Sistemas Reparables y Analisis de Weibull - Rodrigo Pascual - PUC.pdf

PRIMERAS JORNADAS DE GESTION DE ACTIVOS & EFICIENCIA
ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Laboratorio de Gestión de Activos UC
www.gestiondeactivos.uc.cl
Minería UC
Pontificia Universidad
Católica de Chile
Sistemas reparables y
análisis de Weibull

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Objetivo de esta clase
• Al terminar esta unidad, debes ser capaz de:
▫ Estimar parámetros de confiabilidad de Weibull
▫ Optimizar los intervalos para
mantenimiento/reemplazo preventivo de
componentes minimizando el riesgo económico

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Tiempos mejores
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 20 40 60 80
Confiabilidad
Edad (años)
Londres ~1650
EE.UU. 1993
Fuente: P. Bernstein, Against the gods: the remarkable history of risk, J. Wiley & sons, 1996.

ENERGETICA
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Católica de Chile
Uso y vejez
Indy… you're not
the man I knew ten
years ago…
Fuente: Spielperg, S., Raiders of the lost ark, Paramount Pictures, 1981.

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Uso y vejez
It's not the years,
honey, it's the
mileage…

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
20
15
10
Interval
o(
meses
)
600
500
400
300
Intervalo
(
horas
de
vuelo)
2005
“A” check
1988 1998
1993
2005
“C” check
1988
24
Mantenimiento aeronáutico
Fuente: Di Prospero, I., FIDAE, Santiago, 2008.

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Motivación
Edad (ut)
Componente no reparable
ut: unidad de tiempo
um: unidad monetaria
x
x
x
x
Unidad

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Motivación
x x x x
tiempo
Edad (ut)
Componentes reparables
Componente no reparable
ut: unidad de tiempo
um: unidad monetaria
x
x
x
x
Unidad

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Sistema triste
• Diagrama Nelson-Aalen o N(t)
Fuente: Ascher, H., and H. Feingold, Repairable Systems Reliability. Modeling,Inference, Misconceptions and
Their Causes, Marcel-Dekker, New York, 1984.
Tiempo entre fallas

ENERGETICA
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Motor Diesel de submarino
A B
Fuente:Rausand, M., Hoyland, A., System Reliability Theory, 2nd ed., Wiley, New York, 2004.

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Banco de resistencias
Inyectora de Termoplásticos
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5000 10000 15000 20000
Número
de
Fallas
Acumulado
Tiempo Calendario (horas)
Banco de
resistencias
Piezas
moldeadas pellets
Fuente: C. Llanos, R. Lozano, F. Muñoz, N. Seitz,
informe final proyecto ME57a, Universidad de Chile, 2006.

ENERGETICA
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Minería UC
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Análisis de confiabilidad
Weibull

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad y carga
Carga
%
0
100
γ

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad y carga
Carga
%
0
100
γ
β
η
γ







 −
−
t
e

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad
Edad
x
x
x
x
R(t)+F(t)=1
Unidad

ENERGETICA
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Asumiendo i.i.d.
• Confiabilidad
▫ Estimación inicial
i= 1 2 3 4
x x x x
tiempo
Edad

ENERGETICA
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Estimación de F (II)
-rangos medios-
25% 100%
F=i/n
20% 80%
F=1/n
F=1/(n+1)

ENERGETICA
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Católica de Chile
III. rangos de la mediana
• Importancia de las colas
25% 100%
20% 80%
F=i/n
F=i/(n+1)
F=(i-0.3)/(n+0.4) 16% 84%
Rangos de la mediana
Fuente:
A.
Benard
and
E.C.
Bos-Levenbach,
The
plotting
of
observations
on
probability
paper,
Report
SP
30
of
the
Statistical
Department
of
the
Mathematics
Centrum,
Amsterdam,
1953.

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Observación
• Cuando edades iguales, se puede promediar los rangos iniciales
asociados a las observaciones repetidas [Benard’53] para obtener un
rango ajustado común para ellas:
(2+3)/2
i edad falla i' i'/(n+1)
1 34 1 0.2
2 55 2.5 0.5
3 55 2.5 0.5
4 70 4 0.8

ENERGETICA
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Distribución de Weibull
• en estudios de confiabilidad
▫ sistemas mecánicos.
• Ventajas
▫ muy flexible,
▫ adaptable a una variedad de observaciones
experimentales.

ENERGETICA
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Distribución de Weibull
de 3 parámetros
 β: parámetro de forma (adimensional)
 η: vida característica (ut)
 γ: vida asegurada/predesgaste (ut)
0 1 2
0
1
1.6
Edad
λ
β=.5
β=1
β=3
η=2
β
η
γ







 −
−
=
t
e
t
R )
(
1
)
(
−







 −
=
β
η
γ
η
β
λ
t
t
Si t>γ
Si t>0
1
)
( =
t
R
0
)
( =
t
λ

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Si γ=0
b
ax
y
t
t
F
+
=
−
=
















−
η
β
β ln
ln
)
(
1
1
ln
ln
β
η 







−
=
t
e
t
R )
(
t
x ln
=
( )
R
y ln
ln −
=

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
MTTF, MTBF
• Estrategia correctiva
• Weibull 3 parámetros





 +
Γ
+
=
β
η
γ 1
1
MTBF

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
MTTF, MTBF
• Weibull 3 parámetros
• Estrategia preventiva a edad Ts
x
x
x
x
x
x
x
Tiempo calendario
N
Nuevo plan preventivo





