Matemáticas

BIENVENIDOS
EL MILAGRO DE LA VIDA ES
SONREIR AUN CUANDO LAS
COSAS ESTÉN COMPLICADAS.
DECÍA UN PADRE A SU HIJO:
“EL MEJOR MOMENTO DE MI
VIDA NO FUE CUANDO SONREÍ EN
LA ALEGRÍA, SINO CUANDO TUVE
PAZ EN MEDIO DE LA TORMENTA”
Anónimo

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADOR
MATEMÁTICA

ESTADÍSTICA
I
UNIDAD
II
UNIDAD
III
UNIDAD
IV
UNIDAD
GENERALIDADES
 GENERALIDADES ESTADÍSTICAS.
 ORGANIZACIÓN/PRESENTACIÓN
DE DATOS.
 CARACTERIZACIÓN DE UNA DIS-
TRIBUCIÓN DE DATOS.
VARIAS
DEFINICIONES
 NOTACIÓN CIENTÍFICA.
 REDONDEO Y CIFRAS SIGNIFICA-
TIVAS.
 CONVERSIÓN DE UNIDADES.
 REGLA DE TRES.
• PROPOSICIONES.
• NOCIÓN DE CONJUNTOS, RELACIO-
NES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN
• OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS
REALES.
 SISTEMA DE ECUACIONES.
 CUADRÁTICAS Y BICUADRADAS
LÓGICA MATEMÁTICA
Y CONJUNTOS
LOS NÚMEROS
REALES

GENERALIDADES
¿POR QUÉ
ESTUDIAR
ESTADÍSTCA?.

GENERALIDADES
Es de utilidad inmediata y muy
práctica.- La Estadística, en el campo
de la educación ayuda al maestro a
evaluar al grupo, su rendimiento, su
conducta, asistencia. En la psicología a
los psicólogos, para interpretar los test.
En la administración, al administrador o
al contador para controlar, evaluar la
producción, las ventas, el rendimiento
del obrero, de la fábrica.

GENERALIDADES
Para realizar cualquier
investigación, en cualquier
actividad del quehacer humano.-
Es útil la Estadística para planificar,
recolectar y organizar los datos
numéricos obtenidos, clasificarlos,
analizarlos, comprobar una hipótesis
y comparar el fenómeno estudiado
con otros análogos.

GENERALIDADES
En la solución de problemas.-
Gracias a las medidas
estadísticas, el investigador, el
maestro, el estudiante, encuentra
posibles soluciones a los múltiples
problemas socio-económicos, al
permitir revelar información que a
simple vista no era posible.

GENERALIDADES
Es un auxiliar en todas las
actividades del quehacer humano.-
Todo profesional, para avanzar,
competir y servir, además de
preocuparse por su especialidad; tiene
que estar actualizado con los avances
de la ciencia, fundamentalmente
conociendo el significado de los
estudios estadísticos que acompañan a
toda información científica.

ORIGEN ETIMOLÓGICO
Estadística se deriva de
la voz latina STATUS,
que significa: estado o
situación de las cosas,
animales, personas,
vegetales.

ORIGEN ETIMOLÓGICO
Estadística tiene su
origen en la palabra
alemana STAAT, que
significa: Estado o
Nación.

ORIGEN ETIMOLÓGICO
Estadística, se deriva de la
voz latina STATERA, que
significa: balanza, equilibrio.
Estudia y mide la causa-
efecto de los fenómenos
sociales y naturales.

HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA
Los historiadores, nos hacen saber
que esta ciencia aparece por el año
2238 A.C., un Emperador de la China
llamado YAO ordenó realizar un
CENSO GENERAL de todo su imperio.
Luego la BIBLIA nos refiere que en
Egipto, en Roma y en sus Colonias de
Israel se realizaron CENSOS
POBLACIONALES regulares.

Los árabes, los españoles y los
Incas, ya tenían conocimiento
de la Estadística; los pueblos
Europeos en el siglo XV
empezaron a publicar la
situación de sus países y de
sus vecinos, en libros de
estadística.

Alemania en 1660, incorpora al
Pensum de asignaturas de las
Universidades una nueva materia
que se llamó Noticia de Rerum
Publicarum, que trataba sobre
datos de Geografía, Historia y
Política lógicamente vista desde un
punto de vista estadístico.

El Alemán GODOFREDO
ACHENWALL en el año de
1749, bautizó a esta ciencia
como ESTADÍSTICA, mientras
se desempeñaba como
profesor de la Universidad de
Gotinga.

Posteriormente se la utiliza en
otros países Europeos y en la
actualidad se ha universalizado
su uso en todos los países del
mundo. Algunas corrientes o
escuelas, aportaron e
impulsaron a la creación de la
Estadística.

En Alemania la Escuela Administrativa,
se preocupaba por la información de los
problemas del Estado; a esta corriente
perteneció Achenwall.
En Francia la Escuela Probabilística,
sostenía que la Estadística era una hija
de la probabilidad. Apareció cuando se
institucionalizó los juegos de azar,
dando como resultado el cálculo de
probabilidades.

El primer departamento de
Estadística Oficial, en Suecia, se
fundó en el año de 1756 y desde
entonces, todos los países, tienen
un departamento u oficina oficial
para sus estadísticas; en el
Ecuador, el Instituto de
Estadísticas y Censos INEC.

IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA
Como manifesté anteriormente, la Estadística
estaba relacionada como ciencia del Estado;
es decir, es la que ayudaba a los monarcas y
gobernantes a dirigir sus Estados. Poco a
poco esta ciencia, va difundiéndose y
aplicándose en otros campos del quehacer
humano; en los actuales momentos la
Estadística ayuda a las personas en todas
sus actividades, colabora con todas las
ciencias y no podemos hablar de una de
estas sin que intervenga la estadística.

En las fábricas, en las empresas
privadas, en las instituciones del
sector público, en el campo educativo,
artesanal, deportivo; es decir, en
todas las situaciones en las que esté
presente el hombre, se encuentra la
Estadística. La Estadística es una
Ciencia Universal y es allí en donde
radica su importancia.

LORD KELVIN (famoso físico inglés)
quien nos demuestra la importancia de
la Estadística para el hombre moderno
al manifestar que: “Cuando uno
puede medir y expresar
numéricamente lo que dice, conoce
algo sobre ello; pero mientras no
pueda uno medir ni expresar en
número su conocimiento es escaso y
poco satisfactorio”.

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA
A la Estadística lo definimos como
la disciplina encargada o dedicada
a estudiar las poblaciones; estas
poblaciones pueden estudiarse de
dos maneras: Describiendo su
comportamiento según las
condiciones o características de
interés, estadística descriptiva.

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA
Las poblaciones podemos
estudiarla también a partir de estas
condiciones ya establecidas, la
definición de varias hipótesis,
cuando se define hipótesis o
suposiciones en torno a esas
características de estudio se habla
de una estadística inferencial.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Consiste sobre todo en la
presentación de datos en forma de
tablas y gráficas. Esta comprende
cualquier actividad relacionada con
los datos y está diseñada para
resumir o describir los mismos sin
factores pertinentes adicionales; esto
es, sin intentar inferir nada que vaya
más allá de los datos, como tales.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL
Se deriva de muestras, de observaciones
hechas sólo acerca de una parte de un conjunto
numeroso de elementos y esto implica que su
análisis requiere de generalizaciones que van
más allá de los datos. Como consecuencia, la
característica más importante del reciente
crecimiento de la estadística ha sido
un cambio en el énfasis de los métodos que
describen a métodos que sirven para hacer
generalizaciones. La Estadística Inferencial
investiga o analiza una población partiendo de
una muestra tomada.

