Distribución binomial

2. • En las empresas tenemos muchas situaciones
donde se espera que ocurra o no un evento
específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin
dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la
producción de un artículo, éste puede salir
bueno o malo. Casi bueno no es un resultado
de interés. Para situaciones como éstas se
utiliza la distribución binomial.

3. El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo
con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli
(1654-1705).
Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el
cual establece las bases para el desarrollo y utilización
de la distribución binomial.

4. La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya
solución tiene dos posibles resultados.
Por ejemplo:
Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
En el deporte un equipo puede ganar o perder.
En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

5. También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a
dos opciones.
Por ejemplo:
Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
La meta de producción o ventas del mes se pueden o
no lograr.
En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o
cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o
incorrecta.
Estos ejemplos los podemos considerar
como
“Experimentos de Bernoulli”

6. 1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados:
éxitos o fracasos.
2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos en pruebas anteriores.
3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p,
y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento
es 1- p y la representamos por q .
Si repetimos el experimento n veces
podemos obtener resultados para la
construcción de la distribución binomial.

7. • La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo
de distribución de probabilidad discreta.
• Está formada por una serie de experimentos de
Bernoulli. Los resultados de cada experimento son
mutuamente excluyentes.
Para construirla necesitamos:
•
1 - La cantidad de pruebas n.
•
2 - La probabilidad de éxitos p.
•
3 - Utilizar la función matemática.

8. • A continuación vemos la función de probabilidad de la distribución
Binomial, también denominada “Función de la distribución de
Bernoulli”:
•
•
•
k - es el número de aciertos.
n - es el número de experimentos.
p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga
"cara" al lanzar la moneda.
• 1-p - también se le denomina como “q ”.

9. •
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda
10 veces?
•
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
•
El número de experimentos n son 10
•
La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la
moneda es 50% ó 0.50
•
La fórmula quedaría:
•
P (k = 6) = 0.205
•
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una
moneda es de 20.5%.

10. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número
3 al lanzar un dado ocho veces?
• El número de aciertos k es 4. Esto es x=4
• El número de experimentos n son 8
• La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el
dado) es 1 / 6 (= 0.1666)
• La fórmula queda:
• P (k = 4) = 0.026
• Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3
al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

11. Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden
resolver los ejemplos anteriores.
Para esto debe saber los valores k y B (n,p) .
• k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se
encuentra entre 0 y n.
• En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un
valor desde 0 al 1.
En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p)
son
B
(10,0.50)
y
B
(8,0.1666)
respectivamente.

12. • En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la
probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras
defectuosas.
• Solución:
• Se trata de una distribución binomial de parámetros B (12, 0.05).
Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en
este caso es 2. Esto es P (k=2).
• Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte
superior p=0.05 . La probabilidad estará en x=2 .
• El resultado es 0.0988.

13. Características de la distribución
binomial
Media
= E(X) = n p
P(X)
.6
.4
.2
0
= 5 · 0.1 = 0.5
= 5 · 0.5 = 0.25
n = 5 p = 0.1
X
0
1
2
3
4
5
Desviación estándar
P(X)
np (1
p)
5 0.1 (1 0.1)
0.67
5 0.5 (1 0.5)
1.1
.6
.4
.2
0
n = 5 p = 0.5
X
0
1
2
3
4
5
17