 +
Γ
+
=
β
η
γ 1
1
c
MTBF
=γ+η*exp(gamma.ln(1+1/β))

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Aplicación práctica
1. Obtener n observaciones, ordenar
2. Estimar la función de distribución F
1. F(i) = (i )/(n + 1)
2. F(i) = (i – 0.3)/(n + 0.4)
3. Calcular pares (X,Y), Graficar
4. Ajustar la mejor recta

ENERGETICA
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Católica de Chile
Ejemplo, población de componentes
• Un grupo de rodamientos tuvieron las siguientes
duraciones:
• 801 312 402 205 671 1150 940 495 570
• Se desea conocer la confiabilidad para una vida
de 600 horas y el MTTF.
Fuente:Lyonnet, P., Maintenance Planning, Methods and Mathematics. Chapman & Hall, 1991.

ENERGETICA
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Power distribution unit
Leopard I
A (min) B (min) C (min)
1 152 155 204
2 175 187 216
3 178 224 238
4 184 245 249
5 243 305 257
6 257 314 319
7 260 316 331
8 270 330 331
9 277 339 359
10 344
11 346
Apd: Genk, Mechanical Fatigue and Life Estimation Analysis Of
Printed Circuit Board Components, MSc thesis, Middle East Technical
University, 2006.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 500
Confiabilidad
Edad (min)
A
B
C

ENERGETICA
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Católica de Chile
Curva de Weibull para γ > 0
x
x
x
x
x
x
Ln t
Ln(ln(1/R))
x
x=ln t
y=ln(-ln R)

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Ejemplo γ≠0
ut: Kh
2.2
2.8
3.3
3.8
4.3
4.7
5.3
5.8
6.3
6.7
7.2
7.8
8.5
9.2
10.5
11.0
12.6
14.1
15.8

ENERGETICA
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Católica de Chile
Ajuste para γ=0
7.5 8 9 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ln t
Ln(-ln
R)

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
800 900 1000 1100 1200 1300 1400
γ
Error
cuadratico
b
ax
y
t
t
F
+
=
−
=
















−
η
β
β ln
ln
)
(
1
1
ln
ln

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Ajuste óptimo
✔
γ :Vida asegurada o
Predesgaste





 +
Γ
+
=
β
η
γ 1
1
c
MTBF
7.5 8 8.5 9 9.5 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ln t
ln(ln(1/(1-F)))
γ=0
6.5 7 8 9 10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ln t
ln(ln(1/(1-F)))
γ=1280

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
Vida característica
• Si t= γ+η
R(t)=exp(-1)=37%
β
η
γ







 −
−
=
t
e
t
R )
(

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
MTTFc & MTBFc
• Si la edad está en horas operación, MTTFc
• Si esta en horas, MTBFc





 +
Γ
+
=
β
η
γ 1
1
c
MTBF
=γ+η*exp(gamma.ln(1+1/β))

ENERGETICA
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Minería UC
Católica de Chile
• A:fallar durante {t,t+dt}
• B:sobrevivir hasta t

ENERGETICA
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Católica de Chile
Densidad de probabilidad y tasa de fallas
 f(t)dt=R(t) λ(t)dt
P(fallar durante dt
dado que se sobrevivió
hasta t)
P(sobrevivir hasta t)
P(fallar durante dt)

ENERGETICA
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Católica de Chile
int(1/(1-x))=-ln(1-x)+cte

ENERGETICA
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• “Plans are
nothing,
planning is
everything”

ENERGETICA
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Un motor
• A
▫ Dura 300K Km
▫ Cuesta 200 KUSD
• B
▫ Dura 260K Km
▫ Cuesta 140 KUSD
• ¿Cuál comprarías?

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Viejos tiempos
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
1 2 3 4 5 6 7
• ¿Nota esperada?
Nota
Probabilidad

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Viejos tiempos
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
1 2 3 4 5 6 7
• ¿Nota esperada?
Nota
Probabilidad
∑
=
=
7
1
i
i
i p
C
C
4.05

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Costo global correctivo por unidad de tiempo (valor esperado)
• cgc=(Cic + Cfc)/MTBF
Si Weibull,
x x x x x
Tiempo calendario

ENERGETICA
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Católica de Chile
Mantenimiento preventivo
edad
Ts
f(t)
F(t)
x o x o x
Tiempo calendario
x
Ts Ts
Ts
R(Ts) Cgp
Tf
F(Ts) Cgc
Cg=Cgp R(Ts)+Cgc F(Ts)
MTBI(Ts)=TsR(Ts)+TfF(Ts) Tf

ENERGETICA
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Católica de Chile
Costo m. preventivo por unidad de tiempo (valor esperado)
x o x o x
Tiempo calendario
x
Ts Ts
Cgp R(Ts)+Cgc F(Ts)
cg=
MTBI(Ts)
Cip R(Ts)+Cic F(Ts)
ci=
MTBI(Ts)

ENERGETICA
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Católica de Chile
Tiempo medio entre intervenciones
(Mean Time Between Interventions)
x o x o x
Tiempo calendario
x
Demanda de
Repuestos=f(Ts)
MTBI=
MTBI(Ts)=TsR(Ts)+TfF(Ts)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
1
1
Weibull de 2 parámetros
Excel
= η/β*DISTR.GAMMA((Ts /η)^β;1/β;1;1)*EXP(GAMMA.LN(1/β))
Ts
MTBI
MTBFc
Ts
Ts
Maple
GAMMA(1/ β,(Ts/η)^ β))*(1-(1/GAMMA(1/ β));