DATOS
Todos aquellos trozos,
pedazos, fracciones de
información que se
obtienen de todos y cada
uno de los individuos según
mi variable de interés.

POBLACIÓN
Los datos se derivan de la
población, es un grupo de
individuos de objetos que tiene
una característica en común, esa
característica es el objeto de
interés para esa población y la
reconocemos con el nombre de
variable.

VARIABLES
Condiciones que la población o la muestra
presentan, al hacer un estudio de una
determinada población, observamos una
característica o propiedad de sus
elementos o individuos. Por ejemplo, con
los alumnos y alumnas del curso,
podemos estudiar el lugar de residencia,
el número de hermanos, la estatura, etc.
Cada una de estas características
estudiadas se llama variable estadística.

VARIABLE CUALITATIVA
Cualidades, aspectos que son
visibles, perceptibles pero que no
necesariamente pueden medirse;
es decir, es aquella característica
que no podemos expresar con
números y hay que expresarla con
palabras. Por ejemplo, el lugar de
residencia.

VARIABLE CUANTITATIVA
Se relacionan con cantidades y
que pueden contarse o
medirse; es decir, es cualquier
característica que se puede
expresar con números. Por
ejemplo, el número de
hermanos o la estatura.

DISCRETA
Corresponden a cifras o
números enteros que no tienen
decimales; es decir, es aquella
variable que puede tomar
únicamente un número finito
de valores. Por ejemplo, el
número de hermanos.

CONTINUA
Representan cifras continuas,
o sea tiene cifras decimales;
es decir, es aquella variable
que puede tomar cualquier
valor dentro de un intervalo
real. Por ejemplo, la estatura.

RELACIÓN CON OTRAS ÁREAS
DEL CONOCIMIENTO
Es importante reiterar que inicialmente la
Estadística se circunscribía únicamente a
las funciones del gobierno; posteriormente
comienza a aplicarse en otras áreas,
especialmente en el cálculo de
probabilidades; siendo las ciencias físicas
las primeras y luego las ciencias naturales
y en la actualidad no existe una ciencia
que no se ayude de la estadística.

DEL CONOCIMIENTO
En el campo que nos compete, en el
de la educación, la estadística juega
un papel preponderante por cuanto
permite al maestro conocer la
situación de sus estudiantes en el
avance de sus conocimientos,
disciplina asistencia, coeficiente
intelectual de sus alumnos, entre otros
aspectos.

DEL CONOCIMIENTO
Ya manifesté también en la
contabilidad, permite al contador
conocer con certeza la evolución de
la contabilidad (ingresos y egresos)
a través del tiempo y puede inferir o
predecir sobre, cómo se comportará
en el futuro la situación económica
de la empresa.

DEL CONOCIMIENTO
Hoy el uso de la estadística se ha
extendido más allá de sus orígenes
como un servicio al Estado o al
gobierno. Personas y
organizaciones usan la estadística
para entender datos y tomar
decisiones en ciencias naturales y
sociales, medicina, negocios y otras.

DEL CONOCIMIENTO
Cada vez es mayor la proporción
de investigadores, en las más
diversas disciplinas científicas, que
realizan análisis estadísticos de
datos como procedimiento formal
para llegar a conclusiones o
apoyar procesos de decisión sobre
las hipótesis de la investigación.

ORGANIZACIÓN Y
PRESENTACIÓN DE DATOS
Una vez que se haya delimitado
el objetivo en una investigación
estadística, se inicia el trabajo
de campo que consiste en la
recopilación o recolección de
datos.

ORGANIZACIÓN Y
Para recopilar o recolectar los
datos, existen algunas formas o
técnicas, entre las que
podemos citar las siguientes:
encuestas, cuestionarios, test,
entrevistas, formularios,
observación directa o indirecta.

ORGANIZACIÓN Y
La recolección debe ser realizada
con la mayor veracidad, seriedad y
exactitud posible. De este paso
depende el éxito o el fracaso de la
investigación. Si no hubo prolijidad
en la recolección de los datos, los
mismos serán falsos, erróneos o
inexactos.

ORDENACIÓN Y
CLASIFICACIÓN DE DATOS
Los datos sin ordenarlos carecen de
valor estadístico, los datos son
ordenados en conjunto,
colectivamente y con un orden lógico,
caso contrario, mantendrán su valor
individual, pero no servirán
estadísticamente. Es por ello que, es
importante ordenar los datos o
clasificarlos.

CUANTITATIVA
Se clasifican, todos aquellos
datos susceptibles de medición;
es decir, que se pueden medir.
Por ejemplo: la estatura, la
edad, el peso, la producción de
la empresa, las ventas del día,
entre otros.

CUALITATIVA
Se clasifican, todos aquellos
datos no susceptibles de
medición. Por ejemplo: el
amor, la bondad, la honradez,
el sexo, el estado civil, entre
otros; no hay medidas de más
o menos.

CRONOLÓGICA
Se clasifican los datos tomando
en cuenta el tiempo en que
fueron recolectados o sucedió
el hecho. Por ejemplo: por
siglos, lustros, años, meses,
semanas, trimestres, días,
horas, minutos, segundos.

GEOGRÁFICA
Según el lugar en que fueron
recolectados o sucedió el
hecho. Por ejemplo: por
caseríos, recintos, ciudades,
barrios, parroquias,
cantones, regiones,
provincias, países.

PRESENTACIÓN DE
DATOS
Una vez clasificados los datos
recolectados, estos son
presentados: en forma de texto (a
renglón seguido, leyendo) y en
forma de tabulación (en columnas,
en casillas, formando una tabla
estadística).

PRESENTACIÓN DE
DATOS
Otra forma y la más utilizada
de presentar los datos es en
forma gráfica, utiliza figuras
geométricas. No necesita la
presencia del investigador
para explicar.

ELEMENTOS BÁSICOS DE
LA ESTADÍSTICA
Unidad Estadística. Dato
Estadístico. Sumatoria Σ.
Atributo. Variable. Población.
Muestra. Frecuencia f:
(Frecuencia Absoluta ni,
Frecuencia Relativa hi y
Frecuencia Acumulada Ni - Hi).

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA
ESTADÍSTICA
UNIDAD ESTADÍSTICA.-Se
denomina a cada una de las
características de un
fenómeno.
DATO ESTADÍSTICO.- Se
refiere a dos o más unidades
estadísticas.

ESTADÍSTICA
SUMATORIA.- Σ y su nombre
es sigma; sumatoria es la suma
o resultado total de algunos
subtotales; es la totalidad de los
valores de una casilla o
columna de cantidades.

ESTADÍSTICA
ATRIBUTO.- Es una cualidad
no susceptible de medición.
VARIABLE.- Esa
característica es el objeto de
interés para esa población y la
reconocemos con el nombre de
variable.

