1. Curvas planas en coordenadas polares

2. Coordenadas polares
Para construir el sistema de coordenadas polares,
fijamos un punto O , que llamamos polo y una
semirecta llamado eje polar.
r= distancia dirigida de O aP
θ= Ángulo orientado en sentido contrario al de avance
de las agujas del reloj, desde el eje polar hasta el
segmento O P

3. Nota:
Con coordenadas cartesianas, cada punto tiene una
representación única. Esto no sucede con coordenadas
polares.
Las expresiones:
 π    
2, 
  
4π 
2, −  4π 
−2, 

 3
    

 
 6 
 3
representan el mismo punto.

4. Relación entre coordenadas polares
y rectangulares.


x = r cos θ
 tan θ = x

 ⇒
  y
y = r sin θ
  2
r = x 2 + y 2
 


Estas ecuaciones nos permiten pasar de unas
coordenadas a otras.

5. Ejemplos:
Recta
En cartesianas: 2x − 3y = 1
1
En polares: r =
2 cos θ − 3 sin θ
Circunferencia
En cartesianas: x 2 + y 2 − 4y = 0
En polares: r = 4 sin θ

6. Simetrías
()
Dada la gráfica r = f θ es simétrica respecto a
lo siguiente si la sustitución indicada produce una
ecuación equivalente:
π
Respecto a la recta θ=
2
Sustituir (r, θ) por (−r, −θ )
Respecto del eje polar
Sustituir (r, θ) por (r, −θ)
Respecto del polo
Sustituir (r, θ) por (−r, θ)

7. Intersección
Dada las gráficas r = f θ () y r =g θ ()
Los puntos de corte se obtienen igualando las ecuaciones
f (θ ) = g (θ )
Y hallando los valores de θ que la verifican.
No obstante, como un punto admite diferentes representaciones en
coordenadas polares, puede haber puntos de corte que no aparezcan al
igualar las ecuaciones, al no producirse con las mismas coordenadas.
Ejemplo: Hallar los puntos de corte de las curvas
r = 1 − 2 cos θ y r =1

8. r = 1 − 2 cos θ y r =1
π 3π
1 − 2 cos θ = 1 ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = y θ=
2 2
 π  3π 

1, 
Los puntos de corte son:  y 1, 
 2
 
   2

 

Hay un tercer punto de corte
pero no se produce con las
mismas coordenadas.
En r = 1 se produce en 1, π( )
En r = 1 − 2cos θ se produce en
(−1, 0)

9. Pendiente de la recta tangente
Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una
()
función y = h x viene dada por dy
dx
x = r cos θ x = f (θ) cos θ
 
 
Si tenemos: r = f (θ) ⇒  ⇒
y = r sin θ
 y = f (θ) sin θ

 

Luego:
dy
dy
= d θ = f ' (θ ) sin θ + f (θ ) cos θ
dx dx f ' (θ ) cos θ − f (θ ) sin θ
dθ

10. Las soluciones de:
dy
= 0 ⇒ f ' (θ ) sin θ + f (θ ) cos θ = 0
dθ
dan tangentes horizontales.
Las soluciones de:
dx
= 0 ⇒ f ' (θ ) cos θ − f (θ ) sin θ = 0
dθ
dan tangentes verticales.
dy dx
Si =0 y =0 no podemos sacar conclusiones.
dθ dθ

11. Tangente en el polo
Si la función r = f θ() pasa por el polo para θ=α
( )
y f' α ≠0
dy f ' (α) sin α
Tenemos: = = tan α
dx f ' (α) cos α
Por tanto la recta θ=α es tangente a r = f θ()
Nota: Una curva en polar puede pasar por el polo más
de una vez y puede tener más de una tangente.

12. Área en coordenadas polares
El área de un sector circular de radio r y ángulo θ
1 2
viene dada por S = θ r
2
Si consideramos la gráfica de r = f θ () dividida en
Infinitos sectores circulares, obtenemos:

13. Área en coordenadas polares
El área de r = f (θ )
viene dada por:
n β
∑ ∫
1 1
S = lim f (θi ) ∆θ =
2
f 2 (θ ) d θ
n →∞ 2 2 α
i =1

14. Longitud de arco en polares
En paramétricas el elemento de arco viene dado por:
(x ' (t )) + (y ' (t ))
2 2
ds = dt
Y como:
x = f (θ) cos θ x ' (θ) = f ' (θ) cos θ − f (θ) sin θ
 
 
 ⇒
y = f (θ) sin θ
 y ' (θ) = f ' (θ) sin θ + f (θ) cos θ


 

Luego:
β
∫  f (θ ) +  f ' (θ ) d θ
2 2
s=    
α

15. Algunas curvas en polares
Lemniscata r = 3 cos (2θ )
Caracol de Pascal r = 1 + 2 sin θ

16. Algunas curvas en polares
Rosácea r = 2 sin (3θ )
Rosácea r = 2 cos (4θ )

17. Algunas curvas en polares
Bifolio r = 6 sin (θ ) cos2 (θ )
2
Lituus r=
θ

18. Algunas curvas en polares
−4
Elipse r=
3 + 2 cos θ
−1
Hipérbola r =
1 + 2 cos θ

19. Algunas curvas en polares
−1
Parábola r=
1 + cos θ
Cardioide r = 1 + cos θ