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1. MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO
Centro de masa. Centro de gravedad. Centroides.

2. EL CENTRO DE MASA, GRAVEDAD Y CENTROIDE
• Observe el vídeo y comente el significado del centro de gravedad e
intente dar una definición del mismo. Haga lo propio con el centro de
masas.
http://www.youtube.com/watch?v=tpTAOeba4ho

3. PREGUNTAS DE INDAGACIÓN
• ¿Cómo se llama este punto apoyo?
• ¿La fuerza que aplica es igual al peso?
• ¿Es posible sostener en el punto de apoyo a cualquier cuerpo o importa
su “flexibilidad”?

4. LOGROS
• Al término de la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas
de centro de masa, centro de gravedad y centroide, utilizando fórmulas,
graficas y relaciones, con orden y precisión mostrando una buena
presentación.

5. MOMENTOS
• Hasta ahora se han calculado
momentos de fuerzas. Sin
embargo, en muchos problemas
de ingeniería aparecen
momentos de masas, fuerzas,
volúmenes, superficies o líneas
respecto a ejes o planos.
Ejemplo: Momento de una
superficie A (contenida en el
plano xy) respecto al eje y.
• La superficie puede considerarse
compuesta por elementos de
superficie muy pequeños de área
dA. Así, el momento de un
elemento respecto al eje será:
dMi  xidAi
• Y el momento total de la
superficie A respecto del eje y
será:
n
  
y i i M x dA o M x dA
y i i
 A
i
1
• El momento de una masa, fuerza,
volumen, superficie o línea
respecto a un eje, plano o línea
se definen de manera análoga.
x
y
dAi xi
0

6. CENTRO DE GRAVEDAD
• De acuerdo con la noción de Centro de Gravedad proporcionada en el
vídeo, explique la razón de que se mantenga el sistema en equilibrio. Use
términos como: peso, centro de gravedad, punto de apoyo.

7. CENTRO DE GRAVEDAD
• El peso de un cuerpo es la resultante
de las fuerzas distribuidas que la
Tierra ejerce sobre los puntos
materiales que constituyen el cuerpo.
• Se considera que el peso está
dirigido verticalmente a la superficie
terrestre.
• El centro de gravedad se halla
dividiendo la suma de los productos
de las coordenadas con sus pesos
parciales correspondientes por el
peso total del sistema.
1


CG i i
1


CG i i
zW
1
CG i i
W
z
yW
W
y
xW
W
x


W mg

r (x ,y ,z ) 1 1 1 1

r (x ,y ,z ) 2 2 2 2

r (x ,y ,z ) 3 3 3 3

r (x ,y ,z ) 4 4 4 4

8. CDG DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PESO
• Un elemento de peso en una distribución continua es
• donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y
dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:
• y según la definición de CDG:
• Análogamente,
dW   dV
W dV
  
V
x ( dV)





V
V
CG
dV
x
z ( dV)


y ( dV)








V
V
CG
V
V
CG
dV
y z
dV
y

9. CG DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PESO
Centro de gravedad

10. EJERCICIO
• Tres objetos de 2 kg cada uno
están localizados del modo
siguiente: el objeto 1 está en
x=10 cm, y=0; el objeto 2 está en
x=0, y=10 cm; y el objeto 3 está
en x=10 cm, y=10 cm. Hallar el
centro de gravedad del sistema.
• Hallar el centro de gravedad de
las varillas, cuyas posiciones se
indican en la figura.
2
4 5

11. EJERCICIO
• El hacha de piedra de la figura, en donde se muestran sus dimensiones,
está formada por una piedra simétrica de 3 kg atada al extremo de un
palo homogéneo de 1,5 kg. ¿A qué distancia del mango del hacha se
encuentra su centro de gravedad?
80 cm
15 cm
30 cm

12. EJERCICIO 2
• El hacha que está formada por una piedra simétrica y homogénea de 3 kg
está atada al extremo de un palo homogéneo de 1,5 kg y presenta tiene
una abertura en la parte central. Las dimensiones se muestran en el
dibujo. ¿Cuál es la posición del centro de gravedad?
80 cm
15 cm
30 cm
10 cm
4 cm
4 cm

13. • Es el punto de un sistema de puntos materiales en donde podría
concentrarse toda la masa, de manera que el momento de la masa
concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento
respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.
Si consideramos un sistema de n
puntos materiales, las distancias a los
planos de coordenadas del CDM G del
sistema de puntos materiales son:
n

1
CM i i
i 1

n

1
CM i i
i 1


1
CM i i




n
i 1
mz
m
z
my
m
y
mx
m
x
Donde: 
i m m


n
i
1
CENTRO DE MASA (CDM)

14. ECUACIÓN VECTORIAL DEL CDM
• Las ecuaciones anteriores pueden condensarse en una ecuación vectorial
• Que se reduce a
n
CM CM CM i i i i ) kˆz jˆy iˆx ( m ) kˆz jˆy iˆx ( m

    
i 1

• Ya que el vector posición del punto i-ésimo respecto al origen es
n

1
CM mi ri
i 1


m
r
kˆ
z jˆ
y iˆ
r x i  i  i  i
• Y el vector posición del CDM respecto al origen es
kˆ
z jˆ
y iˆ
r x CM  CM  CM  CM

15. ¿CENTRO DE MASA O CENTRO DE GRAVEDAD?
Caso 1 Caso 2
http://geotecnia-sor.blogspot.com/2013/06/historia-de-la-geotecnia-perfil.html

16. CENTROIDES DE CUERPOS COMPUESTOS
• Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos
respectivos centroides tengas posiciones conocidas, se podrá determinar
sin integración el momento de la línea, superficie o volumen total
sumando algebraicamente los momentos (producto de la longitud, área o
volumen por la distancia del centroide al eje o plano) de las partes.
• Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2,
…, An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son
tendremos:
n

i 1

1
A
M
A
x
análogamente
n
A x
i i
 x , x , ..., x
i 
1
1 2 n y
 
x
M
 
A y
i i
1
A
A
y
• Si se tiene un agujero, su área se considerará magnitud negativa.

17. EJERCICIO
• Hallar el centroide del siguiente cuerpo homogéneo
3 3 cm
8 cm 6 cm
24 cm
4 cm
4 cm 2 cm
15 cm

18. EJERCICIO
• Determinar el radio r del círculo perforado sabiendo que el radio del
círculo mayor es R y el centro de gravedad de la parte sombreada es (0,-
2R/5).

19. EJERCICIO

20. CENTROIDES DE LÍNEAS Y SUPERFICIES

21. CENTROIDES DE LÍNEAS Y SUPERFICIES

22. CENTROIDES DE VOLÚMENES

23. CENTROIDES DE VOLÚMENES

24. CONCLUSIONES
1. ¿Cómo aprendí a resolver problemas de centro de masa para
distribuciones discretas y continuas
2. ¿Cuánto aporte a la solución grupal de cada ejercicio?
3. ¿En qué forma contribuye estos problemas en mi formación?
4. ¿Qué recursos podrían mejorar mi aprendizaje?

25. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. 530 SEAR 2009 V.1SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA
UNIVERSITARIA. Biblioteca física y virtual