Centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas

Centros de Gravedad, Centroides
y Fuerzas Distribuidas

Introducción
Un cuerpo está formado por muchas partículas y la
Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre cada una
de esas partículas, pero se puede considerar como
una sola fuerza aplicada en un punto denominado
Centro de Gravedad.

CENTRO DE GRAVEDAD DE
UN CUERPO BIDIMENSIONAL

Centro de gravedad de un cuerpo
bidimensional
1 1A(x ,y )
w1
w2
B(x2,y2)
w3
C(x3,y3)
Consideremos la siguiente placa plana:
La cual se considera
dividida en n partes. Si se considera una sola
fuerza W ubicada en un
punto G.
Los momentos de W con respecto a
los ejes x y y son iguales a la suma de
los momentos correspondientes de los
pesos elementales:

Centro de gravedad de un cuerpo
bidimensional
Si se aumentan el numero de elementos en que se divide la
placa se obtienen las siguientes expresiones:
Estas ecuaciones
definen el peso W y
las coordenadas y
del centro de
gravedad G de la
placa plana.

CENTROIDES DE ÁREASY
LÍNEAS
(CENTROIDS OF AREASAND LINES)

Centroides de áreas y líneas
Para una placa plana homogénea de espesor uniforme se
tiene que:
Donde  es el peso específico del material.
Si t es el espesor del material y A el área de la placa, se
tiene que:
Sabiendo que:
Estas ecuaciones definen las coordenada y del centro de gravedad de la
placa homogénea. Este punto también se conoce como centroide C del
área de la placa.

Centroides de áreas y líneas
En el caso de un alambre homogéneo de sección
transversal uniforme las coordenadas del centroide se
obtienen a partir de las ecuaciones:

PRIMEROS MOMENTOS DE
ÁREAS YLÍNEAS
(FIRST MOMENTS OF AREASAND LINES)

Profesor Alfredo Abuchar
Primeros momentos de áreas y líneas
Las integrales y se conocen como el
primer momento del área A con respecto al eje “x”
(Qx) y primer momento del área A con respecto al eje
“y” (Qy), respectivamente.
Los primeros momentos de áreas son importantes
también en la mecánica de materiales para determinar los
esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales.

Primeros momentos de áreas y líneas
Centroides de áreas comunes

PLACASYALAMBRES
COMPUESTOS
(COMPOSITE PLATESANDWIRES)

Placas y alambres compuestos
Suponga la placa plana de la figura mostrada:
x
y
A1
A2
A3
Para determinar las coordenadas
de su centroide se puede dividir
en varias figuras más comunes
para facilitar la solución.
De donde:

Ejercicio 1 (5.2 Statics. Beer,ninth edition)
Locate the centroid of
the plane area shown

A1
A2
A1
A2 540 30 36 16200 19440
1740 28200 55440
1200 10 30 12000 36000

A1
A2
A1 280 7 10 1960 2800
A2 -50.27 6 12 -301.59 -603.19
229.73 1658.41 2196.81

Ejercicio 3 (5.13 Statics.Beer,ninth edition)

A1
A2
A1 706.86 12.73 32.73 8998.33 23135.53
A2 200 9
906.86
15 1800 3000
10798.33 26135.53
Vercentroide
de un cuartode
área circular
Vercentroide
de enjuta
parabólica

A uniform circular rod
of weight 8 lb and
radius 10 in is attached
to a pin at C and to
the cable AB.
Determine: a) the
tension in the cable, b)
the reaction at C.
Ver centroide
un cuarto de
arcocircular

Member ABCDE is a component
of a mobile and is formed from a
single piece of aluminum tubing.
Knowing that the member is
supported at C and that l= 2m,
determine the distance d so that
portion BCD of the member is
horizontal.

AB 0.75 0.2151 -0.3072 0.1613 -0.2304
x BD 1.5 0.75 0 1.125 0
DE 2 0.9264 -0.8192 1.8528 -1.6384
4.25 3.1391 -1.8688
y

For the machine element shown locate the y
coordinate of the center of gravity

Placas y alambres
compuestos
V2 V3
V1
V1 21 2 -0.375 3.5 42 -7.875 73.5
V2 4.7124 2 -0.375 7.8488 9.4248 -1.7672 36.9867
V3 -3.6816 2 -0.375 7 -7.3632 1.3806 -25.7712
V4 8 0.5 1 2 4 8 16
V5 -2.4544 0.5 1.4695 2 -1.2272 -3.6067 -4.9088
27.5764 46.8344 -3.868395.8067
V5
V4
Ejercicio 6 (5.103 Statics.Beer,
ninth edition)

DETERMINACIÓN DE
CENTROIDES POR
INTEGRACIÓN
(DETERMINATION OF CENTROIDS BY INTEGRATION)

Determinación de centroides por
integración
El centroide de un área limitada por curvas
analíticas se puede determinar evaluando las
integrantes de las ecuaciones:
y son las coordenadas del centroide del
elemento .
Si la línea está definida por una ecuación algebraica,
su centroide se puede determinar por las
ecuaciones:

integración
Determine by direct integration the centroid of the
area shown. Express your answer in terms of a and b.

integración
y
x
1. Hallar k:
2. Hallar elárea:
3. El primer momento de área con
respecto al eje x es:
4. El primer momento de área con respecto al eje y es:
5. Se sabe que:
5. Remplazando y despejando:

TEOREMAS DE
PAPPUS-GULDINUS
(THEOREMS OF PAPPUS-GULDINUS)

Teoremas de Pappus-Guldinus
¿Si se tienen las siguientes figura y se rotan con
respecto al eje indicado que figura se obtiene?
Teorema 1:
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de
la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el
centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

¿Si se tienen las siguientes figura y se rotan con
respecto al eje indicado que figura se obtiene?
Teorema 1I:
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área
generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el
centroide del área al momento de generar el cuerpo.

Determine the volume and the surface area of the
solid obtained by rotating the area of Pro. 5.2 about a)
the y axis, b) the line y=60 mm.

tenemos:
Se sabe del teorema 2:a) Con respecto al eje y:
L 20 10 200
L2 24 20 480
2 L3 30 35 1050
1 L4 46.86 35 1640.1
Del primer ejemplo L5 20 10 200
1
L6 60 0 0
3570.1
5
4
3
6
Se sabe del teorema 1:

b) Con respecto a la línea y = 60 mm:
5
4
6
3
2
1
y=60
L1 20 60 1200
L2 24 48 1152
L3 30 36 1080
L4 46.86 18 843.48
L5 20 0 0
L6 60 30 1800
6075.48
A1
A2
1200 30 36000
540 24 12960
48960

CARGAS DISTRIBUIDAS EN
VIGAS
(DISTRIBUTED LOADS ONBEAMS)

Cargas distribuidas en vigas
Si una viga soporta una carga distribuida, puede
considerarse que dicha carga está aplicada en se centroide.
Esto es válido únicamente para determinar las reacciones
de la viga.
Una carga distribuida que actúa sobre una viga puede
reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de
dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea
de acción para a través del centroide de dicha área.

Determine the reactions at the
beam supports for the given
loading

5
2
100
24
124
F=32kN
=
Rectángulo 20
Triángulo 12
32
RA
3.875m
MA

A beam is subjected to a linearly distributed downward load
ans rests on two wide supports BC and DE, which exert
uniformly distributed upward loads as shown. Determine
the values of wBC and wDE corresponding to equilibrium
when wA=600N/m.

Ejercicio 10 (5.144 Statics.Beer, ninth edition)
F=5.4 kN
FDE1?m FBC
5?m
3.?33m

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