ESTADÍSTICA
POBLACIÓN.- Es un grupo
de individuos de objetos que
tiene una característica en
común, esa característica es el
objeto de interés para esa
población y la reconocemos
con el nombre de variable.

ESTADÍSTICA
MUESTRA.- Es una parte
representativa del todo, de la
población. Cuando los componentes
de la población son números o muy
extensos, haciéndose muy difícil o
muy costosos investigarlos a todos, es
necesario tomar una muestra. Los
resultados obtenidos se harán
extensibles a toda la población.

ESTADÍSTICA
FRECUENCIA.- Se
representa con la letra f
(minúscula imprenta). No
es sino la intensidad con
que se manifiesta una sola
característica del fenómeno.

ESTADÍSTICA
Ejemplo: 5 - 8 - 9 - 6 - 8
6 - 9 - 8 - 9 - 7
Ordenado:
5 se repite una vez f = 1
6 se repite dos veces f = 2
7 se repite una vez f = 1
8 se repite tres veces f = 3
9 se repite tres veces f = 3
TOTAL 10

CLASES DE FRECUENCIAS
Existen tres calases de
frecuencias:
Frecuencia Absoluta.
Frecuencia Relativa.
Frecuencia Acumulada.

FRECUENCIA ABSOLUTA.-Representa
el número de veces que se presenta un
determinado valor de la variable o atributo.
FRECUENCIA RELATIVA.- Cuando el
número de veces que presenta un
determinado valor de la variable o
característica, se lo multiplica por cien y se
lo divide para el número total de
frecuencias, se lo conoce como
porcentaje.

PORCENTAJE
hi =
𝑛𝑖
𝑛
𝑥 100
hi =
𝑛𝑖 𝑥 100
𝑛

FRECUENCIA ACUMULADA.-
No es más que la suma de las
frecuencias en orden ascendente.
Frecuencia Absoluta ni.
Frecuencia Absoluta Acumulada Ni.
Frecuencia Relativa hi.
Frecuencia Relativa Acumulada Hi.

DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
Para que exista una Tabla de
Distribución de Frecuencias
debe formarse tres columnas o
casillas.
Primera = Categoría.
Segunda = Tabulación.
Tercera = Frecuencia.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
Para que exista una
Tabla de Distribución
de Frecuencias,
debe formarse tres
casillas.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN
DE FRECUENCIAS
PRIMERA CASILLA.-
Corresponde a la
categoría o característica
del fenómeno. Lo que
represente la frecuencia.

FRECUENCIAS
SEGUNDA CASILLA.- Es
la tabulación. Los datos u
observaciones deben ser
tabulados, según las veces
que se repita una
característica, mediante la
utilización de tarjas.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN
DE FRECUENCIAS
TERCERA CASILLA.- Es
la de la frecuencia; es decir,
se suman las tarjas y se
coloca el número que
corresponda a cada
característica.

FRECUENCIAS
Xi Tabular ni hi
3 III 3 15.79
4 IIII 5 26.32
5 IIII 4 21.05
6 IIII I 6 31.58
7 I 1 5.26
TOTAL n = 19 100

INTERVALOS
Cuando la distancia entre el
puntaje menor y el mayor
es superior a 15 números,
se hace necesario
agruparlos en grupos o
intervalos de clase.

INTERVALOS
Los intervalos deben ser
formados o constituidos por un
número impar de datos,
puntajes o unidades, para
facilitar su manejo y las
operaciones futuras en la
obtención de medidas
estadísticas.

INTERVALOS
Ejemplo: 3 – 5 intervalo
formado por los puntajes
o unidades 3-4-5.
18 – 22 intervalo formado
por los puntajes o
unidades18-19-20-21-22.

CLASES DE INTERVALOS
Intervalos abiertos e Intervalos
cerrados.
Abiertos.- Se utilizan cuando
existe una distancia muy grande
entre la unidad que hace de Li
del intervalo y la de Ls. 37 o
más. 60 años o más.

AMPLITUD O ANCHO DEL
INTERVALO
Se lo representa con la letra i
minúscula imprenta (c). Deben
contener un numero impar de
unidades, el ideal es el de 3 y no
mayor de 5.- se pierde
información. Pueden ser de 3, 5,
7, 9, 11, ……………., 25.

INTERVALO
3 – 5 está formado por:
3 – 4 – 5 i = 3.
6 – 7 – 8 – 9 – 10 i = 5.
2–3–4–5–6–7–8 i = 7.

INTERVALO
Ejemplo: 31 – 35 – 39 – 28 – 29
i = 3 27 – 36 – 40 – 27 – 25
30 – 21 – 27 – 38 – 41
29 – 33 – 28 – 24 – 27
24 – 27 – 35 – 29 – 35
33 – 26 – 28 – 34 – 27
28 – 29 – 22 – 32 – 40
27 – 38 34 – 26 – 31 – 26 – 41

CÁLCULO DEL ANCHO DEL
INTERVALO
1) Determinar el valor
máximo y el mínimo.
2) Hallar la amplitud o
recorrido de la
distribución. A = XM - Xm
A = 41 – 21 A = 20

CÁLCULO DEL ANCHO DEL
INTERVALO
3) Escoger el numero de
intervalos. Ejemplo: 8.
4) Calcular el ancho del intervalo.
i =
𝐀
𝐧𝐢
i =
𝟐𝟎
𝟖
i = 2,50
5) Considerando la
recomendación: los intervalos: la
amplitud impar 2,50
aproximamos a 3.

CÁLCULO DEL NÚMERO DE
INTERVALOS
1) Determinar el valor
mínimo y el máximo.
2) Hallar la amplitud o
recorrido entre los dos
valores. A = XM - Xm
A = 41 – 21 A = 20

CÁLCULO DEL NÚMERO DE
INTERVALOS
3) Calcular el ancho del intervalo.
i =
𝐀
𝐧𝐢
i =
𝟐𝟎
𝟖
i = 2,50 i = 3
4) Obtenido el ancho del intervalo,
proceder a determinar el numero
de intervalos (ni). ni =
𝐀
𝐢
ni =
𝟐𝟎
𝟑
ni = 𝟔. 𝟔𝟔
ni = 𝟕

LÍMITES DEL INTERVALO
Cada grupo o intervalo de
clase, tiene un límite inferior
y otro superior.
6 – 8 el límite inferior es 6 y
el superior es 8. Estos no
son los verdaderos límites.

LÍMITES DEL INTERVALO
El valor 6 significa cualquier
punto desde 5.5 hasta 6.5. El
valor 8 se extiende desde el 7.5
hasta el 8.5. En consecuencia
el intervalo 6 – 8 se extiende
desde 5.5 hasta 8.5. Límites
exactos del intervalo de clase.

LÍMITE INFERIOR
DEL INTERVALO
Se lo representa con Li. L
mayúscula sub i minúscula
imprenta. El límite inferior es
el punto exacto donde
comienza el intervalo y
termina el anterior.

LÍMITE SUPERIOR
DEL INTERVALO
Se lo representa con Ls. L
mayúscula sub s minúscula
imprenta. El límite superior
es el punto exacto donde
termina el intervalo y
comienza el siguiente.