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
MTBI(Ts)=γ+ η/β*DISTR.GAMMA(((Ts- γ )/η)^β;1/β;1;1)*EXP(GAMMA.LN(1/β))
Para Ts> γ
Para Ts< γ
MTBI(Ts)=Ts
Ts
γ
MTBI
MTBFc
1
1

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso: embrague
• Análisis de Pareto de
▫ MTTR
 Embrague
 componente critico
Embrague
λ
TFS
x x
x
x
x
x
Selección de
subsistema
/
componente
Análisis de
tendencia
Análisis de
Weibull
Estimación de
parámetros de costo
Cálculo de razones
de costo
Selección de
estrategia
¿Weibull
?
Otros
análisis
no
Historiales de
falla y costos
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
Componente
%
acumulado
MTTR

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Weibull
• Historial
▫ Estrategia correctiva
i Edad
1 11
2 22
3 34
4 42
5 50
6 61
Selección de
subsistema
/
componente
Análisis de
tendencia
Análisis de
Weibull
Estimación de
Cálculo de razones
de costo
Selección de
estrategia
¿Weibull
?
Otros
análisis
no
Historiales de
falla y costos

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Costo de intervención
cambiar los discos del embrague
• Mano de obra: 26 um
• repuestos :4 um,
• Cip = Cic = 26+4=30
um
um:103 francos
Selección de
subsistema
/
componente
Análisis de
tendencia
Análisis de
Weibull
Estimación de
Cálculo de razones
de costo
Selección de
estrategia
¿Weibull
?
Otros
análisis
no
Historiales de
falla y costos

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Costo de falla
• Cfc estimado: 2 Cip
▫ 60 um
• Las preventivas son
oportunistas
Selección de
subsistema
/
componente
Análisis de
tendencia
Análisis de
Weibull
Estimación de
Cálculo de razones
de costo
Selección de
estrategia
¿Weibull
?
Otros
análisis
no
Historiales de
falla y costos

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
0.930
0.940
0.950
0.960
0.970
0.980
0.990
1.000
1.010
1.020
0 20 40 60 80 100 120
Intervalo entre preventivas (semanas op.)
Razon
costos
(MPrev/MCorr)
Cf/Ci=2
Tr=2 sem.
To/Tr=.2 disponibilidad
Costo
global
disponibilidad

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Diagrama de dispersión de tiempos
0.1
1
10
100
0.001 0.010 0.100
Frecuencia (1/ut)
Tiempo
Fuera
Servicio
(ut)
Correctivas
Preventivas
2%
Tp=1
Tc=2 sem
Ts=20 sem

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Diagrama de dispersión de tiempos
0.1
1
10
100
0.001 0.010 0.100
Frecuencia (1/ut)
Tiempo
Fuera
Servicio
(ut)
Correctivas
Preventivas
2%
Tp=1
Tc=2 sem
Ts=20 sem Ts=50 sem

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Max A
• To, duración de una
preventiva
• Tr, duración de una
correctiva
▫ Ac=MTTF/(MTTF+Tr)
• Estrategia preventiva
Ap=MTBI/[MTBI+ToR+TrF]

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Integrando resultados
0.900
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.500
0 20 40 60 80 100 120
Razon
costos
(MPrev/MCorr)
disponibilidad costo
global
Costo
intervención

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Distribución de bañera y muerte
aleatoria para edades avanzadas
Aporte primavera 2013

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0 50 100
λ Edad (ut)
1
2

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Edad (ut)
Confiabilidad
restart;eta := 63;
beta:=3;lambda1:=0.3;lambda2:=0.05;
alpha:=0.2;
lambda:=t->lambda1*exp(-
(alpha*t))+lambda2*(1-exp(-(t/eta)^beta));
R:=t->exp(-(int(lambda(tau), tau = 0 .. t)));
plot(R(t),t=0..120);
mtbf:=evalf[3](int(R(tau),tau=0..500));

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Cp:=2;Cc:=6;
cg:=t->(Cp*R(t)+Cc*(1-R(t)))/int(R(tau),tau=0..t);
Costos
(um/ut)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
t0:=30;
Rc:=t->R(t+t0)/R(t0);
MRL:=evalf[3](int(Rc(t),t=0..1000));
plot(Rc(t),t=0..100);
t0 MRL
1 2
30 50 40,7
110 20,1 20,1

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Esperanza de vida (MTTF)
82.7
81.5
81.4
81.2
81.1
80.6
80.5
80.3
80.0
79.9
79.8
79.3
78.8
77.9
75.6
74.8
73.8
73.1
67.8
Japan
Switzerland
Australia
Italy
Sweden
Iceland
France
Spain
Israel
Canada
Luxemxourg
Norway
Austria
New Zeland
Nether lands
Germany
Greece
Fi nland
Ireland
Korea
Belgium
United Kingdom
Portugal
OECD
Chile
Denmark
Slovenia
United States
Czech Rep.
Poland
Mexico
Slovak Republic
Estonia
Hungary
Turkey
China
Brazil
Indonesia
Russian Fed.
India
51.5 South Africa
Fuente: OCDE, Society at a Glance, OECD social indicators, 2011.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Vida residual esperada a los 80 años
8
7
6
1960 1970 1980 1990 2002
Mujeres
Hombres
Fuente: OCDE, Society at a Glance, OECD social indicators, 2005.
9

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Vida remanente esperada
Confiabilidad condicional
R
Edad
t0
t
0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
R(t|t0)?
t0 t
¿Cuánto le queda?

