1. Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Teoría de conjuntos
{
Jennyfer Pérez Corrales
Prof. Ing. Domingo Méndez
SAIA B
Cabudare, 15 de enero de 2012

2. DEFINICIÓN
Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los
cuales llamaremos elementos.
Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U,
al conjunto que contiene todos los elementos a considerar.
Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión
y por comprensión.
a.- Por extensión: Cuando todos sus elementos son
enumerados uno a uno.
Ejemplo: Los siguientes conjuntos están determinados por
extensión.
A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}

3. b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una
función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que
cumplen una condición dada.
Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión.
A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o
iguales a 1 y menores o iguales a 5)
B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18)
C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores
absolutos son menores que 4)

4. Subconjuntos
Relación de Inclusión: Si A es el conjunto formado por todos los
Barquisimetanos y B es el conjunto formado por todos los
Venezolanos entonces, tenemos que todo elemento de A es
también elemento de B.
Definición: Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto
de B lo cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es
también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos
como:
A Ì B Û ( " x Î U) ( x Î A Þ x Î B )

5. Conjunto Vacío
Definición: Dado un conjunto A, el conjunto vacío f A es el
conjunto:
f A = { x Î A / x ¹ x } el f A no tiene elementos, ya que todo x Î A
satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es
subconjunto de todo conjunto A.
Conjunto Potencia
Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o
conjunto partes de A como Ã(A) = { X / X Ì A}, es decir, es el
conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces
Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

6. Características del Conjunto Potencia:
- La principal característica de este conjunto es que es un
conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.
- Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos
de à (A), ya que si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n
elementos.
Representación Tabular del Conjunto Producto:
Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas
como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de
AXB
Solución
AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

7. Igualdad de Conjuntos:
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son
iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.
Unión e Intersección de Conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el
conjunto:
A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

8. Diferencia y Complemento:
Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y
B como el siguiente conjunto:
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los elementos que
están en A pero que no están en B.
Ejemplo: Consideremos los conjuntos
A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}
Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica entre A y B es
el conjunto.
AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18}

9. Algebra de Conjuntos:
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de
proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del
álgebra de conjuntos que veremos a continuación.
Leyes de Idempotencia Leyes Distributivas
Leyes Asociativas Leyes de Identidad
Leyes Conmutativas Leyes de Dominación
Leyes de De Morgan Leyes de Complementación

10. Producto Cartesiano:
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto
cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A
Operaciones Generalizadas:
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de
conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un
conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de
conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.
Ejemplo
Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por
extensión cada miembro de la familia.

11. Particion:
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice
que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición
es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío,
la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión
de todos los miembros da X.
Cardinalidad:
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para
algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden
contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.
Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5
elementos, el conjunto de los números reales, de los números
naturales son ejemplos de conjuntos infinitos.