EJEMPLO:
Li Intervalo Ls
2.5 3 – 5 5.5
5.5 6 – 8 8.5
8.5 9 – 11 11.5
11.5 12 – 14 14.5

PUNTOS MEDIOS O MARCAS
DE CLASE
Se lo representa con Xm. X
mayúscula sub m minúscula
imprenta. Es el punto medio
del intervalo.
Xm =
Ls + Li
𝟐

SIMBOLOGÍA
A Amplitud o recorrido
de la distribución.
XM Valor máximo.
Xm Valor mínimo.
i Ancho del intervalo.
ni Número de intervalos.
Xm Punto medio.
Li Límite inferior.
Ls Límite superior.

FÓRMULAS
A = XM – Xm
i =
𝐀
𝐧𝐢
ni =
𝐀
𝐢
Xm =
Ls + Li
𝟐

MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL O ESTAD. POSICIÓN
PERMITE CONFIRMAR HACIA
DONDE SE CONCENTRAN
LOS DATOS NUMÉRICOS,
GRACIAS A UNA MEDIDA
ESTADÍSTICA QUE LO
LLAMAREMOS VALOR
PROMEDIO.

VALOR PROMEDIO DE
UN GRUPO DE DATOS,
ES UN VALOR QUE
REPRESENTA A
TODOS.

ESTA MEDIA ESTADÍSTICA
PROMEDIAL, AYUDA AL
INVESTIGADOR, ESTABLECER
FÁCILMENTE
COMPARACIONES CON
FENÓMENOS ANÁLOGOS, DOS
O MÁS GRUPOS DE VARIABLES
NUMÉRICAS.

LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS
PROMEDIALES SON:
MEDIA ARITMÉTICA.
MEDIANA.
MODA O MODO.
MEDIA ARITMETICA PONDERADA.
MEDIA GEOMÉTRICA,
MEDIA ARMÓNICA.

MEDIA ARITMÉTICA
ES UNA MEDIDA ESTADÍSITICA
O ESTADÍGRAFO DE
POSICIÓN, QUE NOS SEÑALA
EL CENTRO O PUNTO MEDIO,
HACIA DONDE CONVERGEN
LOS PUNTAJES O DATOS DE
UNA SERIE.

MEDIA ARITMÉTICA
SIGNIFICA QUE, EL 50% DE
DATOS SE ENCUENTRAN
UBICADOS HACIA ARRIBA
DE LA MEDIA ARITMÉTICA Y
EL OTRO 50% POR DEBAJO
DE LA MEDIA ARITMÉTICA.

MEDIA ARITMÉTICA
ES LA MEDIDA ESTADÍSTICA
DE USO MÁS COMÚN. SE
OBTIENE SUMANDO TODOS
LOS VALORES Y DIVIDIENDO
ESE TOTAL PARA EL NÚMERO
TOTAL DE CASOS O
ELEMENTOS CONSTITUTIVOS
DE LA SERIE.

MEDIA ARITMÉTICA
EL SÍMBOLO CON EL
CUAL SE REPRESENTA
A LA MEDIA
ARITMÉTICA ES:
Ẋ = MEDIA
ARITMÉTICA.

CÁLCULO DE LA MEDIA
ARITMÉTICA
ARITMÉTICA CON DATOS NO
AGRUPADOS EN FRECUENCIA,
SE DA CUANDO EL NÚMERO
TOTAL DE CASOS ES MUY
PEQUEÑO; NO SE RECOMIENDA
AGRUPARLOS NI EN
FRECUENCIAS, MUCHO MENOS
EN INTERVALOS.

CÁLCULO DE LA
MEDIA ARITMÉTICA
Ẋ =
ΣX
𝐍DE DONDE:
Ẋ = MEDIA ARITMÉTICA.
X = PUNTAJES O DATOS.
Σ = SUMATORIA
N = NÚMERO TOTAL DE CASOS.

ARITMÉTICA
7 8 6 7 5
8 9 4 8 6
1. SE ENCIERRA EN UN CÍRCULO
EL DATO MAYOR Y MENOR.
2. SE ORDENA LOS DATOS.
3. SE CONFECCIONA LA TABLA
ESTADÍSTICA, COLUMNA X.
4. SE APLICA LA FÓRMULA.

ARITMÉTICA
20 26 23 22 25
24 25 26 23
12 18 14 16 13
19 15 17 13 15
13 15

ARITMÉTICA
ARITMÉTICA CON DATOS
AGRUPADOS EN FRECUENCIA,
ES CUANDO LA DISTANCIA ENTRE
EL DATO MENOR Y EL MAYOR NO
ES SUPERIOR A 15; PODEMOS
OBTENER LA MEDIA ARITMÉTICA
AGRUPANDO LOS PUNTAJES O
DATOS EN FRECUENCIA.

CÁLCULO DE LA
MEDIA ARITMÉTICA
Ẋ =
Σ Xi . ni
𝐍DE DONDE:
Ẋ = MEDIA ARITMÉTICA.
ni = FRECUENCIA.
X = PUNTAJES O DATOS.
Σ = SUMATORIA
N = NÚMERO TOTAL CASOS.

ARITMÉTICA
10 11 15 17 18
13 15 19 13 17
11 17 9 10 19
18 12 11 14 17

ARITMÉTICA
1. SE LOCALIZA EL DATO MAYOR Y
EL MENOR.
2. SE CONFECCIONA LA TABLA DE
DISTRIB. DE FRECUENCIAS.
4. SE TABULAN LO DATOS.
5. SE CUENTAN LAS TARJAS.
6. SE MULTIPLICA CADA PUNTADJE
CON SU FRECUENCIA

ARITMÉTICA
34 39 36 35 38
40 35 36 33 32
33 35 32 37 35
41 43 37 35 31
39 33 32
88 95 99 90 94
95 89 90 97 91
93 92 97 96 99
95 93 92 88 90
94 96 98 92 97
95 99 93 94 97
AGRUPADOS EN FRECUENCIA.

ARITMÉTICA
AGRUPADOS EN
INTERVALOS, PARA
ENCONTRAR LA MEDIA
ARTIMÉTICA POR EL
MÉTODO LARGO:
DETERMINAR LOS
INTERVALOS Y FORMARLOS.

ARITMÉTICA
SIEMPRE QUE EL RECORRIDO DE
LA AMPLITUD ENTRE EL PUNTAJE
MENOR Y EL MAYOR SEA
SUPERIOR A 15, SE RECOMIENDA
AGRUPAR LOS DATOS EN
INTERVALOS.
Ẋ =
Σ ni . Xm
𝐍

ARITMÉTICA
31 33 39 28 29
27 36 40 27 25
30 21 27 38 41
29 33 28 24 27
30 37 35 29 35
31 26 28 34 27
32 29 22 32 40
33 26 31 26 41
27 38

ARITMÉTICA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS:
Xi – TABULACIÓN – ni – hi – Ni – Hi
– Xm – ni.Xm
EL MENOR.
3. SE VERIFICA EL RECORRIDO DE LA
AMPLITUD.
4. SE CONFECCIONAN LOS
INTERVALOS. i = 3.

