...

1. Noción de Conjunto
TEORIA DE CONJUNTOS I
Es evidente que el orden en el cual son
Concepto no definido del cual se tiene una idea
subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales
como colección, agrupación o reunión de objetos
abstractoso concretosdenominados“integrantes”
u elementos susceptibles de ser comparados.
Ejemplos:
 Los días de lasemana
 Los paísesdel continente americano.
 Los jugadores de unequipode fútbol.
Notación
Generalmente se denota a un conjunto con
símbolos que indiquen superioridad y a sus
integrantesuelementosmediante variablesoletras
minúsculas separadas por comas y encerrados con
llaves.
Ejemplo: A = losdías de lasemana
B = a, e, i,o, u
Relación de Pertenencia ()
Se establece esta relación sólo de “integrante” a
conjuntoy expresasi el integrante indicado forma
parte o no del conjunto considerado.
“....pertenece a ....” : 
“...no pertenece a..”:
Esto quiere decir que dado un “integrante u
elemento” y un conjunto
Integrante  conjunto
u elemento 
Ejemplo:C= 1,2, 1,2, 5, 16
 2  C
 8  C
 1,2  C
 5  C
incorrecto
Determinación de un Conjunto
Consiste en precisar correctamente que
“elementos” forman parte del conjunto. Puede
hacerse de 2 formas:
a) Por Extensióno forma tabular.
Cuando se indica generalmente a todos y
cada uno de losintegrantes
Ejemplo: A = a, e, i,o, u
C = 2,4,6,8
listados los “elementos” del conjunto no
afecta el hecho de que pertenece a él.
De este modoenel conjunto
A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e
No todos los conjuntos pueden ser
expresados por extensión, entonces se
recurre a otra forma de determinación.
b) Por Comprensióno forma constructiva
Cuando se enuncia una propiedad que
caracteriza a todos los elementos del
conjunto, de tal manera que cada objeto
que goza de la propiedad pertenece al
conjunto ytodoelementodelconjuntogoza
de lapropiedad mencionada.
Esquema /
(se lee “tal que”)
A = ..........................
Regla de Restricción
Correspondencia y/o característica
o forma general(propiedad común)
del elemento
B = n/nesuna vocal
C = n²-1 / n Z
Z
,1  n  7

CONJUNTOS NUMERICOS
1. Conjuntode los númerosnaturales
IN= 1,2,3,4. 
INO = IN*
= 0,1,2,3, 
Observación
Cero(0) es natural
2. Conjuntode los NúmerosEnteros
Z
Z
=  , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 
3
 Z
Z
, - 24  Z
Z
8
3. Conjuntode los NúmerosRacionales
Q = a/b/ a  Z
Z b Z
 b  0
3  Q porque : 3 =
3
1
5
0,5  Q porque 0,5 =
10
1
0,333...  Q porque 0,333....=
3
 = 3,141592...  Q porque  
a
b

