procedimiento básico involucrado en la utilización de la expansión
por fracciones parciales para determinar la transformada z inversa. Como sucede con el método
correspondiente para la transformada de Laplace, el procedimiento se basa en expresar la
transformada z como una combinación lineal de términos más simples. La transformada inversa de
cada término se obtiene por inspección. En particular, suponga que la expansión en fracciones
parciales de X(z) tiene la forma

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de manera que la transformada in versa de X(z) es igual a la suma de las transformadas inversas de
los términos individuales en la ecuación. Si la ROC de X(z) esta fuera del polo en 𝒛 = 𝒂𝒊, la
transformada inversa del término correspondiente en la ecuación (10.55) es 𝑨𝒊𝒂𝒊
𝒏
𝒖[𝒏]. Por otro lado,
si la ROC de X(z) esta dentro del polo en 𝒛 = 𝒂𝒊, la transformada inversa de este termino es
−𝑨𝒊𝒂𝒊
𝒏
𝒖[−𝒏 − 𝟏]. En general, la expansión por fracciones parciales de una transformada racional
puede incluir otros términos además de los de primer orden en la ecuación (10.55). Más adelante,
mencionamos otros pares de transformadas z que pueden usarse en conjunto con las propiedades de
la transformada z que se desarrollarán para extender a transformadas z racionales y arbitrarias el
método de la transformada inversa esbozado anteriormente.
Otro procedimiento muy útil para determinar la transformada z inversa se basa en una expansión en
series de potencias de X(z). Lo que motivó a desarrollar este procedimiento fue la observación de
que la definición de la transformada z proporcionada en la ecuación (10.3) se puede interpretar
como una serie de potencias que involucra potencias de z tanto positivas como negativas. Los
coeficientes de esta serie de potencias son, de hecho, los valores de la secuencia x[n]. Para
demostrar como una expansión en series de potencias puede usarse para obtener la transformada z
inversa, veamos tres ejemplos.

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El método de expansión en serie de potencias para obtener la transformada z inversa es en particular
útil para transformadas z no racionales, lo cual demostraremos con un ejemplo adicional.

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Propiedades y algunos pares de la Transformada z
Al igual que con las otras transformadas que hemos desarrollado, la transformada z posee diversas
propiedades que la hacen una herramienta extremadamente útil para el estudio de señales y
sistemas discretas. En la tabla 10.1 se resumen muchas de estas propiedades.

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Las deducciones son análogas a las deducciones que se hicieron para las propiedades de las otras
transformadas, por lo que su estudio y análisis se dejan al estudiante. Estas deducciones se pueden
encontrar en el libro de texto. En la tabla 10.2 se muestran algunos pares relevantes de la
transformada a.

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Análisis y caracterización de los sistemas LTI usando las transformadas z
La transformada z juega un papel particularmente importante en el análisis y representación de
sistemas LTI discretos. De la propiedad de convolución,
donde X(z), Y(z) y H(z) son las transformadas z de la entrada, la salida y la respuesta al impulso del
sistema, respectivamente. H(z) se conoce como la función de transferencia del sistema o la función
del sistema. Para z evaluada en el círculo unitario (es decir, para 𝒛 = 𝒆𝒋𝝎
), H(z) se reduce a la
respuesta en frecuencia del sistema, siempre que el círculo unitario este en la ROC de H(z). También,
sabemos que si la entrada a un sistema LTI es la señal exponencial compleja 𝒙 𝒏 = 𝒛𝒏
, entonces la
salida será 𝑯(𝒛)𝒛𝒏
. Es decir, 𝒛𝒏
es una función propia del sistema con valor propio dado por H(z), la
transformada z de la respuesta al impulso.
Muchas propiedades de un sistema pueden estar relacionadas directamente con las características
de los polos, de los ceros y de la región de convergencia de la función del sistema, y aquí ilustraremos
algunas de estas relaciones mediante el examen de diversas propiedades del sistema y, de una
importante clase de sistemas. El análisis y estudio de las deducciones de estas propiedades se dejan
al estudiante. Estas deducciones se encuentran en el libro de texto del curso.

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• Causalidad

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• Estabilidad

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Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias lineales con coeficientes
constantes
Para los sistemas caracterizados por ecuaciones de diferencias lineales con coeficientes constantes,
las propiedades de la transformada z proporcionan un procedimiento particularmente conveniente
para obtener la función del sistema, la respuesta en frecuencia o la respuesta en el dominio del
tiempo del sistema. Ilustraremos esto con un ejemplo.

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Para el caso mas general de una ecuaci6n de diferencias de orden N, procedemos de forma similar al
ejemplo 10.25, aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación y usando las
propiedades de linealidad y desplazamiento en tiempo. En particular, considere un sistema LTI para el
cual la entrada y la salida satisfacen una ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes de
la forma
Entonces tomamos las transformadas z en ambos miembros de la ecuación (10.105) y utilizamos las
propiedades de linealidad y desplazamiento en el tiempo para obtener
o
tal que

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