ARITMÉTICA
7. COMO SE TRABAJA CON
INTERVALOS, OBTENEMOS EL
PUNTO MEDIO.
8. SE MULTIPLICA ni.Xm SUMAMOS
ESTOS RESULTADOS.
10. SE BUSCA EL INTERVALO QUE
CONTENGA A LA Ẋ

ARITMÉTICA
40 43 48 43 46
46 44 46 42 44
46 45 41 48 41
49 48 37 45 46
40 46 52 57 47
54 48 40 45 46
45 51 44 47 49
55 53 36 54 52
55 40 43 i = 3 y 5

LA MEDIANA
ES UNA MEDIDA
ESTADÍSITICA DE TENDENCIA
CENTRAL O ESTADÍGRAFO
DE POSICIÓN; ES EL VALOR
QUE SE ENCUENTRA EN EL
CENTRO DE LA SERIE
NUMÉRICA.

LA MEDIANA
SIGNIFICA EL PUNTO
CENTRAL SOBRE EL QUE
SE ENCUENTRA EL 50%
DE DATOS O PUNTAJES Y
BAJO EL MISMO EL OTRO
50%.

LA MEDIANA
EL SÍMBOLO CON EL
CUAL SE
REPRESENTA A LA
MEDIANA ES:
Md = MEDIANA.

CÁLCULO DE LA MEDIANA
CÁLCULO DE LA MEDIANA CON
DATOS NO AGRUPADOS EN
FRECUENCIA, SE EMPLEA ESTE
MÉTODO CUANDO LOS PUNTAJES
O DATOS NO SON EN TOTAL MÁS
DE 15; NO SE RECOMIENDA
AGRUPARLOS NI EN
FRECUENCIAS, MUCHO MENOS
EN INTERVALOS.

CÁLCULO DE LA
MEDIANA
Md =
N
𝟐DE DONDE:
Md = MEDIANA.
Xi = PUNTAJES O DATOS.
Σ = SUMATORIA
N = NÚMERO TOTAL DE CASOS.

4 6 8 5 7
8 6 8 7 9
1. SE LOCALIZA EL DATO MAYOR Y EL
MENOR.
2. LA N, REPRESENTA AL NÚMERO
TOTAL DE CASOS, EN NUESTRO
EJEMPLO 10.
3. SE DIVIDE 10/2 = 5 MEDIANA IGUAL A
5 (Md = 5).
4. LA MEDIANA SE UBICA EN EL
PUNTAJE O DATO 7.

DATOS AGRUPADOS EN
FRECUENCIA, ES CUANDO LA
DISTANCIA ENTRE EL PUNTAJE
MENOR Y EL MAYOR NO ES
SUPERIOR A 15; PODEMOS
OBTENER LA MEDIANA
AGRUPANDO LOS PUNTAJES O
DATOS EN FRECUENCIA.

Md = Li +
𝐍+𝟏
𝟐
− Ni−1
𝐧𝐢
Md = MEDIANA.
Ni = FRECUENCIA ACUMULADA
Li = LÍMITE INFERIOR
Σ = SUMATORIA

10 11 15 17 18
13 15 19 13 17
11 17 9 10 19
18 12 11 14 17

EL MENOR.
DISTRIB. DE FRECUENCIAS.
6. SE ENCUENTRA LA MEDIANA
APROXIMADA
𝐍+𝟏
𝟐

7. LA MEDIANA APROXIMADA SE
LA LOCALIZA EN LA
FRECUENCIA ACUMULADA
Ni = 12.
9. UBICAMOS LA MEDIANA EN EL
PUNTAJE, DATO O VALOR QUE
LE CORRESPONDE, EN
NUESTRO EJEMPLO EL Xi = 15.

60 66 69 61 63
65 67 66 69 72
70 60 65 69 62
71 61 67 68 65
66
2 4 9 7 9
4 1 8 7 9
8 8 1 4 7
7 7 9 5 7
9 6 8 5 6
8 8 8 7 7
DATOS AGRUPADOS EN
FRECUENCIA.

CON DATOS AGRUPADOS
EN INTERVALOS, PARA
ENCONTRAR LA MEDIANA
POR EL MÉTODO LARGO: LO
PRIMERO QUE HAREMOS
ES DETERMINAR LOS
INTERVALOS Y FORMARLOS

Md = Li +i
𝐍+𝟏
𝟐
− Ni−1
𝐧𝐢Md = MEDIANA.
Ni = FRECUENCIA ACUMULADA
i = ANCHO DEL INTERVALO
ni = FRECUENCIA ABSOLUTA DE LA
MEDIANA APROXIMADA.

41 26 31 26 34 39
40 32 22 29 28 27
27 34 28 26 33 28
29 35 35 27 24 38
28 24 27 33 29 29
30 21 27 38 41 33
25 40 27 36 27 31

60 63 68 63 66 75 74 63
66 64 66 62 64 73 68 65
66 65 61 68 61 56 60 71
69 68 57 65 66 74 65 64
60 66 72 77 67 72 66 67
69 60 75 CALCULE LA
MEDIANA CON DATOS AGRUPADOS
EN INTERVALOS. i = 3 y 5.

LA MODA
ES UNA MEDIDA
ESTADÍSITICA DE TENDENCIA
CENTRAL O ESTADÍGRAFO
DE POSICIÓN; ES EL VALOR O
PUNTAJE QUE MÁS SE
REPITE DE LA SERIE; ES LA
FRECUENCIA MÁS ALTA.

LA MODA
EN UNA SERIE PODEMOS
ENCONTRAR UNA, DOS O
MÁS MODAS:
UNIMODAL O MODA.
BIMODAL.
MULTIMODAL.

CÁLCULO DE LA MODA
CÁLCULO DE LA MODA CON
DATOS NO AGRUPADOS EN
FRECUENCIA.
1 2 3 4 44 46 48 48 48
5 6 6 6 59 50 50 51 52
7 8 9 10 52 52 53 54 54
Mo = 6. Mo = 48. Mo = 52.

CÁLCULO DE LA MODA
DATOS AGRUPADOS EN
FRECUENCIA.
17 16 13 14 15
16 17 13 14 12
11 19 20 15 14
15 13 15 19 18
Mo = 15.

CÁLCULO DE LA MODA
DATOS AGRUPADOS EN
INTERVALOS; LO PRIMERO
QUE HAREMOS ES
DETERMINAR LOS
INTERVALOS Y
FORMARLOS.

CÁLCULO DE LA MODA
Mo = Li +i
d1
𝐝𝟏+𝐝𝟐Mo = MODA.
i = ANCHO DEL INTERVALO
d1 = DIFERENCIA ENTRE LA FRECUENCIA
MAYOR Y LA FRECUENCIA DEL
INTERVALO INMEDIATO INFERIOR.
d2 = DIFERENCIA ENTRE LA FRECUENCIA
MAYOR Y LA FRECUENCIA DEL
INTERVALO INMEDIATO SUPERIOR.

CÁLCULO DE LA MODA
41 26 31 26 34 39 30 36
40 32 22 29 28 27 21 27
27 34 28 26 33 28 27 25
29 35 35 27 24 38 38 40
28 24 27 33 29 29 41 27
33 31 CALCULE LA MODA
CON DATOS AGRUPADOS EN
INTERVALOS. i = 3 y 5.

