Actividad de Estadistica

1. VARIABLES Y
DISTRIBUCIONES
I.U.P. “Santiago Mariño”, sede Barcelona, Ing. Sistemas, Estadística II
Ricardo Medina CI:27584740

2. Introducción La estadística es muy útil, tiene tantas herramientas que
nos ayudan actualmente, predecir muchos fenómenos y
mas. Hay datos que son ofrecidos y a partir de estos
pueden determinarse muchas cosas. Por eso
presentamos las variables y distribuciones

3. Variable
Aleatoria
• Se denomina variable aleatoria (o estocástica) a la
función que adjudica eventos posibles a números reales
(cifras), cuyos valores se miden en experimentos de
tipo aleatorio. Estos valores posibles representan los
resultados de experimentos que todavía no se llevaron
a cabo o cantidades inciertas.
• EJEMPLO: Se estudia el proceso de reserva de un hotel.
POSITIVO: La reserva se cumple NEGATIVO: La reserva se cancela
X(POSITIVO)=1 X(NEGATIVO)=O
P(X=1) probabilidad de que la reserva se cumpla
P(X=0) Probabilidad de que la reserva se cancele

4. Variable
aleatoria
Discreta
• Se denomina variable aleatoria discreta aquella que
sólo puede tomar un número finito de valores dentro
de un intervalo. Es decir, toma valores de un conjunto
numerable
• EJEMPLO:
X=El numero de personas que viajan en un autobús: 0, 1, 2,… 50.
x=0, 1, 2, … 50

5. Variable
Aleatoria
Continua
• Una variable aleatoria continua es una función X que
asigna a cada resultado posible de un experimento un
número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún
intervalo I, se llama una variable aleatoria continua. Es
decir, toma valores de un conjunto infinito no
numerable
• EJEMPLO:
X=El peso de una persona
x=60 kg, 60,5 kg, 60,05 kg,…, 100 kg

6. Función de
Distribución
• La Función de Distribución Acumulada asociada a una
variable aleatoria real: X (mayúscula) sujeta a cierta ley
de distribución de probabilidad, es una función
matemática de la variable real: x (minúscula); que
describe la probabilidad de que X tenga un valor menor
o igual que x .
• Si X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x) entonces 𝑓 𝑥 = 𝑢≤𝑥 𝑓(𝑢)
• Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad f(x) entonces 𝑓 𝑥 = −∞
𝑥
𝑓 𝑢 𝑑𝑢

7. • Ejemplo (caso discreto): sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad
𝑓 𝑥 =
1
3
𝑠𝑖 𝑥 = 1, 2, 3
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
queremos calcular F(x): 𝑓 𝑥 = 𝑢≤𝑥 𝑓 𝑢 =
0 𝑠𝑖 𝑥 > 1
1
3
𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
2
3
𝑠𝑖 2≤𝑥3
1 𝑠𝑖 𝑥≥3
• Ejemplo (caso continuo): Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad
𝑓 𝑥 =
2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (0,1)
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
queremos calcular F(x) por definición: 𝑓 𝑥 = −∞
𝑥
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑜 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥1
1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

8. Esperanza
Matemática
• La esperanza matemática de una variable aleatoria X , es el número
que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la
suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio
multiplicado por el valor de dicho suceso. Para una variable aleatoria
absolutamente continua, la esperanza se calcula mediante la integral
de todos los valores y la función de densidad
• Ejemplo: En un club deportivo se hace una rifa para lo cual se hacen imprimir 100 boletos, cada boleto
cuesta 20 Bs y el premio es de 2000 Bs. ¿Cuál es la esperanza de ganar el premio al comprar un boleto?
𝐸 𝑥 = 𝑃𝑖 ∗ 𝑥𝑖 ; 𝐸 𝑥 =
1
1000
∗ 1980 +
999
1000
∗ −20 = −18
Por lo que se concluye que el juego es desfavorable, por cada boleto adquirido perderemos un promedio
de 18 Bs

9. Valor
esperado
• Si X es una variable aleatoria discreta y f(x) es su
función de probabilidad entonces el valor esperado de
X es: 𝜇 = 𝐸 𝑋 = ∀𝑥∈𝑙𝑚(𝑋) 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)
• Si X es una variable aleatoria continua y f(x) es su
función de densidad entonces el valor esperado de X
es: 𝜇 = 𝐸 𝑋 = −∞
∞
𝑥 ∗ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

