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MATEMÁTICAS
04
TEMA 2:
Ing. Deyanira Onofre Plaza
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN LÓGICA MATEMÁTICA
Teoría de Conjuntos

➢ Subtema 1: Definición y notación.
➢ Subtema 2: Determinación de Conjuntos.
➢ Subtema 3: Clasificación de Conjuntos.
➢ Subtema 4: Operaciones con Conjuntos.
SUBTEMAS

Comprender la importancia de la
teoría de conjuntos.
OBJETIVO

Subtema 1: Definición y Notación.
¿Qué es un conjunto?
Se define como conjunto a la colección, reunión o agrupación de objetos de
estudio que poseen una característica o propiedad común bien definida.
Por ejemplo:
• Los números enteros.
• Los paquetes de software de Microsoft Office.
• Las personas que viven en Bastión Popular.

Subtema 1: Definición y Notación.
Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto español (A, B, C,..) y los
elementos que forman parte del conjunto se denotan por medio de letras minúsculas (a, b, c,…).
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el símbolo ∈ que significa
pertenencia y el símbolo de no pertenecer es ∉.
Ejemplos:
A = {Word, Excel, PowerPoint, Project, Visio}; Word”, “Excel”, etc.
Word A, indicamos que el elemento “Word” pertenece al conjunto “A”
Ejercicios Propuestos:
Escriba los siguientes conjuntos:
• “A” cuyos elementos son los meses del año.
• “B” cuyos elementos son los días de la semana.
Notación

Subtema 2: Determinación de Conjuntos.
Un conjunto puede ser descrito o determinado mediante: Extensión o Tabulación,
Comprensión o Diagramas De Venn.
EXTENSIÓN Ó TABULACIÓN:
Un conjunto se determina o describe por extensión o tabulación cuando se hace un listado o se nombra a
todos los elementos que pertenecen al conjunto, separados por comas y están encerrados entre llaves { }.
Ejemplos:
Para determinar el conjunto de los paquetes de software de Microsoft Office por extensión sería:
A={Word, Excel, PowerPoint, Project, Visio}
Para determinar el conjunto de las vocales por extensión sería:
B = {a, e, i, o, u}
Ejercicio Propuesto
“A” cuyos elementos son los signos zodiacales.

COMPRENSIÓN:
Un conjunto se determina por comprensión cuando se indica una propiedad común o alguna característica
que abarque a todos los elementos del conjunto y solo a ellos. Una forma muy usada para determinar un
conjunto por compresión es enunciando el conjunto A e indicando que cumplen los elementos del conjunto
y se usa una expresión de la forma:
A = {x/ x cumple una característica}; la cual se lee: “A es el conjunto de los elementos que cumplen una
característica”.
Ejemplos:
Determinar por comprensión el conjunto de los paquetes de software de Microsoft Office:
A = {x/x es un software de Microsoft Office}
Ejercicio Propuesto:
Determine por comprensión los siguientes conjuntos:
A = {primavera, otoño, verano, invierno}

Diagrama de Venn
Los conjuntos también se los pueden representar gráficamente mediante una curva cerrada a la que se le
denomina Diagrama de Venn, donde los elementos que pertenecen al conjunto se representan dentro de la
curva y los que no pertenecen al conjunto se les representa fuera de la curva, pero dentro de un rectángulo que
representa el Universo (U).Los diagramas de Venn son muy útiles en la resolución de problemas.
Ejemplos:
El Diagrama de Venn para el conjunto A = {x/x es un software de Microsoft Office} sería:
U
A
Excel
Word
Project
Visio
PowerPoint

Diagrama de Venn
Ejemplo:
En un instituto trabajan 67 personas. De ellas, 47 hablan el idioma inglés; 35 el francés y 23, ambos idiomas.
¿Cuántas personas en el instituto no hablan ni el inglés ni el francés?
U

Subtema 3: Clasificación de Conjuntos.
Conjunto finito e infinito
Un conjunto es finito cuando todos sus
elementos pueden ser contados; mientras que
un conjunto es infinito no se pueden contar
todos sus elementos.
Ejemplos:
Los habitantes de Guayaquil A = {x/x es
habitante de Guayaquil}
Los números enteros B = {x/x es un número
entero}
Conjunto unitario y vacío
Un conjunto unitario es aquel que tiene un
único elemento; mientras que un conjunto es
vacío si carece de elementos y se lo simboliza
con ɸ.
Ejemplos:
A = {x/x es un número par e impar a la vez}.

Subtema 3: Clasificación de Conjuntos.
Conjunto universo o referencial
Se denomina como conjunto Universo o Referencial al conjunto que contiene a todos los
elementos a los que se hace referencia, por lo general se lo denota con la letra U, la Re y algunas
veces con la letra S.
Ejemplos:
U = {x/x es una letra del alfabeto español};
los elementos del conjunto U son todas las letras del alfabeto.

