El documento explica las leyes de exponentes, incluyendo definiciones de exponentes naturales, cero, negativos y positivos. También cubre teoremas como la potenciación, propiedades de exponentes y aplicaciones numéricas.

1. Leyes de exponentes I
Christiam Huertas R.
w3 .xhuertas.blogspot.com
Universidad de Ciencias y Humanidades
Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Leyes de exponentes I

2. Introducci´n
o
En textos cient´
ıficos, los n´meros muy grandes o muy pequeos en
u
valor absoluto suelen indicarse en la forma a.10n , donde a es una
expresi´n decimal con una sola cifra entera no nula (le llamaremos
o
mantisa) y n es un n´mero entero (le diremos exponente). Veamos
u
algunos ejemplos
Velocidad de la luz:
300000000 m/seg. = 3 × 108 m/seg.
Masa de un prot´n:
o
0, 00000000000000000000000000167 kl = 1, 67 × 10−27 kl
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3. Potenciaci´n
o
Es aquella operaci´n matem´tica donde, dados dos elementos
o a
llamados base (b) y exponente (n) se calcula un tercer elemento
llamado potencia (p).

 b es la base (b ∈ R)
Notaci´n: b
o n =p n es el exponente (n ∈ Z)
p es la potencia (p ∈ R)


 base: 2
Ejemplo 1: 23 = 8 exponente: 3
potencia: 8


 base: 5
Ejemplo 2: 5 x2 = 7 exponente: x 2
potencia: 7

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4. Definici´n de exponente natural
o
b1 = b
2
b = b·b
3
b = b·b·b
.
.
.
bn = b · b · b · ... · b ; n ∈ N ∧ n ≥ 2
n veces
Ejemplos:
1 51 = 5
2 23 = 2 · 2 · 2 = 8
3 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
4 (−2)4 = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16
5 −24 = − 2 · 2 · 2 · 2 = − 16
6 (x 2 )5 = x 2 · x 2 · x 2 · x 2 · x 2
7 (ab)3 = (ab)(ab)(ab)
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5. Definici´n de exponente cero
o
b 0 = 1; ∀b ∈ R ∧ b = 0
Ejemplos:
1 50 = 1
√ 0
2 2 =1
7 0
3 =1
3
4 π0 = 1
5 20090 = 1
6 (−3)0 = 1
7 −30 = − 1
√
8 ( 9 − 3)0 = 00 No est´ definido
a
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6. Definici´n de exponente negativo
o
1
b −n = ; ∀b = 0
bn
Ejemplos:
1 1
1 2−3 = 3
=
2 8
−4 = 1 1
2 (−2) 4
=
(−2) 16
1
3 5−x = x
5
1
4
−x
= 3x
3
1
5 = 2−n
2n
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7. Notaci´n cient´
o ıfica
La notaci´n cient´
o ıfica es altamente util para anotar cantidades
´
f´
ısicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos
l´
ımites de error y al anotar s´lo los d´
o ıgitos significativos se da toda
la informaci´n requerida sin malgastar espacio.
o
Exponentes (+) Exponentes (-)
101 = 10 10−1 = 0, 1
102 = 100 10−2 = 0, 01
103 = 1000 10−3 = 0, 001
104 = 10000 10−4 = 0, 0001
105 = 100000 10−5 = 0, 00001
106 = 1000000 10−6 = 0, 000001
107 = 10000000 10−7 = 0, 0000001
.
. .
.
. .
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8. Otras definiciones
b + b + b + ... + b = b · n
n veces
Ejemplos:
1 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 · 30 = 60
30 veces
2 x 3 + x 3 + x 3 + ... + x 3 = 10 · x 3 = 10x 3
10 veces
−n
x y n
= ; xy = 0
y x
Ejemplos:
3 −4 2 4 2 2 2 2 16
1 = = · · · =
2 3 3 3 3 3 81
a 2 −1 b 3 1 b 3
2
3
= 2
= 2
b a a
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9. Teoremas de la potenciaci´n: 1
o
x m .x n = x m+n
Ejemplos:
1 23 .2.26 = 23+1+6 = 210 = 1024
10(10+1)
2 3 · 32 · 33 · ... · 310 = 31+2+3+...+10 = 3 2 = 355
3 22+x = 23 .2x = 8.2x
4 x 1+x = x 1 .x x = x.x x
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10. Teoremas de la potenciaci´n: 2
o
xm
= x m−n
xn
Ejemplos:
52009
1 = 52009−2006 = 53 = 125
52006
210
2 = 210−15 = 2−5
215
3x 3x
3 3x−2 = 2 =
3 9
7 2x−y +2z
4 = 72x−y +2z−(x+y +3z) = 7x−2y −z
7x+y +3z
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11. Teoremas de la potenciaci´n: 3
o
(x.y )n = x n .y n
Ejemplos:
1 (2x)4 = 24 .x 4 = 16x 4
2 2
2 5xy 3 = 52 .x 2 . y 3
3 2a−1 .3a−1 = (2.3)a−1 = 6a−1
4 (7x)x+1 = 7x+1 .x x+1
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12. Teoremas de la potenciaci´n: 4
o
n
x xn
= ;y = 0
y yn
Ejemplos:
2 4 24 16
1 = 4 =
3 3 81
x 5 x 5 x5
2 = 5 =
2 2 32
4 4
18 18
3
4
= = 34 = 81
6 6
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13. Teoremas de la potenciaci´n: 5
o
(x m ) n = x m.n = (x n ) m
Ejemplos:
4
1 23 = 23.4 = 212
x
2 35 = 35.x = 35x
n
3 (2n )3 = 23 = 8n
2 2 3
4 (5x )x = 5x.x = 5x
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14. Aplicaci´n 1
o
3x+2 + 2.3x+1
Si x = 2009, calcule el valor de K = .
2.3x+1 − 3x
Soluci´n:
o
La expresi´n K se puede expresar como
o
3x .32 + 2.3x .31
K=
2.3x .31 − 3x
3x .31 (3 + 2)
K=
3x (2.3 − 1)
3(3 + 2) 3.5
K= = =3
6−1 5
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15. Aplicaci´n 2
o
1+2x
Si x x = 2, calcule el valor de la expresion L = x 2x .
Soluci´n:
o
La expresi´n L se puede expresar como
o
1 .x 2x
L = x 2x
x )2
L = x 2x(x
2
L = x 2.x.2
L = x 8x
L = (x x )8
L = 28 = 256
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