2. (xA : P(x))   x A/ P(x)
(xA / P(x))   x A:  P(x)
Aplicación I
Dadoel conjunto
B = 1, ,,2 1, 1,2,3
Indicarque proposicionessonverdaderaso
falsas
*   B * 1  B
* 1  B * 3  B
* 1,2  B *   B
AplicaciónII
Determinar por extensión y comprensión
los siguientes conjuntos
P = 2, 6, 12, 20,..., 10100
Q = 3x+1/x Z
Z - 3 < x < 3
Cardinal de un Conjunto
Se llamaNúmeroCardinal de unconjuntoA
a la clase de los conjuntoscoordinablescon
A (esdecirel número cardinal es una clase
de equivalencia). Vulgarmente se
acostumbra a señalar que el número
cardinal, es el número de elementos del
conjuntoA yse denotacomon(A) ócard(A)
Ejemplo:
A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n(A) = 5
P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n(P) = 4
Número Ordinal
Teniendoencuentauna disposición de los
elementos dentro del conjunto del cual
forman parte, cada uno determina su
númeroordinal comoel lugarque ocupaen
el orden establecido.
Notación:
Ord (x) :númeroordinal de x
S = 7, a, , 13  ord(a) = 2, ord () = 3
Cuantificadores
a) Universal:Se denotapor“” y se lee “para
todo”o “para cualquier”
Si P(x) esunafunción proposicional, ,“ x 
A; P(x)” es una proposición que será
verdaderacuandoparatodoslosvalores de
x  a se cumpla P(x)
Ejemplo:
Si A = 2,4,6,8
P(x) =x esun númeropar
P(y) = 3y – 2 > 4
Luego  x  A: x es un par(V)
 y A: 3y – 2>4 (F)
b. Existencial. Se denota por “” y se lee
“existe por lo menos un” Si P(x) es una
función proposicional, “x  A/P(x)”esuna
proposiciónque seráverdaderasi existe por
lomenosun elemento de A, que cumple P
(x)
Ejemplo
Si:B = 7,5,4,1
P(x) =x esun númeroimpar
P(y) = (y-4)²= 4
Luego:
 x B/x esimpar(V)
 y B/(y-4)²=4 (F)
Negaciónde losCuantificadores
Diagramas de Venn – Euler
Es la representación geométrica de un conjunto
mediante una región de plano limitado por una
figura geométrica cerrada en cuyo interior se
indicanlos “elementos” que forman el conjunto
Ejemplo:A a,b,c,d,e
A
. a . b
. c . d
. e
Diagrama (Lewis – Carroll)
Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor
de “Alicia en el país de las Maravillas” utilizando
un lenguaje lógico – matemático utiliza el
Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo
partición del universo.
H M
Ejemplo:
H : Hombres
S
M : Mujeres
S : Solteros
C : Casados C
F : Fuman
F

3. Diagrama Lineal – Hasse
Utilizasegmentosde líneayes utilizado en
conjuntos transfinitos e infinitos
Ejemplo:
C C
IR IIm
IR
IIm
Q
Q Q´ Q´
Z
Z
ZZ IN
P
IN
P
Diagrama Lineal Diagrama Hasse
Relaciónde Inclusión ()
Subconjunto  Conjunto
Conjunto  Conjunto
Se dice que un conjuntoestáincluidoenun
segundo conjunto, cuando todos los
“elementos”del primero forman parte del
segundo conjunto.
 : “incluido ocontenido”
A  B: “A estacontenidoenB”
“A essubconjunto enB”
“B contiene aA”
A  B   x  A : x  A  x  B
B
A
Observación:
El vacío estáincluido encualquierconjunto.
Conjuntos comparables
Se dice que dos conjuntossoncomparables
cuando por lo menos uno de ellos está
incluido en el otro.
A  B  (A  B  A  B) v(B  A  B  A)
Ejemplo:Dadoslosconjuntos:
A = 3,5 B = 1,2,3,4,5,6,7
C = 2,4,6,7 D = 4,7
Sonconjuntos comparables:A yB
B y C; B y D; C yD
Conjuntos Iguales
Se dice que dos conjuntos son iguales
cuando ambos poseen los mismos
“elementos”.
A = B  A  B  B  A
Ejemplo:
A = 3n + 2/n  Z
Z
,1  n  4
B = 5,14,8,11
Se observaA = B
Aplicación
Dados los conjuntos A y B guales y C y D
igualesdonde
A = a+2, a+1 C = b+1, c+1
B = 7-a, 8-a D = b+2, 4
Hallar: a+b+c
ConjuntosDisjuntoso Ajenos
Dos conjuntos se denominan disjuntos
cuando no poseen ningún elemento en
común
Ejemplo:
C = x / x esunhombre
D = x / x esuna mujer
 C yD sondisjuntos
- Si dos conjuntossondisjuntosambosserán
diferentes.
- Si dosconjuntos sondiferentesentonces no
siempre serándisjuntos.
Ejemplo:
E = 5,2,a,b , F = 4,3,c,d
E y F sondisjuntos E  F
G = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,c
G  H peroG y H noson disjuntos