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Probabilidad condicional
Dado 1
Dado 2 1 2 3 4 5 6
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
Antes de lanzar el 1er dado,
Dado 1
Dado 2 1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1/6 0 0
2 0 0 0 1/6 0 0
3 0 0 0 1/6 0 0
4 0 0 0 1/6 0 0
5 0 0 0 1/6 0 0
6 0 0 0 1/6 0 0
Después, si salió un 4
A:”Salen 2 cuatros” B:”Sale un 4 en el 2do dado”

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
(Mean Residual Life)
• Confiabilidad
condicional
▫ probabilidad que el
componente
sobreviva t ut mas
▫ dado que
 ha sobrevivido t0 ut
desde que estaba como
nuevo
ut:unidad de tiempo
∫
∞
=
0
0 )
(
)
( 0
dt
t
R
t
MRL t
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
t
R
dt
t
R
dt
t
R
t
MRL
t
∫
∫ −
=
∞
Apd: . Banjevic, Remaining useful life in theory and practice Metrika, 69, 337–349, 2009.
)
(
)
(
)
|
(
)
(
0
0
0
0
t
R
t
t
R
t
t
R
t
Rt
+
=
=

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Fórmulas útiles
= (η*EXP(GAMMA.LN(1+1/β))-η/β*DISTR.GAMMA((t0/η)^β;1/β;1;1)*EXP(GAMMA.LN(1/β)))/exp(-1*(t0/η)^β)
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
t
R
dt
t
R
dt
t
R
t
MRL
t
∫
∫ −
=
∞
)
(
)
(
)
(
0
0
0
t
R
t
MTBI
MTBF
t
MRL c −
=
x o x o x
Tiempo calendario
x
t0 t0
x x x x x x
M. correctivo
M. preventivo

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Ejemplo
β=1/2,1,2
η= 100 ut
t0=3/2MTTF( β,η)
R0
t
Confiabilidad
condicional
Vida remanente

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Gompertz-Makeham
Fuente: L.A. Gavrilov, N.S. Gavrilova, Why We Fall Apart. Engineering'S Reliability Theory Explains Human Aging, IEEE
Spectrum, 41(9), 30-35, 2004.
Gompertz, B., On the nature of the function expressive of the law of human mortality and on a new mode of determining
life contingencies} Philos. Trans. Roy. Soc. London A 115, 513–585, 1825.
Makeham, W. M., On the law of mortality, J. Inst. Actuaries 13, 325-358, 1867.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Esperanza de vida de seres humanos
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 50 100
Tasa
de
fallas
(1/ut)
Edad (ut)
𝜆𝜆(𝑡𝑡) = 𝜆𝜆 0
+ 𝜆𝜆 1𝑒𝑒𝛼𝛼𝛼𝛼
Edad (años) λ (1/año)
20 0,002
40 0,005
50 0,0082
82 0,041
-
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 50 100
Tasa
de
fallas
(1/ut)
Confiabilidad
Edad (ut)
𝑅𝑅 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒− ∫0
𝑡𝑡
𝜆𝜆 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∫0
∞
𝑅𝑅 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑇𝑇0) = ∫0
∞
𝑅𝑅𝑡𝑡𝑡 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Fuente: L.A. Gavrilov, N.S. Gavrilova, Why We Fall Apart. Engineering'S Reliability Theory Explains Human Aging, IEEE Spectrum, 41(9), 30-35, 2004.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad de misión

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad de misión (o en horizonte de
planificación)
• Sistema reparable
• MP: cada T ut
0 5 10 15 20 25 30
0.8
0.85
0.9
0.95
1
Tiempo acumulado (ut)
Confiabilidad

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Tras n intervalos MP
Probabilidad de que el sistema no falle en n
ciclos MP

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Estudio de caso
HV Circuit breakers
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,50 2,00 2,50
Ln
(Ln
(1/R))
Ln(t)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
20 30 40 50
Confiabilidad
Tiempo en servicio (años)
Edad (años)
5,6
7,3
8
8,5
9,8
10,4
10,7
12
Apd: C. Cortes, EGAF VII, PUC, 2009

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 5 10 15 20 25 30
Confiabilidad
de
misión
Duración de la misión (años)
T=7 años
T=5 años
T=3 años
Fuente: P. Choonhapran, Applications of High Voltage Circuit-Breakers and Development of Aging Models,
Universidad Técnica de Darmsdat, Alemania, 2007.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Aporte otoño 2013
Comienza misión envejecido
beta 2
etha 10
t 30
T 4
N 7
Resto 2
R(4/7) 48,7%
R(4) 85,2%
R(2) 96,1%
R 17,9%

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Ejercicio

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
β=2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Confiabilidad
Sin MP
MP (solo ciclo actual)
MP (ciclos acumulados)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
β=0.7
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Confiabilidad
Sin MP
MP (solo ciclo actual)
MP (ciclos acumulados)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Aporte otoño’14
Confiabilidad de misión
A
B
A
β=3
η=6
B
β=4
η=10
Rs(t)=1-F1(t)*F2(t)
Rm(Tm)=Rs(T)*Rs( ∆T)
T T T ∆T
Tm
80%
85%
90%
95%
100%
3 3,5 4 4,5 5
Rm
T (ut)
Tm=30 ut

