2. ¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS
NÚMEROS?
• Es la parte de las Matemáticas que
estudia los números enteros y sus
propiedades
Matemática Matemática
Antigua Actual
Teoría de
Números
los Números
Figuras Geometría

3. Gauss, 1801
“La Matemática es la reina de las
ciencias y la Teoría de los
Números es la reina de las
Matemáticas”
2004
¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
Biólogos Químicos Físicos Matemáticos

4. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN
? ¿Qué es un número primo?
Aquél divisible sólo por él mismo y por 1
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
? ¿Cuántos números primos hay?
EUCLIDES (c.300 a.d.C.) :
Infinitos
“Más que cualquier cantidad de primos
dada”.

5. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN
? ¿Cuántos números primos hay?
EULER (1737): La infinitud se
puede demostrar utilizando
series infinitas. Hay más primos
que cuadrados.
? ¿En qué proporción?
CHEBYSHEV (1848): A la larga, la
proporción se hace tan pequeña como
se quiera pero decrece menos
rápidamente que K/log x .

6. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN
? ¿Se puede aproximar bien la
proporción con funciones
“normales”?
Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann) :
Proporción de primos menores que N~
N
1 dt 1 1
N ∫ log t ~ log N ~ 2'302 nº de cifras
2
10 cifras < uno de cada 20
40 cifras < uno de cada 90
70 cifras < uno de cada 160
100 cifras < uno de cada 230

7.  Prueba “buena”
∞
ζ ( s ) = ∑ n = ∏ (1 − p )
−s − s −1
Riemann
1
n =1 p
c
1/2
Función rara= fórmula complicada con primos
⇓
Función con primos = fórmula complicada con ζ
ζ(s)= producto sobre sus ceros (nº complejos)
0
π ( N ) = #{primos ≤ N }
N
dx
π (N ) = ∫ + O( N log N )
c
c=Re(cero más a la derecha)
2
log x

8. dx ψ ( x) − x ψ ( x) − x
N N
π (N ) = ∫ + +∫ 2
dx + ...
2
log x log x 2
x log x
ρ
x
ψ ( x) = x − ∑ + C
ρ ρ

9. MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN ζ Carril exclusivo
para los próximos
N
dx 10 9 ceros
π (N ) = ∫ + O( N log N ) + O( N log N )
c
(RIEMANN)
2
log x
No se admiten
ceros
!
∞
1/2
-4 -2 1
Al infinito
Ceros en cautividad
(no son peligrosos)

10. Hipótesis de Riemann (1859): Todos los ceros
no triviales de la función ζ están en “fila india”.
N
dx
Teorema de los números primos π ( N ) ~ ∫
2
log x
El error en el teorema de los números
HR primos es lo menor posible (algo más
que la raíz cuadrada de N).

11. EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA
Hume: Las ideas son
impresiones
debilitadas
Abstracción, Realidad
Matemáticas
Hume, 1736
“A los matemáticos les es habitual pretender que las
ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y
espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que
deben ser comprendidas por una visión pura e
intelectual de la que sólo las facultades del alma son
capaces.”

12. La mayoría de los matemáticos consideran
que el valor estético de la teoría de números
y de las Matemáticas en general, supera su
hipotético valor utilitario.
Pero ...
Gracias a los números primos y sus propiedades
se pueden hacer conexiones seguras por canales
inseguros, acreditar identidades , etc.
No es propaganda. Las conexiones seguras en
internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL,
firmas electrónicas) de manera cotidiana .

13. ¿Es posible transmitir públicamente sin
comprometer la seguridad?
¿Se puede jugar a las cartas por
correo o por teléfono? (I. Stewart)
Ana Blanca
...

14. ¿Cómo construir “candados” con los primos?
Cosas fáciles (con
ordenador): dos primos grandes
· Multiplicar
· Calcular el resto r de a b al dividir por p
Cosas difíciles (incluso con ordenador):
· Factorizar
· Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p
· RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978)
· Diffie-Hellman (1976)

15. La aritmética del reloj
2=14=122 8=20=-4
Suma Resta Multiplicación
11+4=3 2-3=-1=11 7·7=1
División 2·algo=5, no existe 5/2.
Notación:
a ≡ b (12) Significa que a y b son la misma hora
a ≡ b ( p) Lo mismo para un reloj con p (primo)
números

16. La aritmética del reloj (primo)
p =3 p =5
8 ≡ 2 (3) 11 ≡ 1 (5)
· En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0.
· Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas
por sí mismas dan todas las horas no nulas.
2 ≡ 2 (5), 2 ≡ 4 (5), 2 ≡ 3 (5), 2 ≡ 1 (5),
1 2 3 4
· (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces ·2
son siempre las 2 en un reloj primo.
· (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces · a
son siempre las a en un reloj primo.

17. p=primo grande (cientos de cifras), g= generador
x= mensaje
A na B lanca
(p)
a ga
gb b
Clave=gab Clave=gab
x Cx Cx x
¿ ga , gb gab ?

18. NÚMEROS + ANÁLISIS
¿Cómo contar con ondas?
¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3?
enrollar
..... 10
9
1 2 3 10
∑ ondas analizar
Método mejor

19. Ejemplo no trivial:
d (n) = nº de divisores de n
N
¿ ∑ d ( n) ? N = 6, 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 = 14
n =1
N N
∑ d (n) = ∑ #{b en el intervalo [1, N / a]} = ∑∑ ondas
n =1 a =1
n = ab
N
∑ d (n) = N log N + CN + O ( N 0 '315 )
n =1

20. Un muestrario de ondas
Tambor rectangular:
Tambor circular, esférico:
Tambor hiperbólico (no euclídeo):
Ondas de Maass (formas modulares)
# {a 2 + b 2 − c 2 − d 2 = p, a 2 + b2 ≤ N}
~ 8( p + 1) N / p

21. Contar bien estudiar interferencias
Dos ideas:
· Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar
objetos de tamaño menor que 1/n. ( P. Incertidumbre)
· Estadísticamente, las ondas “independientes” no
tienen resonancia.

22. Teorema de Vinogradov:
· Todo número impar suficientemente grande
se puede escribir como suma de tres primos.
S= ∑ cos(2πpx)
p≤ N
Tiene “resonancias” en x = 0 y en otros valores,
que podemos estudiar, e interferencias destructivas
en el resto.

23. Esta presentación está disponible en:
http://www.uam.es/fernando.chamizo