4. N° subconjuntos de A = n (P(A)) =2n(A)
ConjuntosCoordinableso Equipotentes
Dos conjuntos serán coordinables cuando
se pueda establecer una correspondencia
uno a uno entre todos y cada uno de los
elementos del primer conjunto con los del
segundo conjunto. A dichacorrespondencia
se le denomina biunívoca y como
consecuencia de estos se tiene que las
cardinales de estosconjuntos soniguales(si
sonfinitos).
Ejemplo
A = Lima, Caracas, Bogotá,Santiago
B = Perú, Venezuela,Colombia, Chile

Se observa que es posible establecer la
correspondenciabiunívoca:
“.... escapital de ... ”
De ahí que A y B son coordinables, luego:n
(A) = n (B)
Clases de Conjuntos
Los conjuntos se clasifican teniendo en
cuentala cantidadde elementosdiferentes
que poseen según esto tenemos:
Finito: Si posee una cantidad limitada de
“elementos” es decir el proceso de contar
sus diferenteselementostermina en algún
momento.
Ejemplo:
N = 3n + 2 / n  Z
Z 1  n  4
N esfinitopuesn(N) =4
P = x/x esun día de la semana
P esfinitopuesn(U) = 7
Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de
“elementos”.
Ejemplo:
M = x/x  Q  1 < x  2
M esinfinitopuesn(M) =¿...?
Conjuntos Especiales
1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece
de “elementos”.
Notación ;  .
Ejemplo:
A = x/o < x < 5  x² = 100 =   = 
* A :   A
*   
*    
2. Unitario o Singleton (singular)
Es aquel conjunto que tiene un solo
elemento.
B = x/x > 0  x²= 9 = 3

Aplicación: Si los siguientes conjuntos son
unitarios e iguales, calcule a + b + c.
A = (2a + b);c
B = (2c - 7); (5b + 2)

3. Universal:Esunconjuntoreferencialparael
estudio de una situación particular, que
contiene a todos los conjuntos
considerados. No existe un conjunto
universal absoluto y se le denota
generalmente por U.
Ejemplo:
A = 2,6,10,12
B = x+3/x esimpar  0 <x< 10
Podránserconjuntos universales paraA yB
U = x/x IN x < 13
U = 0,2,4,6, 8, ….

4. Conjunto de Conjuntos: También se le
denomina familia de conjuntos o clase de
conjuntos y es aquel conjunto cuyos
elementos son todos conjuntos.
Ejemplo:
C = 2,3, 3, a, 6,b, 
D = a,b,c,2,3,6, 6, c, 8
Se observaque:
C esfamiliade conjuntos
D no esfamiliade conjuntos
5. Potencia
El Conjunto de Potencia de A, llamado
también “Conjunto de Partes de A”, es
aquel que está formado por todos los
subconjuntos posibles que posee el
conjunto A.
Notación P(A)
Ejemplo:A = x,y
P(A) = ,x,y,x,y
n (P(A)) =4
* Los subconjuntos , x, y son
denominados propios.

5. N° subconjuntos Propios de A = 2n(A)
- 1
A – B = x/x  A  x  B
A B
Ejemplo:
B = x/x esprimoy x < 10
B = 2,3,5,7 n (B) = 4
N° subconjuntosde B24
 16
N° subconjuntos propios de B24
1 15
6. Par Ordenado
Es un conjunto de 2 elementos para los
cuales se considera el orden en que están
indicados.
Notación (a, b)
Se lee “parordenado a, b”
a: 1º componente
b: 2º componente
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión (U): La unión de 2 o más conjuntos es aquel
conjunto conformado por la agrupación de todos
los elementos de los conjuntos que intervienen.
A U B = x/x  A  x  B
U
Ejemplo: A = 2,3,4,5,6
B = 4,6,7,9
 A  B = 4,6
Si A  B  A  B = A
Si A y B sondisjuntos, A  B = 
Diferencia(-) El conjunto diferencia (A-B) es aquel
que está formado únicamente por los elementos
que pertenecen a A pero no pertenecen a B.
Ejemplo: A = 2,4,5,6,7,8
B = 1,3,6,7,9
 A – B = 2,4,5,8
B – A = 1,3,9
Si A  B  A  B = B – A
Si A y B disjuntos, A  B= A U B
DiferenciaSimétrica
La diferenciasimétricade dosconjuntos A y B es el
conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A o B pero no a ambos.
Ejemplo: A = 2,3,5, B = 1,7,5
 A U B = 2,3,5,1,7