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Comentarios
 R(t)
 MTBF
 λ(t)
 β,η Weibull
 γ vida asegurada/
predesgaste
 vida remanente
esperada
 confiabilidad
condicional
Datos históricos
(sin suspensiones)
Análisis de
confiabilidad
Edad
✔

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Análisis de confiabilidad con
suspensiones

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Censura
• Datos incompletos
▫ se han detenido
componentes antes de su
falla
 Mantenimiento preventivo
 Falla por otro modo de falla
▫ ensayo es terminado antes
de que fallen todas las
unidades.
Edad
Edad

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Datos censurados
• ti
▫ instante de una falla
• t+
i
▫ instante de censura.
• Se asumirá
▫ vida de las unidades censuradas sigue la misma distribución que
aquellas que no lo han sido.
Suspensión
Edad
x o x o x
Tiempo calendario
x
Ts Ts

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Lewis’87, sin censura
Fuente:Lewis, E.E., Introduction to Reliability Engineering, John Wiley & sons, N.Y., 1987.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Luego,
recursivo

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Obs
• Si en ti
▫ ocurre una censura
• R no se ajusta:
+: censura

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
luego

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Procedimiento
i=0, inicio de la recursividad
historial de fallas
y censuras
De i=1 a N
Ordenar por
edades
Calcular
Ri(Ri-1)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Turbocompresor
excavadora
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
ln
-ln
R
ln t
turbocompresor11-data.xlsx
Costo int. Prev 4KUSD
Costo int. Corr 6KUSD
Costo de falla
Prev 0KUSD
Costo de falla
Correc 10KUSD
Reemp. Prev. 2Horas
Reemp. Corr. 6Horas

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Ejercicio
• Se han registrado los siguientes instantes de
fallas y censuras en un grupos de 10 alabes de
turbina; 150,340+, 560,800, 1130+, 1720,
4210+, 5230, 6890 (horas de vuelo). Censuras:
edad de alabes que no han fallado hasta hoy.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Estudio de caso
Motores eléctricos
Apd: A. Jardine, A. Tsang, Maintenance, replacement and reliability, CRC press, 2006.
t (hrs.op.) censura?
550 0
720 0
880 0
1020 0
1180 0
1330 0
1490 0
1610 0
1750 0
1920 0
2150 0
2325 0
2415 0
3435 1
3775 1
3775 1
4375 1
4375 1
4375 1
4375 1
-3,50
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0
Ln
-ln
R
ln t

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
-3,50
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0
Ln
-ln
R
ln t

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Intervalos para preventivas, tamaño
de pedido y punto de reorden
p_u 1000USD/u
Tp 3hrs
Tc 8hrs
cf 800USD/hr.f.s.
Cgp 1000USD
Cgc 7400USD
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 1000 2000 3000
Costo
global
(USD/hr.op.)
Edad (hr.op.)
MTBI* 900horas.op.
n 3
z 2
MTBI* 7,5semanas
lambda_bod 42u/año
Cad 500
i 10%anual
q* 20motores
Td 6semanas
Td 0,12años
qw 9
alpha 97%
5 días/semana
3 turnos/día

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Estudio de caso
Discos de compresor turbina aviación
Discos A Discos B
Edad Edad
(ciclos de
carga) Causa (ciclos de carga) Causa
1 9066Failed 15537 Failed
4 24750Unfailed 23880 Unfailed
5 36047Failed 32885 Unfailed
Low cycle fatigue endurance test
Material: titanium (Ti-6Al-4V) alloy @11200 rpm
Failures: bolt hole cracks exceeding 0.7938 mm
Discos A Discos B
Fuente: M.E. Melis, E.V. Zaretsky, R. August, Probabilistic Analysis of Aircraft Gas Turbine
Disk Life and Reliability, NASA/TM—1999-107436, 1999.
W.Z. Zhuang, Prediction of crack growth from bolt holes in a disc
International Journal of Fatigue, 22, 241–250, 2000

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Edad (ut)
pdf
F
R

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Inspección de tubos de calderas
t (meses) F
12 0,70%
26 4%
38 8%
51 12%
59 20%
Apd: R. Abernethy, W. Fulton, New Methods for Weibull & Log Normal Analysis, ASME, 1992.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
y = 2,0905x - 10,11
-6,0
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
ln-lnR
ln t
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 50 100 150 200 250
Confiabilidad
Edad (meses)
beta 2,09
eta 126

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados: Discos A
y = 1,4607x - 14,922
R² = 0,9869
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
9,0 9,5 10,0 10,5 11,0
ln-lnR
ln t
0%
20%
40%
60%
80%
100%
-10000 10000 30000 50000
R
Ciclos de carga
“A reasonable correlation was obtained between the disk lives predicted by using the computer
code Probable Cause and those predicted by using a modified crack growth life prediction method.
Both methods slightly overpredicted the life for disks A and significantly underpredicted life for
disks B.”
“The failure probability analysis for both disk groups predicted with reasonable engineering
certainty the failure locations at the bolt holes of each disk.”

