Operaciones generales Lógicas

1. OPERADORES LÓGICOS
UMG

2. Operadores lógicos
Las proposiciones se relacionan a través de operadores
que permiten formar otras proposiciones, estos
operadores son los responsables de las relaciones
lógicas entre las expresiones. Los operadores que
permiten la unión de proposiciones se llaman
operadores binarios.
Los siguientes son los principales operadores lógicos:
Nombre Conectivo lógico Símbolo
Conjunción Y ∧
Disyunción
Inclusiva
O ∨
Disyunción
Exclusiva
O ⊻
Condicional Si ... entonces →
Bicondicional si y sólo si ↔

3. Conjunción
El conectivo lógico para la conjunción se representa
mediante el símbolo ∧. Sean p y q dos proposiciones,
entonces p∧q es llamada la conjunción entre las
proposiciones p y q. Algunas frases en lenguaje natural
en las que aparece la conjunción pueden ser:
• p y q
• p pero q
• p aunque q
• p sin embargo q
• p no obstante q
• p a pesar de q
• p a menos q
• p igualmente q

4. La proposición p ∧ q se considera verdadera cuando p es
verdadera y q es verdadera, es decir, cuando ambas
proposiciones son verdaderas a la vez. Algunos ejemplos
de representación en lenguaje natural en los cuales se
utiliza la conjunción son los siguientes:
• La cobertura en educación y la calidad de los profesores
es aceptable.
• El rendimiento académico del estudiante es bueno, sin
embargo, su actitud no es la adecuada.
• El producto es bueno, no obstante, su precio lo hace
inalcanzable.
• El presidente tiene un plan de gobierno, no obstante,
tiene un equipo de trabajo desintegrado.
• Aunque esté lloviendo es posible realizar el vuelo.
• Está nevando pero es posible navegar.

5. En el lenguaje natural es frecuente usar formas
abreviadas para expresar proposiciones, por ejemplo:
• Jorge y Mauricio van a estudiar un Doctorado en
Ingeniería.
Equivale a expresar por separado:
• Jorge va a estudiar un Doctorado en Ingeniería.
• Mauricio va a estudiar un Doctorado en Ingeniería.

6. Es común la representación de proposiciones utilizando
átomos unidos a través de conectivos lógicos.
Por ejemplo si se tiene la expresión p ∧ q, se puede dar
una interpretación arbitraria a cada uno de los átomos
que componen la expresión:
v(p) = V
v(q) = F
Entonces v(p ∧ q) = F, dado que al menos una de las
interpretaciones es falsa.
El uso del operador de conjunción, es equivalente en la
lógica de conjuntos a la operación de intersección.

7. Las siguientes proposiciones tienen asignadas
interpretaciones arbitrarias a los átomos, los cuales
determinan la evaluación de la proposición.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
(p ∧ ￢q) v(p) = F, v(￢q) = V v(p ∧ ￢q) = F
(p ∧ s) v(p) = V, v(s) = V v(p ∧ s) = V
(p ∧ q) v(p) = F, v(q) = F v(p ∧ q) = F
(￢q ∧ q) v(￢q) = V, v(q) = F v(￢q ∧ q) = F
￢(p ∧ ￢q ∧ r) v(p) = V, v(￢q) = V, v(r) = F v￢(p ∧ ￢q ∧ r) = V
Para el caso de la expresión: ￢(p ∧ ￢q ∧ r), de acuerdo
con los valores asignados a cada uno de los átomos, se
tiene que (p ∧ ￢q ∧ r) evalúa como falsa la expresión,
pero teniendo en cuenta que a la misma le antepone el
operador ￢, la expresión queda evaluada como
verdadera.