La Lógica nos permite
determinar cuándo
un razonamiento es
correcto o incorrecto y si se
aplica a la Matemática se
denomina Lógica Matemática.
LÓGICA MATEMÁTICA

PROPOSICIONES
Llamaremos de esta
forma a cualquier
afirmación que sea
verdadera o falsa, pero no
ambas cosas a la vez.

VALOR DE VERDAD
DE UNA PROPOSICIÓN
Llamaremos valor verdadero o
de verdad de una proposición a
su veracidad o falsedad. El
valor de verdad de una
proposición verdadera es
verdad y el de una proposición
falsa es falso.

PROPOSICIONES SIMPLES
Son enunciados que
pueden ser calificados
verdaderos o falsos.
Las representamos con
letras minúsculas.

PROPOSICIONES
COMPUESTAS
Las proposiciones simples
pueden relacionarse con
otras mediante las
operaciones lógicas para
formar proposiciones
compuestas.

OPERACIONES CON
PROPOSICIONES
• Conjunción
• Disyunción
• Bidisyunción
• Negación
• Condicional
• Bicondicional
• Conjunción Negativa

CONJUNCIÓN
La conjunción de dos
proposiciones p y q se
representa con (), y es
verdadera solo cuando las
dos proposiciones son
verdaderas.

TABLA DE VALORES DE VERDAD
CONJUNCIÓN
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F F

DISYUNCIÓN
La disyunción es
falsa solo cuando las
dos proposiciones son
falsas. Se simboliza
con la ().

DISYUNCIÓN
p q p  q
V V V
V F V
F V V
F F F

NEGACIÓN
Dada una proposición
p la negación de p es
la proposición que se
obtiene al cambiar el
valor de verdad de p.

NEGACIÓN
p  p
V F
V F
F V
F V

CONDICIONAL
Dadas las proposiciones p y
q en ese orden, se define el
condicional (p  q) es falsa
cuando el valor de la primera
proposición es verdadero y el
valor de la segunda es falso.

CONDICIONAL
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V

BICONDICIONAL
El bicondicional de dos
proposiciones p y q se
representa p  q y es
verdadero cuando tienen
el mismo valor de
verdad.

BICONDICIONAL
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F V

CONDICIONES DE LAS
PROPOSCIONES
p q p pq pq pq pq
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V

TIPOS DE PROPOSICIONES
COMPUESTAS
1. Tautologías
2. Contradicciones
3. Indeterminaciones
o contingencias

TAUTOLOGÍAS
Se llaman también leyes
lógicas y se consideran como
tales si son siempre
verdaderas
independientemente del valor
de verdad de las proposiciones
simples que las componen.

Ejemplo: P: (p  q)  (pq)
(p  q)  ( p  q)
V V V V F V V V
V F F V F V F F
F V V V V F V V
F V F V V F V F
1 2 1 4 2 1 3 1

CONTRADICCIONES
Son proposiciones
cuyo valor de
verdad es siempre
falso.

Ejemplo: Q: ( p  p).
 ( p  p)
F F V V V
F V F V F
4 2 1 3 1

CONTINGENCIAS
Son proposiciones
compuestas que
no son tautologías
ni contradicciones.

Ejemplo: P: (p  q)  (q  p)
p q pq qp (pq)  (qp)
V V V V V V V
V F F V F F V
F V V F V F F
F F V V V V V

ESTABLECER: TAUTOLOGÍAS,
CONTRADICCIONES O
CONTINGENCIAS
a) (p  q)  (q  p).
b) [p(qr)][(pq)
(pr)].
c) (p~q)q.

CONTRADICCIONES O
CONTINGENCIAS
a) p  (p  q).
b) ~[(p  q)  p].
c) [(pq)p](pq).
d) [(pq)(rs)][(p
r)(qs)].

CONTRADICCIONES O
CONTINGENCIAS
a) ~(~ p  q)  q.
b) (p  q)  q.
c) (p  q)  (~ p  q).
d) [(pq)  q]  q.
e) (p  q)  q.

CONTRADICCIONES O
CONTINGENCIAS
a) (p  q)  (~ p  q).
b) ~[(p  q)  p  q].

NOCIÓN DE CONJUNTOS
CONJUNTO.- ES LA
COLECCIÓN, REUNIÓN
DE OBJETOS LLAMADOS
ELEMENTOS.
NOTACIÓN.- LOS
REPRESENTAMOS CON
LETRAS MAYÚSCULAS.

NOCIÓN DE CONJUNTOS
ELEMENTOS.- CADA UNO DE
LOS OBJETOS QUE
CONSTITUYEN UN
CONJUNTO, REPRESENTAN
CON LETRAS MINÚSCULAS,
NÚMEROS O SÍMBOLOS
QUE PODEMOS
IDENTIFICAR.

NOCIÓN DE
CONJUNTOS
ELEMENTOS.- LOS
ELEMENTOS SE
ENCIERRAN ENTRE
LLAVES Y SE SEPARAN
CON COMAS.

RELACIÓN DE
PERTENENCIA
PERTENECE
NO PERTENECE
A= A= {a,b,c,5}
a, b,
c, 5

TIPOS DE
CONJUNTOS
UNIVERSO.- CONJUNTO
QUE POSEE TODOS LOS
ELEMENTOS. SU DIAGRAMA
ES UN RECTÁNGULO Y SE
REPRESENTA CON LA
LETRA “U”.

TIPOS DE CONJUNTOS
CONJUNTO UNIVERSO
U=

TIPOS DE
CONJUNTOS
VACÍO.- CONJUNTO QUE NO
POSEE NINGÚN ELEMENTO
Y SE REPRESENTA:
{ } = ø
DIAGRAMA LLAVE FI

A PARTIR DE
PROPIEDADES
/N
P = {2,4,6,8,10, ….. }
P = {X є / N / X SEA PAR}
CONJUNTO PROPIEDAD

DISTINCIÓN DE
CONJUNTOS
FINITO.- ES EL CONJUNTO
AL CUAL LE PODEMOS
DETERMINAR EL NÚMERO
EXACTO DE SUS
ELEMENTOS.

DISTINCIÓN DE
CONJUNTOS
A = B = { }
C = {ABECEDARIO}
1 2 3 4
a,b,c,d

DISTINCIÓN DE
CONJUNTOS
INFINITO.- ES EL CONJUNTO
AL CUAL NO LE PODEMOS
DETERMINAR EL NÚMERO
EXACTO DE SUS
ELEMENTOS; ES UN
CONJUNTO QUE NO ES
FINITO.

DISTINCIÓN DE
CONJUNTOS
/N=
B = {ÁRBOLES DE UN BOSQUE}
C = {X є / N / X SEA PAR}

DESCRIPCIÓN DE
CONJUNTOS
LOS CONJUNTOS LO
PODEMOS DESCRIBIR
DE DOS FORMAS: POR
EXTENSIÓN O POR
COMPRENSIÓN.