10. • Ejemplo: X representa el numero de materias que los estudiantes inscriben en un semestre regular
X=(2,3,4,5,6,7) y su función es f(x)=(0.01, 0.01, 0.03, 0.08, 0.85, 0.02) respectivamente
𝐸 𝑋 = 2 0,01 + 3 0,01 + 4 0,03 + 5 0,08 + 6 0,85 + 7 0,02 = 5,81
Esto indica que los estudiantes inscriben 5,81 materias en promedio
• Ejemplo: Suponga que f(x) es una función de densidad de probabilidad dada por:
𝑓 𝑥 =
1
2 𝑥
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥1
0 𝑒𝑛 𝐶 𝑂 𝐿
; E X =
0
1
𝑥 ∗
1
2 𝑥
dx =
1
2 0
1
𝑥
1
2 𝑑𝑥
1
0
; 𝜇 = 1/3

11. Varianza y
Desviación
Estándar
• La varianza es una medida de dispersión definida como la
esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable
respecto a su media.
• La desviación estándar es una medida que se usa para
cuantificar la variación o dispersión de un conjunto de
datos numéricos
Ejemplo: Calcule la varianza y desviación estándar dada las siguientes edades (5, 6, 6, 7, 8)
𝜎2 =
𝑥 − 𝑥
𝑛
; 𝑥 =
𝑥
𝑛
; 𝑥 =
32
5
= 6,4
𝜎2
=
5 − 6,4 2
+ 6 − 6,4 2
+ 6 − 6,4 2
+ 7 − 6,4 2
+ 8 − 6,4 2
5
= 1,042
𝜎 = 1,04 = 1,01

12. Función
Generadora
de
Momentos
En probabilidad y estadística, la función generadora de
momentos o función generatriz de momentos de una
variable aleatoria X es 𝑀 𝑥 𝑡 ≔ 𝐸 𝑒 𝑡𝑥
, 𝑡 ∈ 𝑅
siempre que esta esperanza exista. La función generadora de
momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t =
0, permite generar los momentos de la distribución de
probabilidad:𝐸 𝑋 𝑛
= 𝑀 𝑥
𝑛
0 =
𝑑 𝑛 𝑀𝑥
𝑑𝑡 𝑛 (0)
• Ejemplo: obtener el valor esperado de los siguientes valores aleatorios a través de la función
generadora de momentos: X=0, 1, 2, 3; fx(x)=0.2, 0.1, 0.2, 0.5
Usando:𝑀 𝑥 0 = ∀𝑥 𝑒0𝑥
𝑓𝑥(𝑥); 𝑀 𝑥 0 = 0,2𝑒 𝜃(0)
+ 0,1𝑒 𝜃(1)
+ 0,2𝑒 𝜃(2)
+ 0,5𝑒 𝜃(3)
𝑀 𝑥 = 0,2𝑒 + 0,1𝑒 𝜃
+ 0,2𝑒2𝜃
+ 0,5𝑒3𝜃
;
𝑑𝑀 𝑥(0)
𝑑𝜃
= 0,1𝑒 𝜃
+ (2)0,2𝑒2𝜃
+ (3)0,5𝑒3𝜃
𝑑𝑀 𝑥(0)
𝑑𝜃 𝜃=0 = 0,1 + 2 0,2 + 3 0,5; 𝐸 𝑋 = 2

13. Distribución
de Bernoulli
• La distribución de Bernoulli, nombrada así por el
matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución
de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la
probabilidad de éxito y valor 0 para la probabilidad de
fracaso
• Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga un numero menor a 3
Se verifica que el experimento solo tiene dos probabilidades, y de que es un experimento único. Se
prosigue
P(1)=Suceso(1,2); P(0)=Fracaso(3,4,5,6) 𝑃 1 =
2
6
=
1
3
; 𝑃 0 = 1 −
1
3
=
2
3

14. Distribución
Binomial
• La distribución binomial es una distribución de
probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en
una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes
entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito
entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se
caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos
resultados son posibles.
• Ejemplo: Un jugador marca el 85% de los penaltis que intenta. Si lanza 8 penaltis calcular la
probabilidad de que marque más de 6 penaltis
• N=8 P=0,85 q=1-p=0,15 B(8;0,85)
• A) P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)= 0,3847+0,2725=0,6572
• P(x=7) 8
7
(0,85^7)*(0,15)=0,3847
• P(x=8) 8
8
(0,85^8)*(0,15^0)=0,2725

15. Distribución
Binomial
Negativa
La distribución binomial negativa es una distribución de
probabilidad discreta que incluye a la distribución de
Pascal. Es una ampliación de las distribuciones
geométricas, utilizada en procesos en los cuales se ve
necesaria la repetición de ensayos hasta conseguir un
número de casos favorables
• Ejemplo: Un componente electrónico tiene una probabilidad de 0,90 de pasar un control de
calidad.Calcule la probabilidad de que sea necesario revisar 5 componentes para obtener que 3
pasen el control
𝑥~𝐵𝑁 𝑝 ; 𝑝 = 𝑜, 9; 𝑟 = 3; 𝑝 𝑥 = 5 =
4
2
0,93 ∗ 0,12 = 0,0437