8. Actividad Conjunción
1. Dadas las siguientes proposiciones, defina una
interpretación para cada uno de los átomos y evalúe
cada proposición.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
￢(p ∧ ￢q) v(p) = F, v(￢q) = V
￢(p ∧ ￢q ∧ r) v(p) = V, v(￢q) = V, v(r) = F
(p ∧ q ∧ r) v(p) = V, v(q) = V, v(r) = F
((￢p ∧ q) ∧ p) v(￢p) = V, v(q) = F

9. 2. A continuación se muestran pares de proposiciones,
a los cuales es necesario determinar su valor de
verdad.
Proposición Proposición Expresión Evaluación
t: 2 es número par (V) s: 2 es número primo (V) t ∧ s
w: 5 < 7 (V) r: 4 ≥ 0 (V) r ∧ w
p: 0 = x (F) q: x + 1 = x (F) p ∧ q

10. Disyunción inclusiva
La disyunción inclusiva se representa mediante el
conectivo lógico ∨. La proposición p ∨ q es llamada la
disyunción inclusiva entre las proposiciones p y q. Se
considera p ∨ q falsa, cuando la proposición p y la
proposición q son falsas a la vez. Este operador se
evalúa como verdadero, en el caso que al menos una
proposición sea verdadera, incluyendo el caso en que
ambas variables también lo sean.
Algunas frases en las que aparece la disyunción son:
• p o q
• p o q o ambos
• al menos p o q
• mínimo p o q

11. Algunas frases de representación en lenguaje natural
en los cuales se utiliza la disyunción son las siguientes:
• El experimento estuvo mal diseñado o las personas
mintieron.
• Para cobrar el subsidio al menos debe ser menor de
edad o estar estudiando.
• Para pagar el impuesto debe tener cuenta corriente
o de ahorros.
• El parcial estaba fácil o corto, o ambas cosas.

12. Las siguientes proposiciones tienen asignadas
interpretaciones arbitrarias a los átomos, los cuales
determinan la evaluación de la proposición.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
(￢p ∨ ￢q) v(￢p) = F, v(￢q) = V v(￢p ∨ ￢q) = V
(p ∨ q ∨ r) v(p) = F, v(q) = F, v(r) = F v(p ∨ q ∨ r) = F
￢(p ∨ q ∨ r) v(p) = F, v(q) = F, v(r) = F v￢(p ∨ q ∨ r) = V
El uso del operador de conjunción, es equivalente
en la lógica de conjuntos a la operación de la unión.

13. Actividad Disyunción Inclusiva
1. Dadas las siguientes proposiciones, defina una
interpretación para cada uno de los átomos y evalúe.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
￢(￢p ∨ ￢q) v(￢p) = F, v(￢q) = V
￢(p ∨ q ∨ ￢r) v(p) = F, v(q) = F, v(￢r) = F
(p ∨ q ∨ r) v(p) = F, v(q) = F, v(r) = V
￢￢(￢p ∨ ￢r) v(￢p) = F, v(￢r) = F
￢￢￢(￢p ∨ ￢￢q) v(￢p) = F, v(￢q) = F

14. A continuación se muestran pares de proposiciones, a los
cuales es necesario determinar su valor de verdad.
Proposición Proposición Expresión Evaluación
r: 2 es número primo (V) s: 2 es número positivo (V) r ∨ s
t: 2 + 8 6= 10 (F) q: (5+3) ≤ 2 (F) t ∨ q
u: El triángulo tiene tres
lados (V)
w: El rectángulo es un
pentágono (F)
t ∨ w

15. Disyunción exclusiva
La disyunción exclusiva se representa mediante el
conectivo lógico ⊻. La proposición p⊻q se denomina la
disyunción exclusiva, p⊻q es verdadera, únicamente
cuando una de las dos proposiciones es verdadera, pero
no ambas a la vez:
Algunos ejemplos de representación en lenguaje natural
en los cuales se utiliza la disyunción exclusiva son los
siguientes:
• Mañana iré a cine o iré a estudiar.
• La tesis de maestría es laureada o meritoria.
• La fecha límite para el pago del seguro es abril o mayo.
• La elección del procurador es por vía directa o
mediante consulta.

16. La disyunción se usa en un contexto de exclusividad,
por ejemplo la oración:
• La pasantía estudiantil dará inicio el mes de
diciembre o el mes de enero.
• Mario compra el pasaje para viajar a Aruba o Lima.
• Me comprometo a trabajar con Ana o con Cristina.
Se puede interpretar que Mario compra el pasaje para
viajar a Aruba o para viajar a Lima, pero no en ambas
situaciones. Así mismo que la pasantía estudiantil dará
inicio para un mes en especial y no para ambos.