DESCRIPCIÓN DE
CONJUNTOS
A = {a, e, i, o, u}
CUADO LOS ELEMENTOS LO
HEMOS NOMBRADO UNO
POR UNO, PODREMOS
DECIR QUE ESTE CONJUNTO
ESTA EXPRESADO POR
EXTENSIÓN.

DESCRIPCIÓN DE
CONJUNTOS
A = {X/X ES VOCAL}
TIENE COMO ELEMENTOS LAS
MISMAS VOCALES, PERO NO LO
NOMBRAMOS LOS ELEMENTOS
PODREMOS DECIR QUE ESTE
CONJUNTO ESTA EXPRESADO
POR COMPRENSIÓN.

DESCRIPCIÓN DE
CONJUNTOS
ES DECIR POR LA
CARACTERÍSTICA DE SUS
ELEMENTOS.
UNA FORMA ES DEFINIR
ELEMENTO A ELEMENTO,
DESCRIBIRLO CADA UNO; O
DECIRLO LA CARACTERÍSTICA DE
ESOS ELEMENTOS.

DESCRIPCIÓN DE
CONJUNTOS
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
EXTENSIÓN.
B = {X/X ES PAR, 2 ≤ X ≤ 14}
COMPRENSIÓN.

NOTACIONES DEFINICIONES
Є = PERTENECE
Є = NO PERTENECE
U = CONJUNTO UNIVERSO
/N = U CONJUNTO DE TRABAJO
A = PARES
B = IMPARES
C = PRIMOS
{ } = CONJUNTO VACÍO ø
/

NOTACIONES
DEFINICIONES
= SUBCONJUNTO.-
ES CUANDO UN CONJUNTO
ESTA CONTENIDO DENTRO
DE OTRO CONJUNTO, ES
DECIR, ESTA INCLUIDO EN
OTRO.

NOTACIONES
DEFINICIONES
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
PODEMOS OBSERVAR QUE
EL CONJUNTO B ESTA
INCLUIDO DENTRO DE A O
ES UN SUBCONJUNTO DE A

NOTACIONES
DEFINICIONES
A
B A
1, 3,
5 B
7 9

NOTACIONES
DEFINICIONES
A = B IGUALDAD
CUANDO TIENEN LOS
MISMOS ELEMENTOS. AUN
QUE ESTEN EN OTRO
ORDEN, SON LOS MISMOS
ELEMENTOS, EL MISMO
NÚMERO DE ELEMENTOS.

NOTACIONES
DEFINICIONES
AC A COMPLEMENTO.
INDICARÁ TODOS LOS
ELEMENTOS QUE NO
ESTAN INCLUIDOS DENTRO
DE A PERO QUE SI SON
PARTE DEL UNIVERSO

NOTACIONES
DEFINICIONES
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {2, 4, 6, 8, 10}
AC = {1, 3, 5, 7, 9}

NOTACIONES
DEFINICIONES
COMO HABIAMOS DICHO QUE
UN CONJUNTO PUEDE SER
SUBCONJUNTO DE OTRO.
ENTONCES LA PREGUNTA ES SI
TENGO UN CONJUNTO A
CUANTOS SUBCONJUNTOS
ESTAN CONTENIDOS DENTRO
DE ESTE.

NOTACIONES
DEFINICIONES
EJEMPLO: A = {1, 2, 3}
CUALES SON TODOS LOS
SUBCONJUNTOS QUE YO
PUEDO FORMAR
LOS ELEMENTOS SON 3 (1, 2,
3); PERO LOS SUBCONJUNTOS
SON MUCHOS MÁS.

NOTACIONES
DEFINICIONES
{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},
{1,2,3}, ø
TODOS LOS CONJUNTOS
TIENEN DENTRO COMO
SUBCONJUNTO EL
CONJUNTO VACIO Y EL
MISMO CONJUNTO.

NOTACIONES
DEFINICIONES
COMO SABEMOS CUANTOS
SUBCONJUNTOS TIENE UN
CONJUNTO, DEPENDERÁ
DEL NÚMERO DE
ELEMENTOS. SI A = 3
ELEMENTOS; 23 = 8
SUBCONJUNTOS.

NOTACIONES
DEFINICIONES
SI A = 4 ELEMENTOS; 24 = 16
SUBCONJUNTOS, INCLUIDO
EL CONJUNTO VACÍO Y EL
MISMO CONJUNTO Y LOS
OTROS SUBCONJUNTOS
SON LAS CONVINACIONES.

NOTACIONES
DEFINICIONES
RESUMIENDO.- SI UN
CONJUNTO TIENE N
ELEMENTOS ENTONCES 2n
SUBCONJUNTOS, DENTRO DE
ESTOS ESTA INCLUIDO EL
CONJUNTO VACÍO Y EL MISMO
CONJUNTO O EL CONJUNTO DE
INICIO.

NOTACIONES
DEFINICIONES
EJEMPLO: A = {1, 2, 3, 4}
A = 24 = 16 CONVINACIONES
O SUBCONJUNTOS
{1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4},
{2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4},
{1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}, ø

NOTACIONES
DEFINICIONES
EJEMPLO: A = {a, e, i, o, u}
A = 25 = 32 CONVINACIONES O
SUBCONJUNTOS
{a}, {e}, {i}, {o}, {u},
{a,e}, {a,i}, {a,o}, {a,u}, {e,i}, {e,o}, {e,u}, {i,o},
{i,u}, {o,u},
{a,e,i}, {a,e,o}, {a,e,u}, {a,i,o}, {a,i,u}, {a,o,u},
{e,i,o}, {e,i,u}, {e,o,u}, {i,o,u},
{a,e,i,o}, {a,e,i,u}, {a,e,o,u}, {a,i,o,u}, {e,i,o,u},
{a,e,i,o,u}, ø

NOTACIONES
DEFINICIONES
SI REPASAMOS ESTA
NOMENCLATURA O
SIMBOLOGÍA, VAMOS A
PODER TENER MAS CLARO
Y FUNDAMENTALMENTE
CUÁNDO DEBEMOS USAR
CADA UNO DE ELLOS.

NOTACIONES
DEFINICIONES
EJEMPLO: A = {1, 2, 3}
{1} A
{1,2,3} A
Ø A
1 Є A
2 Є A

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
VAMOS A REALIZAR
OPERACIONES CON LOS
CONJUNTOS; ES DECIR, YO
PUEDO TRABAJAR CON LOS
ELEMENTROS DE UN CONJUNTO Y
CON LOS ELEMENTOS DE OTRO Y
HACER ALGUNAS MEZCLAS DE
ELLOS: UNIRLOS,
INTERSECARLOS O RESTARLOS.

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
A = {Gastos, Vivienda, Educación}
B = {Educación, Transporte, Salud}
UNIÓN.- SE DEFINE UNIÓN,
CUANDO FORMAMOS UN TERCER
CONJUNTO QUE TIENE LOS
ELEMENTOS DE A Y TAMBIÉN
TIENE LOS ELEMENTOS DE B
DENTRO DE EL SIN REPETIRLOS…

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
SI EL PRIMER CONJUNTO TIENE 3
ELEMENTOS Y EL OTRO TIENE
OTROS 3, ENTONCES EL AUB
TENDRÍA COMO MÁXIMO 6,
SIEMPRE QUE ELLOS FUERAN
DISTINTOS; PERO COMO UNO DE
ESTOS ELEMENTOS, EN ESTE
CASO EL c ES COMÚN, ENTONCES
VOY A TENER ÚNICAMENTE 5.

