3. Es una distribución teórica de frecuencias que describe como se espera
que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de
modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos
estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en
condiciones de incertidumbre. Se clasifican en: Discretas Continuas
Distribuciones discretas: Son aquellas donde las variables asumen un
número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.
Según Bernouilli: “Es aquel modelo que sigue un experimento que se
realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones, acierto o fracaso:
Cuando es acierto la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso la
variable toma el valor 0”. Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una
moneda al aire (sale cara o no sale); probabilidad de ser admitido en una
universidad (o te admiten o no te admiten); probabilidad de acertar una
quiniela (o aciertas o no aciertas)
Distribución de Probabilidad.
4.
Hay una campaña en un centro medico del poblado de Maturín, sobre
paternidad responsable a un grupo de mujeres. Una vez finalizada la
charla se les entrega un papelito con una única pregunta: ¿Desearía
usted ser esterilizada? 1. Si 2. No Usted alumna de la maestría en
Salud Publica con mención en Salud Reproductiva, está interesada en
investigar si las charlas tienen un efecto favorable en el sentido de que
las mujeres se decidan a ser sometidas a la esterilización. Ante este tipo
de situaciones en la cual uno se encuentra todos los días, tenemos que
acudir a las Distribuciones de Probabilidades. En nuestro ejemplo, la
variable Deseo ser esterilizada, es una variable cualitativa, discreta.
Por lo tanto se requieren de las Distribuciones de Probabilidades
Discretas. Que es la que estudiaremos en este ejemplo.
EJEMPLO:
5.
Sigamos con nuestro ejemplo del centro medico de departamento de Maturín.
Nuestra variable de interés seria: Deseo ser esterilizada. Supongamos que a la
charla asistieron tres mujeres, entonces definimos como variable aleatoria a:
X : Número de mujeres que desearían ser esterilizadas.
Antes de hacerles la pregunta sobre su deseo de ser esterilizadas, puede
considerar las posibles respuestas:
X = 0 à Ninguna desearía ser esterilizada.
X = 1 à Sólo una de las mujeres desearía.
X = 2 à Dos mujeres desearían.
X = 3 à Las tres mujeres desearían
6.
Antes de verificar las respuestas de las 3 mujeres seleccionada; no sabe
cuántas estarán de acuerdo en ser esterilizadas, pero si conociera las
probabilidades de ocurrencia de cada uno de los posibles valores de la
variable podría predecir su ocurrencia con una cierta probabilidad. El conjunto
de las probabilidades de ocurrencia de los posibles valores de la variable
aleatoria se denomina distribución de probabilidades.
En nuestro ejemplo
A esto se le llama distribución de probabilidades discreta. Discreta porque la
variable X deseo ser esterilizada es discreta.
7.
Se dice que se ha definido una variable aleatoria para un experimento
aleatorio Cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del
experimento. Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras
mayúsculas X, Y, etc., y Letras minúsculas (x, y, etc.) para designar valores
concretos de las mismas.
Hay varios tipos de variables aleatorias, variables cualitativas y variables
cuantitativas, De éstas últimas se pueden diferenciar entre cuantitativas
continuas y continuas Discretas. Una variable es discreta cuando sólo puede
tomar ciertos valores enteros en un Número finito de valores o infinito
numerable. Como ejemplo podemos mencionar el Número de caras obtenidas
cuando se lanzan 3 monedas: (0, 1, 2, 3). Las variables Discretas representan
algo que se puede contar y no llevan decimales.
Distribución de Probabilidad de
variables discretas.
8.
Sea una variable aleatoria discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y se
conocen las probabilidades de que la variable X tome dichos valores. Una
función de probabilidad no es más que la asignación a cada valor de la
variable de la probabilidad que le corresponde. Es decir:
f(xi)= P(X=xi)
Es una idealización de la correspondiente distribución de frecuencias ya que
en realidad se está estimando las frecuencias absolutas fi y relativas hi de
forma experimental o empírica.
También se llama función de cuantía o masa.
Características:
• A cada valor de la variable aleatoria xi le hacemos corresponder una
probabilidad esperada teórica pi .
• Se representa gráficamente mediante un diagrama de barras.
• La suma de todas las probabilidades esperadas es uno.
Función de Probabilidad.
9.
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable
aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que
cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A,
llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba
del experimento a otra.
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas. Todo experimento que
tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución
Binomial o distribución de Bernoulli.
DISTRIBUCION BINOMINAL.
10. P(X=x) =
𝑛!
𝑋! 𝑛 −𝑥 !
𝑝 𝑥 𝑞 𝑛 - x
Donde: P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del evento
p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)
q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento)
(se define como q = 1 – p )
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados
n = número de intentos
En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de
fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la
distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:
11.
Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale); probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o
no te admiten); probabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no
aciertas).
Al haber únicamente dos soluciones se trata de
sucesos complementarios:
A la probabilidad de éxito se le denomina "p"
A la probabilidad de fracaso se le denomina "q"
Verificándose que:
p + q = 1
EJEMPLO.
12.
La distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial
con n = 1. Si X tiene la distribución Binomial con n (número de intentos) y p
(probabilidad de éxito que denotaremos por X ∼ Bi (n, p)) entonces la variable
Y = n − X, que representa el número de fracasos, es una variable de Binomial
con n (número de intentos) y probabilidad de éxito 1 − p.
X ∼ Bi (n, p) ⇒ Y = n − X ∼ Bi (n, 1 − p)
La distribución de Bernoulli.
13.
P(x>3)= 1-P (x<=3)= 1 - [ P (x=0) + P (x=2) + P(x=3)] =
1- [ 12
0
0.10
(1 – 0.1)12−0
+ 12
1
0.11
(1 – 0.1)12−1
+ 12
2
0.12
( 1- 0.1)12−2
+
12
3
0.12 (1 – 0.1)12−3 ] = 1.09744 = 0.0256
La v.a. binomial está tabulada para valores pequeños de n. Hay tablas que dan
la función de masa de probabilidad P (X = k) o bien la función de distribución P
(X ≤ k), aunque sólo vienen para valores p ≤ 0.5.
Ejemplo:
En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de
cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado día haya más de 3
máquinas averiadas?
Sea la variable X ="no de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) =
0, 1" ∈ Bi (n = 12, p = 0.1) .
14.
La distribución Hipergeométrica de parámetros k, n y N (HG (k, n, N)) surge
en situaciones en donde el modelo aproximado de probabilidad se
corresponde con muestreo sin reemplazamiento de una población dicotómica
(Éxito y Fracaso) finita. Concretamente, las suposiciones que llevan a
considerar esta distribución son:
• La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo consta de N
individuos o elementos a seleccionar.
• Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F).
• Se selecciona una muestra de n individuos de entre los k individuos
marcados como éxito y los N − k restantes marcados como fracaso.
• Hay selección equi-probable en cada paso. Definición 10 Una v.a. X tiene
una distribución Hipergeométrica si (para algunos enteros positivos k, n y N )
X = "no de individuos de un total de n con cierta característica (éxito) si en N
hay un total de k"
Distribución Hipergeométrica
15.
1.- El espacio muestral contiene ensayos idénticos.
2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos
diferentes métodos de muestreo.
Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una
población infinita sin reposición o de una población finita con
reposición.
3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías
conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente
excluyentes es decir E⩀E` = 0
4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 – p en un ensayo se
mantienen constantes, durante los n ensayos.
5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado
de cualquier otra observación.
Propiedades Esenciales de la
Distribución Binominal
16.
La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n
- x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial:
P ( x, n, p ) = 𝑛
𝑥
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
Donde:
p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito.
q = Probabilidad de fracaso.
x = Número de éxitos deseados.
n = Número de ensayos efectuados.
Formula.
17.
Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento `` numero de
águilas que caen``
Datos:
n= 4 ensayos
p=
1
2
probabilidad de éxito en un ensayo
q= 1- p= 1 -
1− 1
2 2
x= 0, 1, 2, 3, 4
S= { lanzar 4 veces la moneda}
A= { Número de. águilas que caen}
Ejemplo.
18.
Ocurre cuando en el experimento binomial cada intento tiene más de dos
resultados posibles. Las probabilidades de ocurrencia p1, p2, ..., pk en un
solo ensayo, la distribución de probabilidad de las variables aleatorias k1,
k2, ..., kn que representan el número de ocurrencias de E1, E2, ..., En
intentos independientes es:
Distribución Multinominal.
19.
Calcular la probabilidad de obtener dos veces el número 4, dos veces el
número 5 y una vez el número 2, en el lanzamiento de un dado 5 veces.
Ejemplo.
20.
Esta función de distribución de variable discreta se emplea para calcular las
probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo
de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida
conocida: cm2, km, gramos, litros, pulgadas, entre otros.
Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con distribución
de Poisson son: Los embotellamientos que se producen por día.
Número de llamadas por hora.
Defectos por m2de tela.
Número de defectos por lote de un proceso de producción.
Número de negocios cerrados por semana.
A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x obtenidos por
unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible conocer el
número de fracasos (n - x).
Distribución de Poisson
21. Donde:
n= Número de ensayos.
x= Número de éxitos esperados en n ensayos.
e = 2.71828...
λ= n p= Constante igual al número de éxitos promedio por unidad de medida.
p= Probabilidad constante durante el proceso igual al número de éxitos
promedio por unidad de medida.
Formula:
22.
Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados
por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar
reciba?
a) Ninguna llamada.
b) Exactamente 3 llamadas.
c) No más de 3 llamadas.
Ejemplo.
23.
b) Exactamente 3 llamadas: x= 3
c) No más de 3 llamadas: x< 4
Para este problema λ= 5, en otros casos deberá calcularse con: λ= n p.
a) Ninguna llamada. x= 0
24.
Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier
valor dentro de determinados límites; como por ejemplo, la estatura de un
estudiante. Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede
tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42,
376541kg, entre otros); la esperanza media de vida de una población
(72,5 años, 75,13 años, 72, 51234 años).
Distribuciones Continuas:
Uniforme
Exponencial
Normal
Distribuciones Continuas.