Subtema 4: Operaciones con Conjuntos.
RELACIÓN DE CONJUNTOS
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A y B se dice que B es un subconjunto de A si el conjunto B está contenido en
A, y su notación o nomenclatura es B⊆A (o también B⊂ A); dicho de otra manera B es un
subconjunto de A si y solo si cada elemento de B está en A.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1}; decimos que B⊂A

SUBCONJUNTO PROPIO
Sean los conjuntos A y B, A es un subconjunto propio de B si y sólo si cada elemento de A está en
B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A. Y se denota con el símbolo ⊂.
Ejemplos:
Sean los conjuntos A = {2, 4, 6, 8} y B = {2, 4, 6, 8, 9}; decimos que A es un subconjunto propio
de B (A⊂B) al observar que tienen ambos conjuntos casi los mismo elementos a excepción de
uno (9).
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3}, A no es un subconjunto propio B (A⊆B) por cuanto
todos los elementos de ambos conjuntos son iguales y no existe al menos uno diferente.

IGUALDAD DE CONJUNTOS
Sean dos conjunto A y B se dice que son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
Ejemplos:
Sean los conjuntos A = {a, b} y B = {b, a}, podemos observar que ambos conjuntos tienen los
mismos elementos por lo tanto son iguales.
Sean los conjuntos A = {x/x es vocal} y B = {a, e, i, o, u}, podemos observar que ambos conjuntos
tienen los mismos elementos por lo tanto son iguales.
Selecciona cuales conjuntos son iguales entre sí:
A = { Los días de la semana } C = {1, 2, 3}
B = { 1, 2, 3, 4, 5 } D = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes,
Sábado, Domingo}

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
Un conjunto está incluido o subconjunto de otro conjunto, si todos sus elementos pertenecen, o
están contenidos en el otro conjunto.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {-1, 0, 1} y B = {-1, 0, 1, 2, 3}, entonces A es Subconjunto de B.
En la inclusión de conjuntos podemos destacar tres propiedades importantes:
1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A⊂A
2. El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos: Φ⊂A
3. Si un conjunto está incluido en otro y éste en un tercero, entonces el primero conjunto
está incluido en el tercer conjunto, es decir es transitivo: o A⊂B y B⊂C entonces A⊂C o
Si A⊂B y B⊂A entonces A=B

CONJUNTOS INTERSECANTES
Dos conjuntos A y B son intersecantes si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común. Y
su notación o nomenclatura es A∩B
Ejemplo:
Sean los conjuntos A= {-1, 0, 1} y B = {-1, 2, 3, 4}, entonces A y B son intersecantes por cuanto
existe un elemento en común entre ambos conjuntos y su notación es: A∩B = {-1}.
Dados los conjuntos A = {Compás, lápiz, borrador} B = {Regla, Sacapunta} C = {Cuaderno,
bolígrafo} D = { Compás, lápiz, escuadra} , encuentra:
• A∩B
• B∩C
• A∩D
• D∩C

CONJUNTOS DISJUNTOS
Sean dos conjuntos A y B, se dicen que son disjuntos si y sólo si A y B no tienen elementos en
común.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {-1, 0, 1} y B = {2, 3, 4}, entonces A y B son disjuntos por cuanto no existe
ningún elemento común entre ambos conjuntos.

UNIÓN DE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A y B, la unión entre ambos es un
nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota
por A∪B y se define como:
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {d, e, f},
entonces A U B = {a, b, c, d, e, f}.
Consideremos el conjunto universo U = {Lunes,
Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado,
Domingo} y los subconjuntos A = {Lunes, Martes,
Jueves}, B = {Lunes, Sábado, Domingo} y C={Martes,
Jueves, Domingo}.
Hallar: A∪B, A∪C
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A y B, la intersección entre ambos
es un nuevo conjunto formado por los elementos
que se repiten en el conjunto A y en el conjunto B.
Se denota por A∩B y se define
como:
Ejemplo:
entonces A∩B = {d}
Jueves, Domingo}.
Hallar: A∩B, A∩C, B∩C

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A y B, la diferencia entre los
conjuntos es un nuevo conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto A, pero no
pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y se
define como:
Ejemplo:
entonces A - B = { a, b, c}
Jueves, Domingo}.
Hallar: C−A, B−C , B−A
COMPLEMENTO
Sea el conjunto A, el complemento de A es un nuevo
conjunto formado por los elementos del
referencial (Re) o universo (U) que no pertenecen al
conjunto A. Se denota por A y se define como:
Ejemplo:
Sean los conjuntos Re = {a, b, c, d, e} y A = { b, c, d},
entonces Ac = {a, e}.
Jueves, Domingo}.
Hallar: Ac, Bc, A∪Ac, A∩Ac

Diferencia simétrica
Sean los conjuntos A y B, la diferencia simétrica entre los conjuntos es un nuevo conjunto formado por los
elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B, pero no ambos. Se denota por A ∆ B y se define
como:
A ∆ B = (A−B) ∪ (B−A), o también:
A ∆ B = {x /[(x ∈ A)∧ ¬ (x ∈ B)] ∨ [( x ∈ B)∧ ¬ (x ∈ A)]}>
Ejercicios
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {d, e, f, g}, entonces AΔB = {}

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