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
LO QUE HAY QUE TENER CLARO,
ES QUE, LA UNIÓN ES EL TERCER
CONJUNTO QUE SE FORMÓ DE
UNIR 2; ENTONCES LOS
ELEMENTOS SON MÁS DE LOS
QUE HAY EN A Y EN B. PARA ESTE
EJEMPLO TENEMOS QUE EL
CONJUNTO
AUB = {a, b, c, d, e} …

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
COMO EL c ESTA REPETIDO EN
LOS 2 CONJUNTOS, LO
COLOCAMOS UNA SOLA VEZ.
FORMALMENTE SE DICE QUE SON
TODOS LOS ELEMENTOS:
AUB = {X/XЄA ó XЄB} PERTENECE
A ALGUNO DE LOS DOS, ASÍ ESTÁ
DEFINIDA LA UNIÓN; LO
DEFINIMOS TAMBIÉN COMO LA +…

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
GRÁFICAMENTE TENDRÍAMOS EN
EL DIAGRAMA DE VEEN DOS
CÍRCULOS CRUZADOS Y EN EL
CRUCE ESTÁ EL ELEMENTO c,
PORQUE PERTENECE TANTO AL
CANDIDATO A COMO AL
CANDIDATO B, ENTONCES NOS
QUEDA EL ELEMENTO EN COMÚN;
Y LOS ELEMENTOS a, b. Y d, e.

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
A = {a, b, c} B = {c, d, e}
INTERSECCIÓN.- SE DEFINE
INTERSECCIÓN, CUANDO
FORMAMOS UN TERCER
CONJUNTO QUE TIENE COMO
ELEMENTOS SOLO LOS
COMUNES; ES DECIR, LOS QUE SE
REPITEN EN LOS DOS …

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
EN EL EJEMPLO PLANTEADO, LA
INTERSECCIÓN DE: A∩B = {c}
ES DECIR LO QUE ESTÁ EN
COMÚN ENTRE LOS DOS
CONJUNTOS. SI ESCRIBIMOS
FORMALMENTRE DIREMOS:
A∩B = {X/XЄA y XЄB}; TIENE QUE
CUMPLIR LAS DOS CONDICIONES,
TIENE QUE ESTAR EN LOS DOS …

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
GRÁFICAMENTE EN LOS
DIAGRAMAS TENDRÍAMOS DOS
PORQUE SE REPITE TANTO EN EL
CONJUNTO A COMO EN EL
CONJUNTO B; ES DECIR, NOS
QUEDA EL ELEMENTO EN COMÚN.

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
A = {a, b, c} B = {c, d, e}
DIFERENCIA.- OTRA
OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
ES LA DIFERENCIA, LO QUE
DENTRO DE LOS CONJUNTOS
NUMÉRICOS LLAMAMOS LA
RESTA, AQUÍ LLAMADA LA
DIFERENCIA …

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
LA DIFERENCIA TIENE DOS FORMAS
EN ESTE EJERCICIO: PODEMOS
RESTAR EL A – B Ó EL B – A
LÓGICAMENTE TENDREMOS DOS
COSAS DISTINTAS; SI DECIMOS A – B,
TENDREMOS:
A – B = {a, b} ES DECIR TODOS LOS
ELEMENTOS QUE PERTENECEN AL
CONJUNTO A, PERO QUE NO
PERTENECEN AL B …

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
A – B = {X / X є A y X є B}
CONJUNTO A COMO EN EL
CONJUNTO B; ES DECIR, EL
ELEMENTO EN COMÚN.
/

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
SI DECIMOS B – A, TENDREMOS:
B – A = {d, e} ES DECIR TODOS LOS
ELEMENTOS QUE PERTENECEN AL
CONJUNTO B, PERO QUE NO
PERTENECEN AL CONJUNTO A, ES
DECIR HAY QUE TENER CUIDADO, EN
QUE ORDEN ESTAMOS RESTANDO O
DETERMINANDO LA DIFERENCIA.
FORMALMENTE DIRÍAMOS:
B – A = {X / X є B y X є A} …

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
CONJUNTO B COMO EN EL
CONJUNTO A; ES DECIR, EL
ELEMENTO EN COMÚN.

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
ENCONTRAR EL TERCER
CONJUNTO DE LAS
OPERACIONES: UNIÓN,
INTERSECCIÓN Y DIFERENCIA
ENTRE CONJUNTOS.
A U B A ∩ B A – B A – B

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
AUB = {X/XЄA ó XЄB}
A∩B = {X/XЄA y XЄB}
A – B = {X / X є A y X є B}
B – A = {X / X є B y X є A}
…
/
/
— __

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
AUB = {X/XЄA ó XЄB}
A∩B = {X/XЄA y XЄB}
A – B = {X / X є A y X є B}
B – A = {X / X є B y X є A}
…
/
/

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
En la carrera tenemos 100
estudiantes:
50 estudian Matemática, 40 estudian
física y 30 estudian química.
1. 10 estudian matemática y física
2. 15 estudian fis y química
3. 12 estudian mate y química
4. 8 estudian las tres al mismo
tiempo

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
1. A cuantos estudiantes les gusta
estudiar solo física.
estudiar solo matemática.
estudiar las tres asignaturas.
4. A cuantos estudiantes no les
gusta estudiar ninguna
asignatura.

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
En una encuesta realizada a 95
personas respecto a su género de
películas favoritas se obtienen:
35 les gusta drama, 42 les gusta
comedia y 51 les gusta acción.
1. 12 drama y comedia.
2. 17 comedia y acción.
3. 19 drama y acción.
4. 8 los tres géneros

OPERACIONES CON
CONJUNTOS
1. A cuantas personas les gusta un
solo género.
2. A cuantas personas no les gusta
ninguno de los géneros.

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS
DATOS
POBLACION INVESTIGADA
14
23
171
12
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1
S
AM
RV
N
¿

ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS
DATOS
220
0 0 0
0
50
100
150
200
250
1
POBLACION INVESTIGADA
S
AM
RV
N

LA PROPUESTA
MANUAL
ORGÁNICO
FUNCIONAL

• 1.- Introducción
• 2.-Antecedentes
• 3.-Justificación importancia
• 4.-Fundamentación teórica
• 5.-Modelo Pedagógico-
dimensiones
• 6.- Objetivos: generales y
específicos
• 7.- Beneficiarios
• 8.-Descripción de la propuesta.
• 9.- Metodología
MANUAL ORGÁNICO
FUCIONAL

OBJETIVOS
• GENERAL
• Creación del Centro de
Desarrollo Infantil
Alternativo “Mi
Familia”, él mismo que
estimule la formación
integral de los niños y
niñas del sector del
Tejar Alto de la ciudad
de Quito.
• ESPECIFICOS
• Aprobación del
proyecto de creación
del C.D.I.
• Contratar personal
altamente calificado
• Difundir la existencia de
un C.D.I.
• Brindar un ambiente de
confianza.

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