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso: neumáticos
Rango (hrs. op.) n
0-500 12
500-1000 36
1000-1500 61
1500-2000 50
2000-2500 16
2500-3000 7
3000-3500 3
0
10
20
30
40
50
60
70
0-500
500-1000
1000-1500
1500-2000
2000-2500
2500-3000
3000-3500
N°
fallas
Duración (horas. op.)
Apd: A. Dey, J. Bhattacharya, S. Banerjee, Prediction of field reliability for dumper tyres, International Journal of Surface Mining, Reclamation and Environment, 8, 23-25, 1994
Covariables relevantes: Underinflation, Overinflation, Heat Generation: speed and haul length, road condition, driving style, others

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5
ln
-
ln
R
ln t
Datos
Weibull 3P
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
-500 500 1500 2500 3500
Confiabilidad
Edad (horas. op.)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Mandos Finales
CAT 785B
Fuente: Dr. Darko Louit, PUC Santiago

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Ejemplo: fallas de los mandos finales, flota Cat
785B
• Flota de 12 camiones
• 6 fallas: 2137, 2601,3717,4510,5131,
5393
• 6 fallas infantiles (defectos de
fabrica):350, 603, 1087,1283,
1889,2259
• No han fallado en 6 camiones con 4320
hrs.op., ni en 6 camiones con 4860
hrs.op., ni en 5 camiones con 6480
hrs.op., ni en 1 con 7020 hrs.op.
./datos/cat785b-datos.xls

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Ejemplo: fallas de los mandos finales, flota Cat
785B
(Flota de 12 camiones)
./datos/cat785b-datos.xls
rango Edad (horas) censura?
1 350 1
2 603 1
3 1087 1
4 1283 1
5 1889 1
6 2137 0
7 2259 1
8 2601 0
9 3717 0
10 4320 1
11 4320 1
12 4320 1
13 4320 1
14 4320 1
15 4320 1
16 4510 0
17 4860 1
18 4860 1
19 4860 1
20 4860 1
21 4860 1
22 4860 1
23 5131 0
24 5393 0
25 6480 1
26 6480 1
27 6480 1
28 6480 1
29 6480 1
30 7020 1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0
hrs. op.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Cat 785B
β ~ 2.3
η ~ 8760 hrs.op.
y = 2.30x - 20.795
-3.500
-3.000
-2.500
-2.000
-1.500
-1.000
-0.500
0.000
7.600 7.800 8.000 8.200 8.400 8.600 8.800

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Costos de intervención esperados
Cic=3Cip
Cip, (1-R)
Cip, R
correctiva
Cip=85000 USD
cic=32.9 USD/hora
Ahorro=32.9*(1-0.82)*8760=52300 USD/año
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
Intervalo entre preventivas (horas op.)
Costo
(USD/hr.op.)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Misión: Intervalo finito
Caso mandos finales camión minero
T=5η
0 5 10 15 20 25
T=2η
0 5 10 15 20 25
T=1/2η
β=2.3
η=8.8 Khr.op.
Cp=85 KUSD
Cf=3Cp
0 5 10 15 20 25
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tp
(Kh.op.)
Costo
total
(KUSD/Kh.op.)
Simulación
Modelo analítico

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
RTD
Edad (hr)
1560
2705
3960
5076
6200
7970
Original
Edad
(horas) δ
1980 0
2456 1
3790 0
5310 0
6780 0
9000 1
9154 0
Mejorado?

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
RTD
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 2000 4000 6000 8000 10000
Confiabilidad
Edad
Original
Mejorado
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5
ln(-lnR)
ln(Edad)
Original
Mejorado
Edad (hr)
1560
2705
3960
5076
6200
7970
Original
Edad
(horas) δ
1980 0
2456 1
3790 0
5310 0
6780 0
9000 1
9154 0
Mejorado?

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Bomba planta de proceso
en Neuquén
Edad (hrs.op.) ¿censura?
2202 0
2880 0
2924 1
9236 0
11123 0
12433 0
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 5000 10000 15000
Confiabilidad
Edad (hrs.op.)
35
36
37
38
39
40
41
42
43
500 5000 50000
Costo
global
(USD/hr.op.)
Edad (hrs.op.)
~1400
Cf=400000+13400 USD
Cp=4300 USD
MTTR=5 hrs
Apd: F. Vicente, H. Kessel, R.M.Rockwood, Reliability analysis, ABB Review 2/2009

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Transductor de temperatura
Edad (semanas)
21
26
33
34
43
47
48
49
50
56
57
59
62
63
64
70
72
74
76
77
78
80
85
87
90
104
Apd: F. Vicente, H. Kessel, R.M.Rockwood, Reliability analysis, ABB Review 2/2009
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0 4,0 5,0
ln(-ln
R)
ln t
0%
20%
40%
60%
80%
100%
-30 20 70 120
Confiabilidad
Edad (semanas)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Mantenimiento centrado en la condición (MCC)
• hipótesis
▫ Método 100% efectivo
▫ No hay costo de falla
• Solo quedan
 costo de intervención Ci,
 costo de intervención MCC
o o o o o
Tiempo calendario
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Periodo intervención por mantenimiento centrado en la condición
• periodo entre dos intervenciones
▫ Aproximadamente
 MTBF
o o o o o
Tiempo calendario
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Mantenimiento centrado en la condición
Si inspecciones no afectan la
producción
s
c
ip
gs c
MTBF
C
c +
=

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Selección de estrategia
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
0 20 40 60 80 100 120
Razon
costos
(MPrev/MCorr)
cg,s/cg,c conocido
cg,s/cg,c max

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Embrague CAT D10N
T (hrs.op.) susp?
1480 1
2020 0
2419 0
3276 0
4328 0
4987 0
5234 1
5250 0
6979 0
8124 1
8450 1
9671 1
9800 1
Tp=16 hrs
ci=40 $/hr
Repuesto: 2600 $
cf=300 $/hr
Tc=24 hrs
ci=40 $/hr
Repuesto: 2600 $
cf=300 $/hr
Fuente: A. Jardine, D. Louit, R. Pascual, Curso Gestión Eficiente del Mantenimiento, Santiago, Septiembre 20

