Distribución binomial

1. Objetivo: Conocer y aplicar la Distribución Binomial

2. CONOCIMIENTOS PREVIOS
FACTORIAL
La función factorial se representa con un signo de exclamación
“!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que
multiplicar todos los números naturales que hay entre ese número
y el 1. ( n! es el factorial de n)
Por ejemplo 1:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Un ejemplo de los factoriales es en las permutaciones de n elementos
Con los dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 cuántos números de 7 cifras diferentes se
pueden formar.
𝑃7 = 7!

3. Llamaremos
combinación de
orden k, a cada uno
de los grupos de k
elementos que
podemos formar,
elegidos entre n
elementos dados, de
modo que solo
interesa su
naturaleza y no el
orden en que se
dispongan
Se calculan utilizando la
expresión:
𝑪𝒌
𝒏
=
𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒏 − 𝒌 ! ⋅ 𝒌!
,
𝒏, 𝒌 ∈ 𝜡+
, 𝒏 ≥ 𝒌
Entre los 30 alumnos de
4°A se debe elegir una
comisión formada por ,
3 alumnos. Cuántas
comisiones distintas se
pueden elegir.
𝐶3
30
=
30!
30 − 3 ! ⋅ 3!
=
30!
27! ⋅ 3!
=
27! ∙ 28 ⋅ 29 ⋅ 30
27! ⋅ 3!
28 ∙ 29 ∙ 30
1 ∙ 2 ∙ 3
= 4.090
Combinaciones
Combinaciones

4. LA DISTRIBUCION BINOMIAL
Es una función de distribución de probabilidad de variables
discretas con muchas aplicaciones en la vida diaria.
Las variables que se estudian son independientes y dicotómicas.
Su suceso primario se identifica como éxito.
Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.
• Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
• En el deporte un equipo puede ganar o perder.
• Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
• Vivo / muerto; enfermo / sano; verdadero / falso
• Prueba múltiple 4 alternativas: correcta o incorrecta.
• Algo puede considerarse como Éxito o Fracaso

5. Posee 4 propiedades fundamentales:
• La muestra se compone de un número fijo de observaciones (n) o veces que
se realiza el experimento aleatorio (E).
• Cada observación se puede clasificar en dos categorías: éxito o fracaso.
• Si la probabilidad de éxito es p ( constante), la probabilidad de fracaso es 1-p
(q).
• El resultado de un suceso es independiente del resultado de cualquier otro
suceso.
PROBABILIDADES DADAS
No confundir “p” minúscula con P mayúscula . La minúscula es la
probabilidad que ya se conoce (probabilidad de éxito) y la
mayúscula es la ocurrencia que se quiere calcular.
p: Probabilidad de éxito 1- p: Probabilidad de fracaso

6. LA DISTRIBUCION BINOMIAL O DE BERNOULLI

7. Ejemplo 1
¿ Cuál es la Probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10
veces?
El número de aciertos es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p = 0,50
La fórmula quedaría:
P(X=6)=
𝟏𝟎!
𝟔!∙ 𝟏𝟎−𝟔 !
∙ 𝟎, 𝟓𝟔 ∙ (𝟏 − 𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟔=0,205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces
una moneda es de 20,5% .

8. EJEMPLO 2: Uno de los ítems de una prueba sorpresa consta de 12 preguntas de
verdadero o falso. Suponiendo que los estudiantes no saben contestar a ninguna
de ellas y, contestan al azar, hallar la probabilidad de obtener seis aciertos.
Estamos en presencia de una distribución binomial, pues los estudiantes
pueden acertar o fallar la pregunta.
Los parámetros de la distribución son:
n = 12 (número de preguntas de la prueba)
p= 0,5 (probabilidad de acertar la pregunta)
1 – p = 1 – 0,5 = 0,5
x = 6
P(X=6)=
𝟏𝟐!
𝟔!∙ 𝟏𝟎−𝟔 !
∙ 𝟎, 𝟓𝟔
∙ 𝟏 − 𝟎, 𝟓 𝟏𝟐−𝟔
=
𝟏𝟐!
𝟔!∙𝟔!
∙ 𝟎, 𝟓𝟔
∙ 𝟎, 𝟓𝟔
=
𝟏𝟐∙𝟏𝟏∙𝟏𝟎∙𝟗∙𝟖∙𝟕
𝟔!
∙ 𝟎, 𝟓𝟏𝟐
=
𝟏𝟐∙𝟏𝟏∙𝟏𝟎∙𝟗∙𝟖∙𝟕
𝟔∙𝟓∙𝟒∙𝟑∙𝟐∙𝟏
∙ 𝟎, 𝟓𝟏𝟐
=
𝟏𝟏∙𝟑∙𝟒∙𝟕
𝟏
∙
𝟏
𝟐
𝟏𝟐
=
𝟗𝟐𝟒
𝟒𝟎𝟗𝟔
= 𝟎, 𝟐𝟐𝟔

9. Ejemplo 3: ¿Probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado
ocho veces?
• El número de aciertos es 4. Esto es x=4
• El número de experimentos n son 8
• Probabilidad de éxito p=
𝟏
𝟔
≈0,17
• La fórmula queda:
P(X=4)=
𝟖!
𝟒!∙ 𝟖−𝟒 !
∙ 𝟎, 𝟏𝟕𝟒 ∙ (𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟕)𝟖−𝟒=0,026
• P (X = 4) = 0,026
• Es decir, probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un
dado 8 veces es de 2,6%.

10. EJEMPLO 4: Pedro está jugando con su hermano. Han determinado que cada
uno lanzará un dado no cargado 7 veces y ganará la partida quien obtenga un
número mayor que 2 en 3 de los 7 lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad de
ganar?.
Los parámetros son:
n = 7 (número de repeticiones del experimento)
𝒑 =
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
(probabilidad de obtener un número mayor que 2, probabilidad de éxito)
𝟏 − 𝒑 = 𝟏 −
𝟐
𝟑
=
𝟏
𝟑
(probabilidad de fracaso)
x = 3 (se quiere que el éxito suceda en 3 de los 7 lanzamientos)
P(X=3)=
𝟕!
𝟑!∙ 𝟕−𝟑 !
∙ (
𝟐
𝟑
)𝟑
∙ (
𝟏
𝟑
)𝟕−𝟑
=
𝟕∙𝟔∙𝟓
𝟑∙𝟐∙𝟏
∙
𝟐
𝟑
𝟑
∙
𝟏
𝟑
𝟒
= 𝟑𝟓 ∙
𝟖
𝟐𝟏𝟖𝟕
≈0,128
Es decir, probabilidad de ganar , de obtener un número mayor que 2 en 3 de los 7 lanzamientos es
de 12,8 %.