El documento introduce los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que una proposición es una afirmación sujeta a un valor de verdad, y que las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares. Las proposiciones moleculares están compuestas por proposiciones atómicas unidas por conectivos lógicos como "y", "o", "si...entonces", y "no". Finalmente, describe los diferentes tipos de conectivos lógicos y sus tablas de verdad.

1. Introducción
En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones.
Esto significa, que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo. Este
algo o punto de partida se llama premisa. Por ejemplo si exponemos un trozo
de hielo al calor, se concluye que el hielo se derrite, o cuando
un campesino ve una densa nube en el cielo, deduce que va a llover, o
también de "todos los mamíferos son vertebrados" se puede concluir en
"algunos mamíferos son vertebrados". Este proceso de pasar de un conjunto
de premisas a la conclusión se llama inferencia o deducción.
Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de
premisas se dice que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia
no es válida. Sabemos que la conclusión se deriva correctamente de sus
premisas porque hay un conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha
corrección. Justamente la lógica estudia el modo de usar estas leyes, con las
cuales podemos saber si una inferencia es válida o no. De ahí que, la lógica
es una ciencia que estudia los métodos y las leyes que determinan la validez
de la inferencia.
Así como existe una teoría para realizar cálculos con números (la
aritmética) o con objetos más complejos como diferencial e integral, también
existen reglas precisas para manejar proposiciones. Esto último corresponde
al estudio de la lógica proposicional
En este sentido La lógica proposicional trata sobre la verdad o la
falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas
proposiciones (premisas) a otras (conclusión). Una proposición es la unidad
mínima de Significado susceptible de ser verdadera o falsa. Como ocurre en
otras ciencias, es necesario en lógica utilizar un lenguaje simbólico especial
que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de Manifiesto los que
sí nos interesan. En lógica nos interesa saber cómo están Combinadas las
proposiciones y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello

2. necesitamos unos símbolos que, prescindiendo del significado de las
proposiciones, nos indiquen la" forma en que se combinan. Estos símbolos
constituyen un lenguaje formal.
En el presente trabajo se estudiaran los siguientes puntos: Definición de
proposición. Tipos de proposición: Atómicas, Moleculares. Términos de
enlaces o conectivos lógicos y sus símbolos: Y, O, No, Si.......entonces.
Formas de proposiciones y sus símbolos. Negación. Conjunción. Disyunción.
Implicación.
Doble
aplicación.
Diferencia
simétrica.
Proposiciones
condicionales y incondicionales. Equivalencia lógica. La tabla de la verdad.
Diferentes diagramas de la tabla de la verdad. Tautología Implicación
tautológica y equivalencia tautológica

3. Proposición
Una proposición es una sentencia (expresión) sujeta a un valor de
verdad.Usualmente se denotan por letras minúsculas p, q, r, s, etc.
Ejemplos
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones?
¿Es esto verdadero?
Hoy es martes
10 es un número primo
El sol y el cielo
Todos los alumnos de este curso son estudiosos
La realidad de la vida
Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir,
lasQueno incluyen conectivos lógicos, y las que sí los incluyen.Valores
posibles de dos proposiciones dadas
pq
VV
VF
FV
FF

4. LAS PROPOSICIONES ATÓMICAS
Son aquellas que expresan un único pensamiento. Ej. “Cervantes
escribió el Quijote”, “Julio César fué un emperador romano”. Pueden ser
verdaderas o falsas por eso son proposiciones, tienen un valor de verdad,
amos ejemplos son verdaderos. Pero son también proposiciones atómicas,
átomo significa indivisible, que no tienen partes. Estas proposiciones tienen
partes, pero las partes no son proposiciones.Ej.: si yo digo simplemente
“Cervantes” eso no tiene valor de verdad.
Las proposiciones atómicas es la unidad mínima que puede tener valor
de verdad.
PROPOSICIONES MOLECULARES:
Son compuestas de proposiciones atómicas.Ej: “Cervantes escribió el
Quijote” Y “Julio César fue un emperador romano”.Ej: “Cervantes escribió el
Quijote” O ” Julio César fue un emperador romano”. o bien una es verdadera
o la otra es verdadera o ambas son verdaderas( al menos una tiene que ser
verdadera).
Ej: “SI Cervantes escribió el Quijote” ENTONCES ” Julio César fué un
emperador romano”.( Si es verdadero lo primero, entonces lo segundo
también).
Ej: “El gato NO esta en la escalera”- proposición atómica. (No hay dos
proposiciones conectadas).Sin embargo, las proposiciones negativas son
también moleculares.Ej: ” Cervantes escribió el Quijote”” Cervantes NO
escribió el Quijote” (molecular compuesta).