16. Distribución
Multinomial
• La distribución multinomial es una generalización de la
distribución binomial. En una distribución multinomial,
el análogo a la distribución de Bernoulli es la
distribución categórica, donde cada suceso concluye en
únicamente un resultado de un número finito K de los
posibles, con probabilidades con n sucesos
independientes.
• Ejemplo: Las lámparas producidas por una compañía son 50% rojas, 30% azules y 20% verdes. En
unas muestra de 5 lámparas hallar la probabilidad de que sean 2 rojas, 1 verde y 2 azules
𝑃 =
5!
2!∗1!∗2!
0,5 2(0,3)1(0,2)2 = 0,9

17. Distribución
Poisson
• La distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que
ocurra un determinado número de eventos durante
cierto período de tiempo. Concretamente, se
especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos
con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros"
• Ejemplo: En un banco un asesor atiende en promedio a 3 personas por hora, calcule la
probabilidad de que en la siguiente hora atienda a solo 2 personas
𝜆 = 3; 𝑥 = 2; 𝑃 𝑥 = 2 =
℮−3 ∗ 32
2!
=
0,4482
2
= 0,2241

18. Distribución
Hipergeometric
a
• La distribución hipergeométrica es una distribución
discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin
reemplazo. Suponga que se tiene una población de N
elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y
N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la
probabilidad de obtener x elementos de la categoría A en
una muestra sin reemplazo de n elementos de la
población original.
• Ejemplo: En una caja hay 10 celulares de los cuales hay 3 dañados, si se sacan 5 celulares de la caja, calcular
la probabilidad de sacar un celular dañado
𝑁 = 10; 𝑘 = 3; 𝑛 = 5; 𝑥 = 1; 𝑃 𝑥 = 1 =
3
1
10−3
5−1
10
5
=
3 ∗ 35
252
= 0,4167

19. Distribución Poisson Como
Aproximación A La Binomial
En ocasiones donde el tamaño de muestra es muy grande o la probabilidad de éxito tiende a cero, se debe
aproximar la distribución Poisson a la binomial
• Ejemplo: Una fabrica recibe 1.000.000 rondanas, la probabilidad de tener una defectuosa es del 0,001, al
obtener una muestra de 3.000 calcular la probabilidad de tener un máximo de 3 defectuosas
𝑛 = 3000; 𝜋 = 0,001; 𝑥 = 3; 𝜇 = 3000 ∗ 0,001 = 3; 𝑓 𝑥 =
𝑢 𝑥
∗ 𝑒−𝜇
𝑥!
𝑓 𝑥 ≤ 3; 𝜇 = 3 = 𝑓 𝑥 = 0 + 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑓 𝑥 = 2 + 𝑓 𝑥 = 3
𝑓 𝑥 ≤ 3; 𝜇 = 3 = 0,04978 + 0,14936 + 0,22404 + 0,22404 = 0,64722

20. Distribución
Uniforme
• La distribución uniforme continua es una familia de
distribuciones de probabilidad para variables aleatorias
continuas, tales que para cada miembro de la familia,
todos los intervalos de igual longitud en la distribución
en su rango son igualmente probables. El dominio está
definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores
mínimo y máximo.
• Ejemplo: Un supervisor sabe que la llegada de sus trabajadores al centro de labores se produce de
acuerdo a una distribución uniforme en el intervalo de 7:00 y 7:30 am. Calcular la probabilidad de
que un trabajador llegue después de las 7:17 am
𝑥~𝑈 𝑎 = 0; 𝑏 = 25 ; 𝑓 𝑥 =
1
25
; 0 ≤≤ 𝑥 ≤ 25
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
; Pr 𝑥 ≤ 𝑘 =
𝑘
25
; 0 ≤ 𝑘 ≤ 25
𝑃 𝑥 > 17 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 17 = 1 −
17
25
= 1 − 0,68 = 0,32

21. Distribución
Exponencial
La distribución exponencial estudia el tiempo entre cada
una de las llegadas por unidad de tiempo. La distribución
exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas
no tiene que ser un número entero. Esta distribución se
utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más
específicamente la variable aleatoria que representa al
tiempo necesario para servir a la llegada.
• Ejemplo: La vida media de una plancha es de 18 meses, es una variable aleatoria distribuida
exponencialmente. Halle la probabilidad de que la plancha falle antes de los 12 meses
𝜇 = 18; 𝜆 =
1
18
; 𝐹 𝑥 =
0; 𝑥 < 0
1 − 𝑒−𝜆𝑥; 𝑥 ≥ 0
; 𝑃 𝑥 ≤ 12 = 1 − 𝑒
1
18 12
= 1 − 𝑒−
2
3 = 0,4866