Intersección () Laintersecciónde los conjuntos A
y B esel conjuntoformadoportodosloselementos
que pertenecen a “A” y “B” a la vez.
A  B = x/x  A  x  B
Ejemplo:
A = 8,7,6,5,4,2
B = 9,7,6,3,1
 A  B = 2,4,5,8,1,3,9
Si A  B  A  B = B – A
Si A y B disjuntos, A  B= A U B
Complementode A (CA, Ac
, A , A´)
El complemento deA eselconjuntoformadoporlos
elementosque pertenecenal conjunto universal U
pero no al conjunto A.
Ejemplo
U = x/x  IN, x <8
A = 1,3,4
Ac
= 0,2,5,6,7
Ac
= A´ = x/x  U  x  A = U –A
Si:A  B  A U B = B
A  B = x/x  (A U B)  x  (A B)
(a,b) = (c,d)  a = c  b = d

A B

A B

6. ConjuntoProducto o Producto Cartesiano (X)
Dados dos conjuntos A y B se define el conjunto
productocomo:
Leyes del Algebra de Conjuntos
1. Idempotencia
A U A = A
A  A = A
2. Conmutativa
A U B = B U A
A  B = B  A
3. Asociativa
(A U B) UC = A U (B U C)
(A  B)  C= A  (B  C)
4. Distributiva
A U (B  C) = (A U B)  (A U C)
A  (B U C) = (A  B) U (A  C)
5. De Morgán
(A U B)´ = A´  B´
(A  B)´ = A´ U B´
6. Del Complemento
A U A´ = U
A  A´ = 
(A´)´ =A
7. De la Unidad
A  U = U A  U = A
A   = A A   = 

8. De Absorción
A U (A  B) = A
A  (A U B) = A
A U (A´  B) = A U B
A  (A´ U B) = A  B
9. Diferencia
A – B = A  B´
10. Adicional
(U)´ = 
()´ =U
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dadoslosconjuntos unitarios
A = 90, a.b
B = a+b, 23
Hallarladiferenciaentre ayb
Resolución
Dados que los conjuntos A y B
Son unitariosse debe cumplir:
A = 90, a.b  a.b = 90 (1)
B = 23, a+b  a+b = 23 (2)
Resolviendo:
a = 18 ; b = 5 ; a – b = 3
2. Hallarel cardinal de A si
A = 0,1,1,2,3,5,8, ....55

Resolución
Observamos enloselementos del conjunto
A
Se verificará la suma de 2 términos
consecutivos da como resultado el tercer
término.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
 n (A) = 10
3. Dadoel conjunto
A = 5,3 3, 7, 9,11, 14
¿Cuántas proposiciones sonverdaderas?
I. 5  A IV. 3  A
II. 3  A V. 9,11  A
III.7,14  A VI.   A
Resolución
I. 5  a (V)
II. 3 = A (V)
III. 7,14  A (F) ya que la relación  se
da sóloentre integrante (singular y
su conjunto)
IV. 3  A (V)
V. 9,11  A (F)
Puestoque 9,11 esun integrante
para A y la relación integrante
conjuntose dasoloen pertenencia
VI.   A (V)
Puesto que el conjunto vacío está
incluido en cualquier conjunto
A x B = (a,b)/a A  b  B