5. CONECTIVOS:
Y: CONECTIVO DE CONJUNCIÓN
O: CONECTIVO DE DISYUNCIÓN
SI- ENTONCES: CONECTIVOS CONDICIONAL
NO: CONECTIVOS DE NEGACIÓN
CONECTIVOS OPERADORES LOGICOS
Conjunción o &:
Trabaja uniendo dos o más preposiciones entre sí. La proposición
molecular será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean
verdaderas.Este operador lógico se relaciona con estas dos proposiciones
para formar una tercera proposición, que es la conjunción de las dos
primeras. Se representa por el símbolo ^ que se lee ´´I´´.
La ´´I´´ de proposición se hace generalmente con la conjunción
copulativa “Y”, pero a veces se hace con otras.
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además,
etc.
Condición: es V cuando ambas son V.
AB
V VV
VFF
FVF
F FF
(Según, Patrick Suples y Shirley Hill)

6. La unión de dos proposiciones con la palabra (Y) se denomina
conjunción de las dos proposiciones. Ejemplo:Sus ojos so azules y los ojos
de su hermana también son azules.Sea P la proposición atómica ( sus ojos
son azules ) y se Q la proposición atómica ( los ojos de su hermana también
son azules). Entonces se puede simbolizar la proposición molecular, que es
una conjunción, por: (P) Y (Q)
Disyunción o O:
Trabaja separando dos o más proposiciones entre sí para formar una
tercera proposición que es la disyunción de dos primeras. La proposición
molecular será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales
sean verdaderas. Palabras conectivas: Una, otra o ambas a la vez.
(y/o)Condición: es F cuando las dos son F.
AB
V VV
VFV
FVV
F FF
Función proposicional
Se llama función proposicional (o enunciado abierto) a una expresión
pque contiene una o más variables, y tal que ella se convierte en
unaproposición lógica cuando se le asignan valores específicos a
dichasVariables.Conjunto de validezSe llama Conjunto de validez de una
función proposicional p, y se denotapor Vp, al conjunto de valores (o n-uplas
de valores) para los cuales dichafunción es verdadera.
Ejercicio Analice la siguiente proposición:
Si un número natural es divisible por dos y tres, entonces es divisible
porseis.

7. Negación (∼)
Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe ∼ p, a la
proposición “no p”. Esto significa que ∼ p es V si p es F, y ∼ p es F si pes V .
TABLA DE VERDAD
p∼p
VF
FV
Conjunción (∧)
Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción de ellas es la
proposición“p y q”, la cual se escribe p∧q. La proposición p∧q es V si ambas
lo son,y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es.
TABLA DE VERDAD
pq p∧ q
V VV
VFF
FVF
F FF
Disyunción (∨)
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de ellas es la proposición “po
q”, la cual se escribe p ∨ q. La proposición p ∨ q es V si al menos unade ellas
lo es, y p ∨ q es F si ambas lo son.

8. TABLA DE VERDAD
pqp∨q
V VV
VFV
FVV
F FF
Implicación (?)
La implicación es uno de los conectivos mas importantes ya que tiene
mas valor que la conjunción y la disyunción su simbología matemática es una
flecha (?) es un conectivo que tiene varios significados y por ende habrá que
prestarle un poco mas de atención. Reemplazara las palabras Entonces,
Luego, Por ende. Por tanto Etc.
En las proposiciones y por ende se llega a la conclusión de que el
símbolo (?) tendrá varios significados y se leerá conforma a la palabra que
reemplacé.
Doble Implicación
La Doble Implicación es un conectivo mas fuerte que la implicación y
por ende mas fuerte que la disyunción y conjunción su símbolo matemático
es (?). Tiene su significado correspondiente dentro de las oraciones
reemplazara a la palabra Si y Solo Si en las proposiciones y se leerá tal
como se lea dicha palabra.
La diferencia simétrica