17. Las siguientes proposiciones tienen asignadas
interpretaciones arbitrarias a los átomos, los cuales
determinan la evaluación de la proposición.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
(￢p ⊻ ￢q) v(￢p) = F, v(￢q) = V v(￢p ⊻ ￢q) = V
(p ⊻ q) v(p) = F, v(q) = F v(p ⊻ q) = F
(p ⊻ q) v(p) = V, v(q) = V v(p ⊻ q) = F
￢(p ⊻ q) v(p) = V, v(q) = V v￢(p ⊻ q) = V

18. No es sencillo definir si una oración es inclusiva o
exclusiva.
Existen casos en los cuales es sencillo identificar cuando
una oración se interpreta de forma exclusiva, como por
ejemplo en “el niño está despierto o está dormido”.
Existen casos en los cuales una oración se interpreta de
forma inclusiva, por ejemplo “Sacatepéquez es más
pequeño en extensión que Escuintla o Peten”.

19. Actividad Disyunción Exclusiva
1. Dadas las siguientes proposiciones, defina una
interpretación para cada uno de los átomos y evalúe las
expresiones.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
(￢p ⊻ q ⊻ s) v(￢p) = F, v(q) = V, v(s) = V
(￢p ⊻ q) v(￢p) = F, v(q) = F
￢(p ⊻ q ⊻ r) v(p) = F, v(q) = V, v(r) = V
￢(￢p ⊻ ￢q ⊻ r) v(￢p) = F, v(￢q) = V, v(r) = V

20. 2. A continuación se muestran pares de proposiciones, a
los cuales es necesario determinar su valor de verdad.
Proposición Proposición Expresión Evaluación
p: 2 es un número
par (V)
q: 2 es un número
impar(F)
p ⊻ q
t: 15 es un número
primo (F)
w: 15 es un número
compuesto (V)
t ⊻ w

21. Condicional
El conectivo lógico que representa el condicional es el
símbolo →. Sean p y q dos proposiciones: entonces si p
entonces q, se representa mediante p → q.
La proposición p → q es falsa si la primera proposición
(antecedente) es verdadera y la segunda proposición
(consecuente) es falsa.

22. Algunos casos de representación en lenguaje natural en los
cuales se utiliza el condicional son:
• Si p entonces q
• p implica q
• p sólo si q
• q si p
• p es suficiente para q
• Para q es suficiente p
• No p a menos que q
• q cuando p
• q es necesario para p
• Para p es necesario q
• p en consecuencia q
• p se deduce q
• p por ende q

23. Algunos ejemplos en lenguaje natural son los siguientes:
• Si el sol está brillando entonces se puede hacer deporte.
• Si Pedro es matemático entonces calcula.
• Si un número es par entonces es divisible por 2.
• Si un número tiene dos divisores es suficiente para que
sea primo.
• Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
• José perdió la materia, en consecuencia perdió el
semestre.

24. En el condicional si el antecedente es verdadero, su
valor de verdad es igual al valor de verdad de su
consecuente. Si el antecedente es falso, entonces el
condicional es verdadero. Por ejemplo la oración:
• Si el Barcelona gana, el numero de socios se
incrementa
En este caso si es verdad que el Barcelona gana,
entonces la oración “Si el Barcelona gana, el número
de socios se incrementa”, es verdadera si y solo si se
incrementa el número de socios.
Si el caso fuera que el Barcelona no gana, entonces la
oración “Si el Barcelona gana, el número de socios se
incrementa” es verdadero ya que su antecedente es
falso.

25. A continuación se darán unas fórmulas proposicionales
y se asignarán interpretaciones arbitrarias a los átomos.
El operador que se utilizará es el condicional.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
(￢q → p) v(￢q) = F, v(p) = V v(￢q → p) = V
(￢q → p) v(￢q) = V, v(p) = F v(p → p) = F
￢(p → q) v(p) = V, v(q) = F v￢(p → q) = V
(p → s) → q v(p) = V, v(s) = F, v(q) = F v(p → s) → q = V

