1. Aula 12
Derivando fun»~es trigonom¶tricas
co e
Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»~es trigonom¶tricas. Estaremos tam-
co e
b¶m apresentando as fun»~es trigonom¶tricas inversas e deduzindo suas derivadas.
e co e
Admitiremos que as seis fun»~es trigonom¶tricas s~o cont¶
co e a ³nuas nos pontos onde
est~o de¯nidas.
a
Recordemo-nos de que, pela proposi»~o 11.1, aula 11, temos o primeiro limite
ca
fundamental,
sen h
lim =1
h!0 h
Como conseqÄ^ncia, deduziremos agora as derivadas das fun»~es seno e cosseno.
ue co
Teorema 12.1
(sen x)0 = cos x
(cos x)0 = ¡ sen x
Demonstra»~o. Seja f(x) = sen x. Consideremos ent~o, fazendo ¢x = h,
ca a
¢f f (x + h) ¡ f (x) sen(x + h) ¡ sen x
= =
¢x h h
sen x cos h + sen h cos x ¡ sen x
=
h
cos h ¡ 1 sen h
= sen x ¢ + cos x ¢
h h
f (x + h) ¡ f (x)
f 0 (x) = lim
h!0 h
cos h ¡ 1 sen h
= sen x ¢ lim + cos x ¢ lim
h!0 h h!0 h
101

2. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 102
sen h
Agora, temos lim = 1, e
h!0 h
cos h ¡ 1 (cos h ¡ 1)(cos h + 1) (cos2 h ¡ 1)
lim = lim = lim
h!0 h h!0 h(cos h + 1) h!0 h(cos h + 1)
2
¡ sen h sen h ¡ sen h 0
= lim = lim ¢ lim =1¢ =0
h!0 h(cos h + 1) h!0 h h!0 cos h + 1 2
Portanto, f 0 (x) = (sen x) ¢ 0 + (cos x) ¢ 1 = cos x.
Assim (sen x)0 = cos x, para todo x 2 R.
¡ ¢
Agora, cos x = sen ¼ ¡ x . Por deriva»~o em cadeia,
2
ca
h ³¼ ´i0
(cos x)0 = sen ¡x
³ ¼2 ´ ³ ¼ ´0
= cos ¡x ¢ ¡ x = (sen x) ¢ (¡1) = ¡ sen x
2 2
Proposi»~o 12.1
ca
(tg x)0 = sec2 x
(cotg x)0 = ¡ cosec2 x
(sec x)0 = sec x tg x
(cosec x)0 = ¡ cosec x cotg x
Demonstra»~o. Para deduzir estas novas f¶rmulas, basta fazer uso das rela»oes
ca o c~
sen x cos x 1 1
tg x = ; cotg x = sec x = ; cosec x =
cos x sen x cos x sen x
³ u ´0 u0 v ¡ uv 0
e aplicar a regra de deriva»~o de um quociente,
ca = . Deixamos o prazer
v v2
da descoberta para o leitor.
12.1 Fun»oes trigonom¶tricas inversas
c~ e
e suas derivadas
A fun»~o arco-seno. Para cada n¶mero real a, ¡1 · a · 1, existe um ¶nico arco
ca u u
orientado ®, ¡¼=2 · ® · ¼=2, tal que sen ® = a.
Dizemos que ® ¶ o arco cujo seno ¶ a, ou que ® ¶ o arco-seno de a, e denotamos
e e e
isto por
® = arc sen a
Sumarizando,

3. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 103
(
sen ® = a
® = arc sen a se e somente se
¡¼=2 · ® · ¼=2
y
α = arc sen a
a π /2
α
x
O A
- π /2
Assim, por exemplo (con¯ra),
p µ ¶
¼ 3 ¼ 1 ¼ ¼
arc sen 1 = ; arc sen = ; arc sen ¡ =¡ ; arc sen(¡1) = ¡
2 2 3 2 6 2
A fun»~o arco-cosseno. Para cada n¶mero real a, ¡1 · a · 1, existe um unico arco
ca u ¶
orientado ¯, 0 · ¯ · ¼, tal que cos ¯ = a.
y β = arc cos a
β
π
x
a O
Dizemos que ¯ ¶ o arco cujo cosseno ¶ a, ou que ¯ ¶ o arco-cosseno de a, e
e e e
denotamos isto por
¯ = arccos a
Sumarizando,
(
cos ¯ = a
¯ = arccos a se e somente se
0·¯·¼

4. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 104
p
Assim, por exemplo, arccos 1 = 0, arccos( 2=2) = ¼=4, arccos(¡1=2) = 2¼=3,
arccos(¡1) = ¼.
A fun»~o arco-tangente. Para cada n¶mero real a, ¡1 < a < +1, existe um unico
ca u ¶
arco orientado °, ¡¼=2 < ° < ¼=2, tal que tg ° = a.
Dizemos que ° ¶ o arco cuja tangente ¶ a, ou que ° ¶ o arco-tangente de a, e
e e e
denotamos isto por
° = arc tg a
y y'
γ = arc tg a π /2
a
γ
x
O
- π /2
Sumarizando,
(
a = tg °
° = arc tg a se e somente se
¡¼=2 < ° < ¼=2
Assim, de¯nem-se as fun»~es arc sen x e arccos x, para ¡1 · x · 1, e arc tg x para
co
todo x 2 R. Algumas calculadoras cient¶ ³¯cas chamam essas fun»oes pelas teclas INV
c~
SIN , INV COS , INV TAN , e µs vezes pelas teclas SIN , COS¡1 , TAN¡1 .
a ¡1
Proposi»~o 12.2
ca
1
(arc sen x)0 = p ; ¡1 < x < 1
1 ¡ x2
1
(arccos x)0 = ¡ p ; ¡1 < x < 1
1 ¡ x2
1
(arc tg x)0 = ; ¡1 < x < +1
1 + x2
Demonstra»~o.
ca
Sendo ¡1 < x < 1,
y = arc sen x se e somente se sen y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2

5. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 105
ca ³cita da equa»~o sen y = x, temos
Por deriva»~o impl¶ ca
(sen y)0 = 1 ) (cos y) ¢ y 0 = 1
1 1 1
) y0 = =p =p
cos y 1 ¡ sen2 y 1 ¡ x2
1
Portanto (arc sen x)0 = p .
1 ¡ x2
Para ¡1 < x < 1, y = arccos x se e somente se cos y = x, e 0 < y < ¼.
Por deriva»~o impl¶
ca ³cita temos
(cos y)0 = 1 ) ¡(sen y) ¢ y 0 = 1
1 1 1
) y0 = ¡ =p = ¡p
sen y 1 ¡ cos2 y 1 ¡ x2
1
Portanto (arccos x)0 = ¡ p .
1 ¡ x2
Finalmente, para x 2 R,
y = arc tg x se e somente se tg y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2
Por deriva»~o impl¶
ca ³cita temos
(tg y)0 = 1 ) (sec2 y) ¢ y 0 = 1
1 1 1
) y0 = = 2 =¡
sec 2y 1 + tg y 1 + x2
1
Portanto (arc tg x)0 = .
1 + x2
12.2 Problemas
1. Sendo f (x) = sen x, mostre que f 0 (x) = cos x, fazendo uso da f¶rmula
o
p¡q p+q
sen p ¡ sen q = 2 sen cos
2 2
para calcular o limite de
¢f f (x + ¢x) ¡ f (x) sen(x + ¢x) ¡ sen x
= =
¢x ¢x ¢x
quando ¢x ! 0.

6. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 106
y
O ϕ A
x
d
Figura 12.1.
2. A dist^ncia d = OA (veja ¯gura 12.1) que um proj¶til alcan»a, quando disparado
a e c
de um canh~o com velocidade inicial v0 , por um cano inclinado com um ^ngulo
a a
de eleva»~o ' em rela»~o ao ch~o (horizontal), ¶ dada pela f¶rmula
ca ca a e o
v0
d= sen 2'
g
sendo g a acelera»~o da gravidade local. Qual ¶ o ^ngulo ' que proporciona
ca e a
±
alcance m¶ximo? Resposta. 45 .
a
3. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
p
(a) y = sec x ¡ 1 (b) y = cosec(x2 + 4)
(c) y = cotg(x3 ¡ 2x) (d) f (x) = cos 3x2
cos 4x
(e) y = (f) g(x) = cos2 3x (cos2 a signi¯ca (cos a)2 )
1 ¡ sen 4x
(g) y = tg2 x sec3 x (h) f (x) = tg3 (3x + 1)
(i) y = x2 sec2 5x (j) f (x) = ln j cosec x + cotg xj
p
(k) y = e¡3x tg x (l) g(x) = ln(ln sec 2x)
(m) y = xsen x (n) f (x) = ln j sec x + tg xj
p p
sec
x¡1 tg x¡1
Respostas. (a) p
2 x¡1
(b) ¡2x cosec(x2 + 4) cotg(x2 + 4)
4
(c)¡(3x2 ¡ 2) cosec2 (x3 ¡ 2x) (d) ¡6x sen 3x2 (e) 1¡sen 4x (f) ¡3 sen 6x
(g) 3 tg3 x sec3 x + 2 tg x sec5 x (h) 9 tg2 (3x + 1) sec2 (3x + 1)
¡3x 2p p
(i) 2x sec2 5x+ 10x2 sec2 5x tg 5x (j) ¡ cosec x (k) e 2sec x ¡ 3e¡3x tg x (l)
p
x
2 tg 2x ¡ ¢
ln sec 2x (m) xsen x cos x ¢ ln x + sen x
x (n) sec x
4. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
c~
p
(a) y = arc sen x (b) f (x) = (1 + arccos 3x)3 (c) f (x) = ln arc tg x2
3
(d) y = 3arc sen x (e) g(x) = (tg x)arc tg x
p p p
Respostas. (a) 1=(2 x 1 ¡ x) (b) ¡9(1 + arccos 3x)2 = 1 ¡ 9x2
3 p
(c) (1+x4 )2x tg x2 (d) (3 ln 3)x2 ¢ 3arc sen x = 1 ¡ x6
arc
(e) (tg x)arc tg x [cotg x sec2 x arc tg x + (ln tg x)=(1 + x2 )]
5. Determine y 0 por deriva»~o impl¶
ca ³cita.
(a) y = x sen y (b) ex cos y = x ey (c) x2 + x arc sen y = yex

7. Derivando funcoes trigonom¶tricas
»~ e 107
x y
Respostas. (a) y 0 = 1¡x cos y (b) y 0 = ee sen y+xey
sen y
x
cos y¡e
p
1 ¡ y 2 (yex ¡ arc sen y ¡ 2x)
(c) y 0 = p
x ¡ ex 1 ¡ y 2
6. Esboce os gr¶¯cos das fun»~es, analisando-as previamente atrav¶s de derivadas e
a co e
limites apropriados.
(a) y = x + sen x (b) y = arc tg x (c) y = x + arc tg x
Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.)
a co
(a) y 0 = 1 + cos x, y 00 = ¡ sen x. Ao pesquisar retas ass¶
³ntotas do gr¶¯co, voc^ vai se
a e
deparar com os limites lim sen x . Use o seguinte racioc¶
x ³nio. Como ¡1 · sen x · 1
x!§1
para todo x 2 R, temos ¡1 · sen x · x , para todo x > 0. Da¶ usando um teorema de
x x
1
³,
³che), temos lim x = 0. Calcule tamb¶m lim sen x .
confronto (sandu¶ sen x
e x
x!+1 x!¡1
1 ¡2x 1 ¡2x
(b) y 0 = 1+x2
, y 00 = (1+x2 )2
(c) y 0 = 1 + 1+x2
, y 00 = (1+x2 )2
(a) (b)
y y
3π
π /2
2π π /4
x
0 1
π
x - π /2
π 2π 3π
(c)
y
π
π /2
- π /2 x
π /2 π
- π /2