9. De dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son
todos los elementos de A o B, a excepción de los elementos comunes a
ambos:xin A,Delta,Btext{ si y s}acutetext{o}text{lo si, o bien }xin A
{text{o bien}} xin B
Ejemplo.
Sean A = {a, ♠, 5, Z} y B = {8, #, a, Γ, ♠}. La diferencia simétrica es A Δ
B = {5, Γ, #, Z, 8}.
Sean los conjuntos de polígonos T = {pentágonos} y R = {polígonos
regulares}. La diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y
pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o sea: R Δ T = {Pentágonos
irregulares y polígonos regulares que no posean 5 lados}.
3. El Condicional y el Bicondicional
El Condicional
Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en lógica,
entonces te voy a comprar un Mustang amarillo." Esta parece ser compuesta
en dos oraciones más simplemente:
p: "Obtienes una A en lógica," y
q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad,
entonces q es verdad, o, más simple, si p, entonces q. También podemos
escribir la frase como p implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discución de que la proposición
original: "Si obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang
amarillo," es verdad. Esto no significa que tu obtendrás una A en lógica; lo

10. único que quiere decir es que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un
Mustang amarillo. Si Pensamos en esto como una promesa, la única manera
que pueda ser rota esta promesa es si ganas una A pero no te compro un
Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para definir la proposición
p→q.
Condicional
La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se
define con la siguiente tabla de verdad.
La flecha "→" es el operador condicional, y en p→q la proposición p es
llamada en el antecedente, o hipótesis, y q es llamada la consecuente, o
conclusión.
Observa que el condicional en un nuevo ejemplo de un operador lógico
binario -- asigna a cada par de proposiciones p y q la nueva proposición
p→q.
Nota
1. La única manera que puede ser falsa p→q es si p es verdadera y q es
falsa—esto es el caso de la "la promesa rota."
2. Si estudias la tabla de verdad una vez más, puedes ver que decimos que
"p→q" es verdadera cuando p es falsa, sin importa el valor de verdad de q.
Esto tiene más sentido en el contexto de la promesa — si no obtienes una A,
entonces si o no te compro un Mustang, no estoy rompiendo mi promesa. Sin
embargo, va en contra del grano si piensas que "si p entonces q" es lo mismo
que decir que p causa q. El problema es que hay realmente muchas maneras
que las frases en español "si ... entonces ..." se utilizan. Lógicos están de
acuerdo que el significado que se da en la tabla de verdad más arriba es lo
más útil para las matemáticas y por lo tanto, eso es el significado que

11. siempre usaremos. Dentro de poco discutiremos otras frases en español que
interpretamos con el mismo significado.
El Bicondicional
Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin
embargó, que ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1"
y q: "1 = 2," entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q
ambas son falsas. La proposición p↔q se define como la proposición
(p→q)(q→p). Por esta razón, la flecha de doble cabeza ↔ se llama el
bicondicional. Obtenemos la tabla de verdad para p↔q construyendo la tabla
para (p→q)(q→p), que nos da lo siguiente.
Bicondicional
El bicondicionalp↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a
q," se define por la siguiente tabla de verdad.
La flecha "↔" es el operador bicondicional.
Ten en cuenta que, en la tabla de verdad, vemos que, para p↔q ser
verdadera, ambas p y q deben tener los mismos valores de verdad; sí no, es
falsa la conversa.
Algunas frases del Bionditional
Cada uno de los siguientes es equivalente al bicondicionalp↔q.
p si y solo si q.
p es necesario y suficiente para q.
p es equivalente a q.

12. Ten en cuenta que p↔q es lógicamente equivalente a q↔p (se le
pedirá mostrar esto como un ejercicio), así que podemos invertir p y q en las
frases de arriba.
Para la frase "p si y solo si q," recuerde que "p si q" significa q→p
mientras "p solo si q" significa p→q. Para la frase "p es equivalente a q," las
proposiciones A y B son lógicamente equivalentes si y solo si la proposición
A↔B es una tautológia (¿por qué?). Regresaremos a ese tema en la
siguiente sección.
Ejemplo 10 Bicondicional
(a) Verdad o falsa? "1+1 = 3 si y solo si Marte es un agujero negro."
(b) Reformula la oración: "Enseño matemáticas si y solo si me pagan
una gran suma de dinero."
Solución
(a) Verdadera. La proposición dada tiene la forma p↔q, dónde p:
"1+1=3" y q: "Marte es un agujero negro." Ya que ambas proposiciones son
falsas, el bicondicionalp↔q es verdadera.
(b) Aquí están algunas maneras equivalentes de expresar esta oración:
"Enseñar matemática es necesario y suficiente para que me paguen una
gran suma de dinero."
"Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño matemáticas."
Lamentablemente para nuestras finanzas, ninguna de las dos oraciones es
verdad.
Equivalencia lógica

