Este documento presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos para el curso de álgebra. Define proposiciones, tablas de verdad, conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción e implicación. Explica cuantificadores universales y existenciales y cómo transformar funciones proposicionales en proposiciones. Por último, introduce reglas de inferencia como modus ponens y modus tollens, y métodos de demostración directa e indirecta.

1. ÁLGEBRA
CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS
UNIDAD 1: FUNCIONES ALGEBRAICAS

2. FUNCIONES ALGEBRAICAS
LÓGICA Y CONJUNTOS
¿Qué es la lógica?
Es una capacidad mental con la que se es capaz de comprender y establecer una respuesta coherente para una
situación.
◦ Lógica Matemática: Ciencia que estudia procedimientos para distinguir si un razonamiento es correcto ó
incorrecto.
¿Qué es una proposición?
Oración o una expresión que puede ser calificado de verdadero o falso.
◦ Simple: No tienen otras oraciones dentro de si misma.
“Ecuador es un país”, “Los perros son animales”, “Un cuadrado tiene 4 lados”
◦ Compuesta: Contienen dentro de si mismas una preposición simple.
“Juan viaja a Quito y Cuenca”, “Se obtiene medalla si y sólo si se gana el primer lugar”, “Comprar
esferos azules o negros”
Proposiciones

3. FUNCIONES ALGEBRAICAS
LÓGICA Y CONJUNTOS
Ejemplo de proposiciones
Preposición
25 es un número impar. Verdadera
Quito es la capital de Ecuador. Verdadera
14 es un número impar Falsa
La semana tiene 7 días Verdadera
Todos los animales tienen cola. Falsa
El número entero 15 es múltiplo de 3 Verdadera
Camila es futbolista Verdadera
Valor de verdad: Es la veracidad o falsedad del contenido de una proposición. Verdadero(V) ó Falso(F)
No son proposiciones

4. FUNCIONES ALGEBRAICAS
LÓGICA Y CONJUNTOS
Notación de proposiciones: Se las representa con las letras p q r s t
p: Te regalo chocolates.
q: Te regalo peluches.
r: Esta lloviendo.
r: 14 es un número impar
s: La semana tiene 7 días
t: Quito es la capital de Ecuador.

5. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Conectivos Lógicos
LÓGICA Y CONJUNTOS
Se puede operar con proposiciones y según sea tales operaciones se utilizan ciertos
símbolos, llamados conectivos
Conectivo. Operación Significado
~ ¬ / Negación No...
∧ Conjunción …y…
∨ Disyunción ó
Condicional/Implicación Si…..Entonces
Bicondicional/Doble implicación …Si y sólo si ..
⊻ Bidisyunción/Disyunción exclusiva or
Conjunción Negativa Ni… ni…

6. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tablas de Verdad
LÓGICA Y CONJUNTOS
Negación: (“NO”, “Es falso que”) ~ ¬ /
Es un operador lógico que cambia el valor de verdad de una preposición
(niega).
~p NO p
p ~p
V F
F V

7. FUNCIONES ALGEBRAICAS
LÓGICA Y CONJUNTOS
Conjunción: (Y) ^
Relaciona dos proposiciones simples para formar una compuesta.
p ^ q p y q
Tablas de Verdad
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
n=# de proposiciones
2n = 22
= 4
NOTA: La conjunción es verdadera si las dos
proposiciones son verdaderas.

8. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tablas de Verdad
LÓGICA Y CONJUNTOS
Disyunción: (O) ˅
Proposición compuesta que resulta de combinar dos simples por medio de la
palabra “o”.
p ˅ q p o q
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
NOTA: Significa que es verdad cuando
al menos una de las proposiciones es
verdadera.

9. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tablas de Verdad
LÓGICA Y CONJUNTOS
Implicación: o condicional (si entonces se llama)
Cuando se unen dos proposiciones mediante el término si entonces.
p q si p entonces q
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
NOTA: Es falso solo cuando una verdad
implica una falsedad, es decir, es falso
cuando el antecedente p es verdadero y
el consecuente q es falso caso contrario
es verdadero.

10. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tablas de Verdad
LÓGICA Y CONJUNTOS
Bicondicional: (si y solo si )
Cuando se unen dos proposiciones mediante el término si y solo si.
p q p si solo si q
p q: (p q) ^ (p q)
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
NOTA: Es verdadero solo cuando las
proposiciones tienen el mismo valor.

11. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tablas de Verdad
LÓGICA Y CONJUNTOS
Bidisyunción/ Conjunción Exclusiva: (disyunción excluyente “or”)
º ⊕ ó
A todo par de proposición p, q asocia la
p ó q p ⊻ q
NOTA: Es verdadero cuando
una de las dos proposiciones es
verdadera pero no las dos a la
vez.
p q p ⊻ q
V V F
V F V
F V V
F F F

12. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tablas de Verdad
LÓGICA Y CONJUNTOS
Conjunción Negativa: (ni p ni q ) ~ p ^ ~ q ~(pvq)
Cuando reemplaza al adverbio no, con la presencia de otros
enunciados negativos.
~ p ^ ~ q
NOTA: Es verdadero únicamente
cuando p y q son falsos.
p q ~ p ^ ~ q
V V F
V F F
F V F
F F V

13. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Tautología, contradicción continencia
LÓGICA Y CONJUNTOS
Tautología: Es toda proposición cuyo valor de
verdad es siempre Verdadero
Contradicción: Es toda proposición cuyo valor
de verdad es siempre Falso
Contingencia: Es toda proposición en cuyo valor de verdad se tiene verdaderos y falsos

14. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Equivalencias Lógicas
LÓGICA Y CONJUNTOS
Dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad. La equivalencia
lógica de p y q algunas veces se expresa como:
Ejemplo:
¿p ^q es equivalente a ~(~ p ˅ ~ q) ?
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q ~ p ~ q (~ p ˅ ~ q) ~(~ p ˅ ~ q)
V V F F F V
V F F V V F
F V V F V F
F F V V V F
Tienen el mismo valor de verdad, por lo tanto son Equivalentes

15. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Conectivos lógicos utilizando proposiciones simples y compuestas
LÓGICA Y CONJUNTOS
Escribir en forma simbólica los siguientes enunciados (utilizar conectores lógicos y las proposiciones que crea necesario).
• Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles.
p: hay verdadera democracia .
q:hay detenciones arbitrarias .
r: otras violaciones de los derechos civiles.
Respuesta: p → (¬q ˄ ¬r)
• Si los elefantes volarán o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy loco y dejaría que me internaran en un
psiquiátrico.
p: los elefantes vuelan.
q: los elefantes tocan el acordeón.
r: estar loco.
s: internar en un psiquiátrico.
Respuesta: ( p ˅ q ) → ( r ˄ s)

16. FUNCIONES ALGEBRAICAS
SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES
LÓGICA Y CONJUNTOS
• Consiste en reducir la expresión lógica a una forma mas simple mediante el uso de los
axiomas y/o leyes lógicas.
• Consiste en ir desarrollando paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una
expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible.
• Por medio de la simplificación se puede demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas
de verdad.

17. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Leyes Lógicas
LÓGICA Y CONJUNTOS
/ Condicional

18. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Funciones proposicionales
• Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertiste en verdadero o falso
dependiendo del valor de la variable. Son enunciados abiertos que no llegan hacer proposiciones debido a que en
algunos casos es verdadero y en otros casos es falso, todo depende del valor que tome la variable (x).
• Una función proposicional en una expresión P(x), de tal modo que al reemplazar la x por un elemento determinado, se
obtiene una proposición
A las funciones proposicionales se les denota así:
Ejemplos:
P(X)= 6x+2>4
P(3): 6(3)+2>4 Verdadera
x fue presidente de Ecuador
P(Juan López): Juan López fue presidente de Ecuador Falso
Entonces si asignamos un cuantificador llegaría a ser una proposición

19. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Cuantificadores
A partir de los cuantificadores se puede transformar una “función proposicional en una proposición”
Los cuantificadores usuales son:
∀x cuantificador universal Para todo x
∃x cuantificador existencial Existe x
Ejemplo:
Todas las personas somos racionales
P(x): x es personas
Q(x): x son racionales
∀x: P(x) Q(x)

20. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Cuantificadores
Ejemplo:
Existen números enteros que son positivos
P(x): x es números enteros
Q(x): x son positivos
∃x: / P(x) Q(x)

21. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Negación de funciones proposicionales cuantificadoras
LÓGICA Y CONJUNTOS
NEGACION DEL CUANTIFICADOR UNIVERSAL
NEGACION DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

22. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Reglas de inferencia
LÓGICA Y CONJUNTOS
Son reglas para razonar.
 Son reglas que utilizamos para deducir cosas.
 Son reglas para extraer conclusiones.
Las reglas de inferencia se modelan como implicaciones, donde el antecedente de la implicación está compuesto
de una conjunción de proposiciones llamadas premisas y el consecuente se llama conclusión.
Premisa
Premisa
Conclusión
Antecedente
Consecuente

23. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Modus Ponendo Ponens (MPP)
LÓGICA Y CONJUNTOS
Afirmando el antecedente afirmamos el consecuente.
Todas las premisas deben ser verdaderas.
p: “Has aprobado”
q: “Irás a la universidad”
La regla que afirmando afirma.
p q
p
q
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
p ~ q
p
~ p q
~ p
q
~ q

24. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Modus tollendo Tollens (MTT)
LÓGICA Y CONJUNTOS
Fórmula que negando niega.
Negando el consecuente, negamos el antecedente
p: “Has aprobado”
q: “Irás a la universidad”
p q
~ q
~ p
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
p
~ p ~q
q

25. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Modus Tollendo Ponens (MTP)
LÓGICA Y CONJUNTOS
Si niego uno de los dos términos, entonces afirmo el otro término.
p: “Has aprobado”
q: “Irás a la universidad”
p ∨ q
~ q
p
p ∨ q
~ p
q

26. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación (S)
LÓGICA Y CONJUNTOS
Si existe una premisa que sea una Conjunción se puede simplificar sacar un componente o
el otro o las dos pero en diferentes pasos.
p: “Has aprobado”
q: “Irás a la universidad”
p ^ q
p
p ^ q
q

27. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Adjunción (A)
LÓGICA Y CONJUNTOS
p: “Has aprobado”
q: “Irás a la universidad”
p
q
p ^ q

28. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Resumen de leyes de Inferencia
LÓGICA Y CONJUNTOS

29. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Métodos de Demostración
• Una demostración es una justificación de la veracidad de un teorema.
• Cualquier sistema lógico debe empezar con algunos términos
fundamentales, definiciones, axiomas o postulados. A partir de ello,
se pueden deducir por razonamientos válidos otras afirmaciones.
Para llegar a demostrar algo, es necesario justificar cada paso de la
demostración de manera lógica.
¿Como demostrar que p → q es cierto? Sólo basta demostrar que q es
cierto cuando p es cierto (por la tabla de verdad).

30. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Métodos de Demostración
• Analizar el enunciado
que piden demostrar.
• Saber la forma lógica
de representarlo

31. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Métodos de Demostración

32. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Métodos de Demostración
Método Directo
• El enunciado de un teorema son las proposiciones de partida que
constituyen las hipótesis (H) del teorema, si partiendo de las hipótesis
se puede llegar a otra preposición llamada tesis (T), se debe verificar
que la proposición H T es verdadera.
De acuerdo a la tabla de valores de verdad de la implicación, para
demostrar que la implicación H T, es suficiente demostrar que, si la
hipótesis H es verdadera, entonces T es verdadera.

33. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Métodos de Demostración
Método Directo
De acuerdo a la tabla de valores de verdad de la implicación, para
demostrar que la implicación H T, es suficiente demostrar que, si la
hipótesis H es verdadera, entonces T es verdadera.

34. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Métodos de demostración
Método Directo Método Indirecto
En p →q se supone que p es V y se demuestra que q
debe ser V.
Establece la verdad de una afirmación demostrando la
falsedad de la afirmación contraria.
Se prueba que ~p →~q