7. 17
4. Si A = B
Calcularab
A = 3a-8, 44
B = 10, ba
- 20

Resolución
Si A = B
3a – 8, 44 = 10, ba
- 20


3a – 8 = 10  3a = 18  a = 6
44 = ba
– 20  ba
= 64
Reemplazando:b6
=64 =26
a = 6
 ab
= 6² = 36 Rpta.
b = 2
7. Dados el conjunto A = a a, ,
cuántas de lassiguientesproposicionesson
verdaderas.
I. a  A  a  A
II. a  A  a  A
III.   A    A
IV.   A    A
V. a,  A  a, A
Resolución
I. a  A  a A ; pq (V)
P q VV
II.a  A  a A ; pq (F)
P q VF
III.  A   A ; pq (F)
P q VF
IV.  A    A ; pq (V)
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el
conjuntoM?
M= x/x  ZZ;-7< 4 x + 1 < 21
Resolución
-7 < 4x + 1 < 21
-8 < 4x < 20
-2 < x < 5  x = -1, 0, 1, 2, 3, 4
M = -1,0,1,2,3,4  n (M) = 6
Nº sub
conjuntos = 2n(M)
–1 = 26
-1 = 63 Rpta.
propios de
M
6. Indicarel cardinal del conjunto
P q VV
V.a,  A  a, A pq (V)
VV
Rpta. 3 son verdaderas
8. En un salón de clase de 100 alumnos, hay
diezhombresprovincianos,hay40 mujeres
limeñas y el número de mujeres
provincianas excede en 10 a número de
hombre limeños.
¿Cuántos hombre hay en el aula?
Resolución
Utilizando diagramaCARROLL

R  x/

Resolución
ε Z ,x 



Para calcular el cardinal del conjunto R. Habrá
que saber cuantos valores toma x de acuerdo a
las restricciones dadas en el conjunto R.
Para x < 17 y que verifique que
ε Z entonces x = 2, 11
solamente
Luego R = 2,11  n(R) = 2 Rpta.
Del Total
10 + x + x +10 + 40 = 100
2x+60 = 100  x = 20
 nº hombres =10 + x = 30 Rpta
x 1
3
x 1
3
Provincianos Limeños
10 X Hombres
X+10 40 Mujeres
U: 100

8. A  B = x/x  A v x  B
A B
U
A
B
U
TEORIA DECONJUNTOS II
Operaciones con Conjuntos
I. Unión o Reunión
La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el
conjunto formado por la agrupación de
todos los elementos de “A” con todos los
elementos de “B”.
Notación A  B, (A  B)
Simbólicamentese define
Posiciones relativas para 2 conjuntos A y B
 A  B
Observación: Si B  A  A  B = A
Propiedades:
 A  B = B  A (Conmutativa)
 A  (B  C) = (A  B)  C (Asociativa)
 A  A = A (Idempotencia)
 A  U = U
 A   = A (ElementoNeutro)
II. Intersección
La intersección de 2 conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos que
pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
Notación:A  B, (A  B)
Simbólicamentese define:
A  B = x/x  A  x  B

Observación: equivaley:Intersección
A B
U
U
Posiciones relativas para 2 conjuntos “A” y
“B”
A B
A
B
U
A B
A  B = 
U
A  B
Observación:
* Si B  A  A  B = B
* Si A y B son conjuntos disjuntos  A  B =

Propiedades:
 A  B = B  A (Conmutativa)
 A  (B  C) = (A  B)  C (Asociativa)
 A  A = A (Idempotencia)
 A  U = A
 A   = (Elemento Neutro)
PropiedadesComplementarias
Distributiva
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Absorción
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
A  (A´B) = A  B
A  (A´B) = A  B
(A  B)  C  A  C y B  C
Si: A  B y C  D (A  C)  (B  D)

9. B
A B
A
B
U
III. Diferencia
La diferencia de 2 conjuntos A y B (en ese
orden) es el conjunto formado por los
elementosque pertenecen a “A” pero no a
“B”
Notación: A – B
Se lee:“A perono B” (soloA)
Simbólicamente
A – B x/x  A  x  B
Observación:
Si A  B A – B  B – A
Si A = B A – B = B – A = 

PosicionesRelativaspara 2 conjuntos A y B
A B
U
 A – B
Observación:
Si A y B son conjuntosdisjuntos
A  B = A  B
Propiedades
 A  B = (A - B)  (B- A)
 A  B = (A  B) - (A  B)
 A  A = 
 A   = A
Ejm:
A = 2,3,4
B = 4,5,3 A  B = 2,5

V. Complemento
El complemento de A es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al
conjunto universal U pero no a “A”.
Notación:A´, A , Ac
,C A
Simbólicamente:
A´ = x/x  U  x A = U – A
Diagrama
Observación:
C A = B – A
 Si B  A  B – A = 
 Si A y B sondisjuntos
A – B = A ; B – A = B
Ejm:
A = 2,3,4 A – B = 2
B = 3,4,5,6 B – A = 5,6