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
7,5 8,0 8,5 9,0
ln
-
ln
R
ln t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2000 4000 6000 8000
Costo
($/hr.op.)
Edad (hr.op.)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Bi-Weibull & Weibull mixtos

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Frenos B737
• Fuente: A. Al-Garni et al., Reliability
Analysis of Aeroplane Brakes, Qual.
Reliab. Engng. Int. 15: 143–150,
1999
t (hrs.op.)
402
412
422
423
429
432
434
434
435
440
502
508
514
518
522
523
532
545
552
597
618
649
654
666
729
802

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
y = 28,245x - 172,69
y = 3,6747x - 23,225
-4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
5,80 6,00 6,20 6,40 6,60 6,80
Data 1
Data 2
Series3
Lineal (Data 1)
Lineal (Data 2)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 200 400 600 800 1000
Confiabilidad
Edad (ut)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Problemas en diagnóstico y ejecución
• English doctors amputate wrong legs,
testicles and cut out healthy kidneys
• The number of horrifying medical blunders in which patients had
wrong body parts removed have soared in just two years, according
to new figures. The number of patients who woke from surgery to
find themselves victims of terrible blunders almost doubled last year,
The Daily Mail newspaper wrote.
• Meanwhile compensation payouts to victim have risen by more than
100 per cent to just over £1 million in the year 2005 to 2006 alone.
• Among the clinical mishaps last year were eight incidents of the
wrong disc being removed, five cases of the wrong leg being
amputated and four cases of the wrong hip being taken.
Fuente: http://english.pravda.ru/society/stories/06-10-2006/84912-amputation-0
accesado junio 2008

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
• at least 44000 Americans die each
year as a result of medical errors.
The results of the New York Study
suggest the number may be as high
as 98000... More people die in a
given year as a result of medical
errors than from motor vehicle
accidents (43458), breast cancer
(42297), or AIDS (16516)...
Fuente: Kohn et al., To Err Is Human, 1999

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
-4,5
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
Ln t
Ln(-Ln(R))
Lewis
Weibull simple
Weibull mixto
Weibull mixto

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Procedimiento
Historial de fallas
y suspensiones
Estimación de
confiabilidad
Modelo no
parametrico
Grafico(ln t, ln(-ln(R))
Modelo Weibull
mixto con
parámetros
iniciales arbitrarios
Minimizar error cuadrático
Σ(ywei-ynopar)2
Chequear ajuste
en grafico Weibull

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso: cáncer en ratones
Fuente: R.C. Elandt-Johnson, N.L. Johnson, Survival Model and Data
Analysis, 192-196, John Wiley & Sons, 1980

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Cancer en ratones
0 200 400 600 800
0
10
20
30
40
50
60
Edad (ut)
Individuo
'x': sarcoma, '+': linfoma

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
5 5.5 6 6.5 7
-6
-4
-2
0
2
4
x
y
Jiang
Pascual
Rangos medianos
0 200 400 600 800 1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Edad (ut)
R
Jiang
Pascual

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso: bombas de pozo

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Historial
• 23 pozos
• 850 ut
Fuente: M. E. Parra, J. Giglio, Estudio de Confiabilidad y Optimización de
Estrategias de Mantenimiento en Sistema de Suministro de Agua
Fresca a Minera Escondida - Pozos Monturaqui,Conferencia Mapla, Viña del Mar,
2006.
0 200 400 600 800 1000
0
10
20
30
40
50
60
Edad (ut)
Individuo
Edad (ut) susp?
0 1
0 1
1 0
1 0
1 0
3 0
6 0
10 0
53 1
64 0
79 0
79 0
90 1
124 0
130 1
142 0
155 0
174 1
189 1
196 0
203 0
213 1
220 0
222 0
226 0
234 0
251 0
255 0
256 0
259 1
273 1
295 0
313 0
324 0
403 0
421 1
425 0
464 1
469 1
502 1
510 1
572 0
578 0
592 0
651 0
664 1
711 1
751 0
850 1
850 1
850 1
850 1
850 1
850 1

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Confiabilidad
Weibull simple
Weibull mixto
-4,5
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
Ln t
Ln(-Ln(R))
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Edad (ut)
R
Lewis
Weibull simple
Weibull mixto
beta1 1,01
beta2 1,34
eta1 2,8
eta2 609
p 0,063
MTBF1 2,8
MTBF2 559
MTBF 525
beta 0,58
eta 1183
MTBF 1872

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Estudio de caso
Edad
(hr.op) delta
1 7980 0
2 10135 0
3 11838 0
4 13268 0
5 14610 0
6 15870 0
7 17105 0
8 17850 0
9 18846 0
10 21120 1
11 21124 1
12 21130 1
13 21150 1
14 21185 1
15 24280 1
16 24280 1
17 24280 1
18 24280 1
19 26310 1
20 26310 1
Cgc/Cgp 4,4
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0
ln
-
ln
R
ln t
N 29camiones
z 1tolva/camión
Tat 720hr.cal.
hr.op./hr.cal. 1,15
Apd: G. Pistone, Disminución del costo de mantenimento de tolvas basado en estrategias de cambio y stock empleando el análisis estadístico, MAPLA 2008.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0,0000
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0 5000 10000 15000 20000 25000
Costo
global
(um/hr.op./um)
Edad (hr.op.)
0%
50%
100%
0 2 4 6 8
Nivel
de
servicio
Stock de soporte (u)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso
Luminarias
l
l
t
e
l
t
l
β
η 