26. Actividad Condicional
1. Dadas las siguientes proposiciones, defina una
interpretación para cada uno de los átomos y evalúe
mediante su valor cada proposición.
Proposición Interpretación Evaluación Proposición
￢￢(￢q → p) v(￢q) = F, v(p) = V
￢(￢p → ￢s) v(￢p) = V, v(￢s) = F
￢(p → q) → ￢r v(p) = V, v(q) = F, v(￢r) = F
(p → s) → (q → r) v(p) = V, v(s) = F, v(q) = F, v(r) = F
￢(p → s) → ￢(q → r) v(p) = V, v(s) = F, v(q) = F, v(r) = F
￢￢(p → s) → ￢￢(q) v(p) = V, v(s) = F, v(q) = F

27. 2. A continuación se muestran pares de proposiciones, a
los cuales es necesario determinar su valor de verdad.
Proposición Proposición Expresión Evaluación
p: 5 + 5 = 10 (V) q: 5 × 2 = 10 (V) p → q
w: 8 es un número
par (V)
m: 8 no es divisible
por 2 (F)
w → z

28. Bicondicional
El conectivo lógico que representa la disyunción
inclusiva es el símbolo ↔. Sean p y q dos
proposiciones, la proposición p si y sólo si q, se
representa p ↔ q. El bicondicional es verdadero
únicamente cuando tanto p como q tienen los mismos
valores de verdad.

29. Algunos ejemplos de representación en lenguaje
natural en los cuales se utiliza el bicondicional son los
siguientes:
• p si y sólo si q
• p es necesario y suficiente para q
• p es equivalente a q
• p cuando y sólo cuando q
• p entonces y sólo entonces q
La proposición p ↔ q es verdadera sólo cuando las
dos proposiciones son ambas verdaderas o falsas.

30. Algunos ejemplos en el lenguaje natural donde
podemos encontrar el bicondicional:
• Juan ve si y sólo si no es ciego
• 5 + 5 = 10 si y sólo si 5 × 2 = 10
• 28 es par si y sólo si es divisible por 2
• Un número es compuesto si y sólo si tiene más de
dos divisores
• Un número es divisible por 3 si y sólo si al sumar sus
cifras el resultado es múltiplo de 3

31. A continuación se darán unas fórmulas proposicionales
y se asignarán interpretaciones arbitrarias a los átomos.
El operador que se utilizará es el condicional.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
(￢q ↔ p) v(￢q) = F, v(p) = F v(￢q ↔ p) = V
(p ↔ s) v(p) = V, v(s) = F v(p ↔ s) = F
￢(p ↔ s) v(p) = F, v(s) = V v(p ↔ s) = V
￢￢(p ↔ ￢q) v(p) = V, v(￢q) = F v￢ ￢ (p ↔ ￢q) = F

32. Actividad Bicondicional
1. Dadas las siguientes proposiciones, defina una
interpretación para cada uno de los átomos y evalúe
mediante su valor cada proposición.
Proposición Interpretación Evaluación
Proposición
￢ (￢ q ↔ s) v(￢q) = V, v(s) = V
￢ (p ↔ ￢ s) v(p) = V, v(￢s) = F
(￢ p ↔ ￢ ￢ s) v(￢p) = V, v(￢s) = F
￢ ￢ (￢ p ↔ ￢ q) v(￢p) = F, v(￢q) = F
(￢ q ↔ s) ↔ p v(￢q) = V, v(s) = V, v(p) = V

33. 2. A continuación se muestran pares de proposiciones, a
los cuales es necesario determinar su valor de verdad.
Proposición Proposición Expresión Evaluación
p: 10 no es número
par (F)
q: 10 ≥ 8 (V) p ↔ q
q: 28 es un numero
perfecto (V)
r: 28 no es un
número impar (V)
q ↔ r

34. Tarea
Dadas las siguientes proposiciones, escribir la expresión en lenguaje natural:
p: Aprobó la asignatura
q: Le gusta la matemática
s: Ganó la beca
Proposición Expresión
￢p
￢q
￢(p ∧ q)
￢(p ∨ q)
(￢p ∨ ￢q)
(￢q → p)
(￢q ↔ p)
￢(q → p)
￢￢p
￢￢q
￢(￢q ↔ ￢p)
(p ∧ q ∧ s)
s ∨ (p ∧ q)