IV. Diferencia Simétrica
La diferenciasimétricade dosconjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos a “A” o “B”
pero no a ambos. Notación: A  B
Simbólicamente se define:
Propiedades
1.
2.
3.
4.
Involución
5. Leyesde Morgan
ó
Observación:
Si B  A  A  B = A – B
A
A´
A  B = x/x  A  X  B  X  A  B (A  B)´ = A´  B´
(A  B)´ = A´ B´
A  B = x/x  (A - B)  X  (B- A)
A  A´ = U
A  A´ = 
A – B = A  B´
´= U
U´ = 
(A´)´ =A

10. 
6. Casoparticularde la Absorción
Observación
1. n () =0
2. n(AB) = n(A) + n(B)–n(AB)
3. Si A y B sonconjuntos disjuntos n(AB) =
n(A)+n(B)
4. n (A  B  C) = n(A) + n(B)+ n(C)–n(A 
B)–n(A  C)–n(BC) + n(A  B  C)
Par Ordenado
Es un conjunto que tiene dos elementos (no
necesariamente diferentes), en la cual interesa el
ordenamiento de estos elementos llamados
también componentes
(a, b)
ProductoCartesiano
Dados 2 conjuntos A y B no nulos se denomina
productocartesianode A yB(A x B) enese orden, al
conjunto formado por todos los pares ordenados
(a,b) tal que las primerascomponentespertenecen
al conjunto a y las segundas componentes al
conjunto B.
Ejemplo: Dadoslosconjuntos A y B
A = a, b
B = c,d

Forma Tabular:
SegundaComponente
PrimeraComponente
Propiedad:
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus
respectivos elementossoniguales. Esdecir:
A x B = (a,c), (a,d), (b,c),(b,d)
B x A = (c,a), (c,b), (d,a),(d,b)
Observamos que:
Ejemplo:
Aplicación
Si (x + y, 13) = (31, x-y)
x
Hallar:
y
Resolución
Si (x + y; 13) = (31; x - y)
x + y = 31
x – y = 13
1. A x B  B x A engeneral
2. A x B = B x A  A = B
3. n (A x B) = n (A) x n (B)
A yB son conjuntos finitos
4. n AxB–BxA=n AxB-nAxBBx A

Propiedades
a. A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
b. A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
c. A x (B - C) = (A x B) - (A x C)
d. Si:A  B  A x C  B x C , C
e. Si:A  B y C  D
x =
3113
 22
2
3113
y =  9
2
Luego:
x 22
Rpta.
y 9
A x B a,b / aA bB
A´  (A  B) = A´  B
A´  (A  B) = A´  B
(a,b) = (c,d)  a = c  b = d
c d a b
a (a,c) (a,d) c (c,a) (c,b)
b (b,c) (b,d) d (d,a) (d,b)

11. A B
A B
A B
A B
C
A B
C
Interpretaciónde RegionesSombreadas
“SóloA”, “exclusivamente A”
o “únicamente A”. (A - B)
“Ocurre A o B”; A  B
“Al menosunode ellos”o
“Por lomenosunode ellos”
A  B, “ocurre A y B”
“Ocurre ambos sucesos a la vez”
“Tanto A como B”
“Ocurre solo uno de ellos”
“Únicamente uno de ellos”
“Exactamente uno de ellos”
“Ocurre exactamente dos de ellos”
“Sucede únicamente dos de ellos”
(B  C) – A
(ocurre B o C pero no A)
A B
C

12. 15
es
lent
10
a
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dadoslosconjuntos
A = 6,2, y
B = ,,2,6
HallarP(A)  B
Resolución
ComoA = 6,2, 