22. Distribución
Gamma
• Este modelo es una generalización del modelo
Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para
modelar variables que describen el tiempo hasta que
se produce p veces un determinado suceso. La
distribución gamma se utiliza comúnmente en estudios
de supervivencia de fiabilidad
• Ejemplo: Sea X una variable aleatoria con distribución gamma 𝛼 = 5, 𝛽 = 2, calcule 𝑃(𝑋 < 2)
𝑓 𝑥 =
1
25Γ(5)
𝑥5−1 𝑒−
𝑥
2; 𝑥 ≥ 0
0; 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
; 𝑃 𝑋 < 2 =
0
2
1
25Γ(5)
𝑥5−1 𝑒−
𝑥
2 =
0
2
1
32 (24)
𝑥4 𝑒−
𝑥
2 𝑑𝑥 = 0,003598
Donde Γ 𝛼 = Γ 5 = 4!

23. Propiedades • Su esperanza es pα.
• Su varianza es pα2
• La distribuciónGamma (α, p = 1) es una distribución
Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo
Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.
• Dadas dos variables aleatorias con distribuciónGamma y
parámetro α común
X ~ G(α, p1) yY ~ G(α, p2)
• se cumplirá que la suma también sigue una distribución
Gamma
X +Y ~ G(α, p1 + p2).
• Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si
tenemos variables aleatorias con distribución Exponencial
de parámetro α (común) e independientes, la suma de
todas ellas seguirá una distribuciónG(α, k).

24. Distribución
Beta
• La distribución beta suele utilizarse para modelar la
distribución de estadísticos de orden y para modelar
eventos que se definen por los mínimos y máximos. La
escala de la distribución beta suele modificarse para
modelar el tiempo hasta la culminación de una tarea.
La distribución beta también se usa en estadísticas
bayesianas
• Ejemplo: Un distribuidor de gasolina llena los tanques un día, se ha observado que la cantidad
vendida a la semana se puede modelar con la distribución beta 𝛼 = 4, 𝛽 = 2. Encontrar la
probabilidad de que en una semana venda al menos 90%
𝑓 𝑥 =
Γ 𝛼 + 𝛽
Γ 𝛼 Γ 𝛽
𝑥 𝛼−1
(1 − 𝑥) 𝛽−1
; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

25. • Continuando con el ejemplo anterior:

26. Distribución
Weibull
• La distribución deWeibull es una distribución versátil que
se puede utilizar para modelar una amplia gama de
aplicaciones en ingeniería, investigación médica, control
de calidad, finanzas y climatología. Por ejemplo, la
distribución se utiliza frecuentemente con análisis de
fiabilidad para modelar datos de tiempo antes de falla. La
distribución deWeibull también se utiliza para modelar
datos asimétricos del proceso en el análisis de capacidad.
• Ejemplo: El tiempo de vida X, en horas, de un articulo en el taller mecánico tiene una distribución de
Weibull de ∝= 0,01, 𝛽 = 2. Calcular probabilidad de que falle antes de 8 horas de uso
𝐹 𝑋 < 8 = 𝐹 8 = 1 − 𝑒− 0,01 82
= 1 − 0,527 = 0,473

27. Distribución
Normal
• En estadística y probabilidad se llama distribución
normal, distribución de Gauss, distribución gaussiana o
distribución de Laplace-Gauss, a una de las
distribuciones de probabilidad de variable continua que
con más frecuencia aparece en estadística y en la teoría
de probabilidades
Ejemplo: Hallar P(0,35≤Z≤2,08) en una distribución N ( 0, 1 )
P(0,35≤Z≤2,08)=0,9812-0,6368=0,3444

28. Conclusión Son muchos términos, operaciones y caso que se
presentaron, todos estos tienen su función especifica y
son de mucha ayuda en empresas, fabricas, laboratorios,
etc. Los conocimientos en la estadística, matemática y
áreas afines ha evolucionado bastante, y siguen
evolucionando a día de hoy.

29. Bibliografías
• Distribución beta - Minitab. (2019). Retrieved from https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-
to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/beta-distribution/
• Distribución deWeibull - Minitab. (2019). Retrieved from https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-
how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/weibull-distribution/
• Distribución exponencial. (2019). Retrieved from https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencial
• Distribución gamma - Minitab. (2019). Retrieved from https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-
how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/gamma-distribution/
• Distribución normal. (2019). Retrieved from https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
• Distribución uniforme continua. (2019). Retrieved from
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_continua
• Estadística/Aproximación de distribuciones -Wikilibros. (2019). Retrieved from
https://es.wikibooks.org/wiki/Estad%C3%ADstica/Aproximaci%C3%B3n_de_distribuciones

30. Gracias por
su atención