13. Sintácticamente, p y q son equivalentes si cada una puede probar a la
otra. Semánticamente, p y q son equivalentes si ambas tienen el mismo valor
de verdad en cada modelo. La equivalencia lógica de p y q a veces se
denota o bien . Sin embargo, estos símbolos son también utilizados para
denotar el bicondicional. La interpretación propia depende del contexto, y
aunque ambos conceptos están fuertemente relacionados, la equivalencia
lógica es diferente de la equivalencia material. Se tiene así que la afirmación
«p si y sólo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p,
entonces q», y «si q, entonces p». Escrito con símbolos lógicos:. Ejemplos
Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:Si Lisa está en
Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos, f rightarrow e).
Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos,
neg e rightarrow neg f).
Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de
la regla de contraposición. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas en
exactamente los mismos modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber,
aquellos en que Lisa está en Francia es falso o bien Lisa está en Europa es
verdadero.
Se tienen las siguientes relaciones; utilizando cuantificadores y conectivas
lógicas:
forall x in A ; : quad P(x)
qquad longleftrightarrow qquad
neg exists x in A ; : quad neg P(x)
Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A
que no cumpla P(x).
exists x in A ; : quad P(x)

14. qquad longleftrightarrow qquad
neg forall xin A ; : quad neg P(x)
Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de
A, no se cumple P(x).
En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una
extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la
equivalencia:
exists ! x in A ; : quad P(x)
qquad longleftrightarrow qquad
forall x, y in A ; : quad P(x) ; land ; P(y)
rightarrow
x=y
Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y
de A, que cumple P(x) y P(y), entonces x es igual a y.
TABLAS DE VERDAD
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los
signos lógicos,Ø, Ù, Ú, ®, «,como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si,
respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas
operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas
tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de
verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición
es o no un teorema.Para la construcción de la tabla se asignará el valor
1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.

15. Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la
proposición negada.
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos
componentes.
Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son
ciertas, la conjunción es cierta.
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente
es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la
falsedad.
Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes
tienen el mismo valor de verdad.
Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier
valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su
tabla de verdad estará formada únicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición
falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última
columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada
únicamente por ceros.
Ejercicios 1.3
1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es
verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las
proposiciones siguientes?
PÙQ
R®P
RÚP
P®Q
RÙP
P®PÚS
S ®Ø P
R® (S® P)
P Ú S ® (Q Ù Ø P)

16. S ÚØ P
ØP®QÙR
QÙØP®RÙQ
2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores,
en los siguientes casos?
Si P es falsa.
Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera.
3. Sean P, Q y R fórmulas , entonces:
Si R Ú P ® Q Ù P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q?.
Si Q Þ Q Ù P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q?.
Si R Ù P Þ Q Ù P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
Si (Q Ú R) ® (P Ù Q) Ú R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
Si (P Þ Q) Þ ( R Ú P Þ R Ú Q) es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y
R?
Tautologías y Contradicciones
Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2,.
. . ,pnP es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad
que se asignen ap1, p2, . . . , pn.P es una Contradicción si es falsa para
todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn.En adelante,
notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología.Una
proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente,
Contingencia.
Ejemplo 1.8 Probar que la proposición compuesta p _ ¬p es una
tautología y la p ^ ¬p es una contradicción.

17. Solución
En efecto:
p ¬p
VF
FV
p _ ¬p
V
V
p ^ ¬p
F
F

18. Conclusion
Al realizar esta investigacion se pudo detrminar que la lógica
proposicional es uno de los lenguajes artificiales especialmente diseñados
para presentar formas de razonamientos y para determinar cuáles de ellas
corresponden a razonamientos válidos . Como la lógica proposicional es el
más simple de los lenguajes, no toda forma de razonamiento será
representable por su intermedio, y en consecuencia, sólo servirá para
estudiar formas muy elementales o reductibles. Es necesario señalar que
Una de las razones que motivó la aparición de la lógica matemática, fue
evitar la ambigüedad del lenguaje natural y transformar el pensamiento en un
cálculo, según el modo de operar de las matemáticas. Simplificar o simbolizar
las oraciones o juicios para poder operar con ellas, así surge el lenguaje
formal.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso
problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando
solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos
acumulados, se pueden obtener nuevos inventos, innovaciones a los ya
existentes o simplemente utilización de los mismos