−
= 0
)
(
β
η 







−
=
t
e
t
R )
(
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 1000 2000
Emisión
(%)
Edad (horas.op.)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0% 100%
Confiabilidad
Edad (horas.op.)
a.p.d.: C. Guevara, Ahorros energéticos por relamping, Electroindustria, 9, 6-8, 2010.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
El caso
0
20
40
60
80
100
120
140
50000
60000
70000
80000
90000
100000
110000
120000
0 1000 2000 3000
Luminosidad
total
esperada
(lumenes)
Intervalo de reemplazo preventivo (hrs.op.)
Lum. Tot. MP
Lum. Total MC
cg MP
cg MC
Costo
(USD/mes)
0
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,001
0,0012
0,0014
0 1000 2000 3000
Costo
total
(USD/lumen/mes)
Edad reemplazo preventivo
(hrs.op.)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Modelos
integrados
Optimización de factor de carga
operacional e intervalos entre
overhauls para equipos de carguío

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Productividad
1
1.2
1.4
1
2
x 10
4
1000
2000
3000
4000
Throughput
(Ton/hr)
Factor de sobrecarga
T
(
h
r
s
.
o
p
.
)
2000
2500
3000
3500 Ton/hr
3866

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Estudio de caso
S.M. Gore, S.J. Pocock, G.R. Kerr , Regression Models and Non-Proportional Hazards in the Analysis of Breast Cancer Survival
Journal of the Royal Statistical Society, 33, 2 (1984), pp. 176-195

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Estudio de caso
• Flota: 14 equipos
• 2 rodamientos/equipo
• Proveedor estima que la vida
esperada del rodamiento es
1E4 hrs.op. en condiciones
normales z={0,0}T
• R depende de sobrecarga y nivel
de polvo
# TTF
(hr.op.)
1 9720
2 7940
3 3890
4 4990
5 5350
6 4080
7 5260
8 5640
9 3300
10 4030
11 9180
12 5280
13 8990
14 3830
15 5610
16 8530
17 9490
18 4330
19 2080
20 2590
21 5100
22 9980
23 8820
24 5850
25 7510
z={-1,-0.45}
Apd: B. Ghodrati, U. Kumar, Operating Environment Based Maintenance And Spare Parts Planning: A Case Study, Advanced reliability modeling,
proceedings of the 2004 Asian International Workshop (AIWARM 2004): Hiroshima, Japan, 26-27 August 2004.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
z1={-1,-0.45}
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
7,5 8,0 8,5 9,0 9,5
ln
-ln
R ln t
0
5
10
15
20
25
30
- 50.000 100.000 150.000
Nro.
acumulado
de
fallas
Tiempo acumulado (hr)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
z1 y z2={1,-1}T
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
7,0 8,0 9,0 10,0
ln
-ln
R
ln t
z1
z2
Lineal
(z1)
# TTF
(hr.op.)
1 4585
2 5400
3 7400
4 8670
5 9200
6 10860
7 12905

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
z0={0,0}T
• MTTF=10000 hr.op.
• Si β es constante,
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜂𝜂Γ(1 + 1/𝛽𝛽)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Aporte 2011
Juicio experto: caso transformadores
0.6
0.65
0.7
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
F(85|70)
F(70)
F(60)
ut:año
Apd: A. Jardine, Diplomado de gestión de activos y mantenimiento UC, 2011.

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 50 100
R
Edad (ut)
0.6
0.65
0.7
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.8
0.85
F(85|70)
F(70)
F(60)
centro
óptimo

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Aporte otoño’12
• MTTF∈(5,8) meses
• R(t=2|t0=7) ∈(15%,25%)
• γ≥1 mes
• MRL(t0=7) ∈(1,1.5) meses
• F(7) ∈(25%,35%)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Resultados
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 5 10
Confiabilidad
Edad (ut)

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Uso equivalente
Escalas de tiempo combinadas
t1
t2

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Caso
Aporte primavera 2014
t1 t2
2,57 0,14
2,39 0,12
3,70 0,19
3,35 0,18
3,80 0,20
1,53 0,38
1,76 0,44
1,60 0,40
1,56 0,39
1,03 0,25
0,84 0,54
0,81 0,52
0,90 0,60
0,57 0,37
0,66 0,43
0,32 0,46
0,48 0,70
0,42 0,62
0,42 0,61
0,54 0,80
0,10 0,38
0,16 0,63
0,12 0,45
0,19 0,73
0,11 0,42
0,03 0,54
0,04 0,69
0,04 0,78
0,03 0,58
0,03 0,51
Cp=1 um
Cc=3 um

ENERGETICA
GEDAEFE 2008
Minería UC
Católica de Chile
Referencias útiles
• ISO 14224, Petroleum and
natural gas industries —
Collection and exchange of
reliability and maintenance
data for equipment, 2004.
• D.N.P. Murthy, M. Bulmer,
J.A. Eccleston, Weibull model
selection for reliability
modelling, Reliability
Engineering and System Safety
86 (2004) 257–267
• PAS55, British Standards
Institute, 2008.
• R. Pascual, Apuntes “El Arte
de Mantener” (draft), PUC,
2015.

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