 P(A) = 6, 2, 
6,2,6,,2,
A, 
Además, B = ,,2,6
Luego:P(A) B = ,2, 6 Rpta.
2. Dado el conjunto A: A = 1,2,2, 1,2
Indicar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones
I. 1,2  A
II. 1,2  P (P(A))
III. ,2  P (A)
a) VVV b) VFV c) VFF d) FVV e) VVF
Resolución
Analizando cadacaso
I. 1,2  A
1  A  2  A = Verdadero
V V
II. 1,2  P(P(A))
1,2  P(A)
 1, 2  P(A)
 1, 2  P(A)
 1, 2  A
 1  A  2  A = Verdadero
V V
III. , 2  P(A)
,2  A
   A  2  A  Falso Rpta. E
F V
3. De un grupo de 100 alumnos,49 no llevan el curso de
Aritmética,53 no llevan álgebra y 27 no llevan álgebra
ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los
cursos?
a) 56 b) 54 c) 52 d) 50 e) 48
Resolución
Sea A : Aritmética
X : Algebra
n(A´) = 49  n (A) = 100 – 49 = 51
n(X´) = 53  n (B) = 100 – 53 = 47
Gráficamente
Llevanunsolocurso
Por dato:
c + 27 = 49  c = 22
a + 27 = 53  a = 26
Luego a + c = 48 Rpta. E
4. Durante un examense observóenun aula que 15
alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10
usaban lentes y resolvían el examen. El número
de alumnosque usabanlentesymiraban al techo
era el doble de los que resolvían el examen y no
usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos.
¿Cuántosresolvían suexamen?(considere quelos
que no resolvían su examen miraban al techo)
a) 20 b) 25 c) 24 d) 30 e) 36
Resolución:Gráficamente:
Resuelven examen Miran al techo
En total:
3a + 25 = 85
3a = 60
a = 20
 Resuelven el examen30 Rpta. D
5. Dadoslosconjuntos A, B yC
A = 1,2,3,4,5,6,... ,21,22
B = x  A /x esun númeroprimo
C = x  A/x es un número impar
Y las proposiciones:
I. B  C = 1,2,9,15,21
II (B  C) tiene “7 elementos”
III n (C– B) – n (B - C) = 2
IV. n A – (B C) =9
Sonverdaderas:
a) I, IIy III b) I, III,IV
c) II,III yIV d) I, IIy IV
e) I y II
A (51) x (47)
a b c
27

13. B C
.20
.22 .1
.4
.2
.3
.5.7.11
13.17
.19
.18
.21
.16
.9
.6 .15 .14
.8 .10 .12
 
2 2 2
Resolución
A = 1,2,3,4,5,6, ...,21,22
B = 2,3,5,7,11,13,17,19
C = 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21
Graficando
1
* de losque leensolo“ELAMAUTA”
3
1
* de losque leensolo“ELMERCURIO”
4
1
A * de losque leensolo“ELVOCERO”
7
1
* de losque leen“ELAMAUTA” y “EL VOCERO”
3
1
* de losque leen“ELVOCERO” yel “MERCURIO”
6
solamente.
1
* de los que leen “EL AMAUTA” o “EL
12
Luego:
I. B  C = 1,2,9,15,21  (V)
II n(B C) = 7 (V)
III. n (C- B) – n (B - c) = 2
4 1 = 3  (F)
IV. n(A – (B - C)) = 9  (F)
n(A – (B  C)) = 10 Rpta. E
6. Si
A = x esimpar/6 < x  11
MERCURIO” pero no “EL VOCERO”
Si todas las personas interrogadas leen al menos
uno de estos diarios. ¿Cuántas de estas personas
leen o bien “EL AMAUTA” o bien “EL VOCERO”?
a) 110 b) 121 c) 132 d) 99 e) 120
Resolución: 30
Gráficamente:
3n 1
B  Z / 0  n  7


 2 
Calcularn P(A x B) – (Bx A)
a) 220
b) 222
c) 224
d) 226
e) 228
Resolución:
A = 7,9,11
B =
3n 1
 Z/
1

3n 1



  

28a = 308
 a = 11
11
Nospiden
3a + 7a = 10a = 110
 Rpta. A
 10
 
B = 0,1,2,3,....,9

nAxB– BxA =nAxB - n AxB B x A
nAxB– BxA = 3 x 10 – 2 x 2 = 26
nPAxB– BxA =226
7. De 308 personas interrogadas, se
determinó que el número de los que leen
solamente“ELAMAUTA”y“EL VOCERO”es:
A V
3a a 7a
5a
2a6a
4a
M