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Cadenas de Markov investigación de operaciones
- 1. Introducción a las cadenas de Markov Investigación de operaciones II
- 2. INTRODUCCIÓN El análisis de Markov es una técnica que maneja las probabilidades de ocurrencias futuras mediante el análisis de las probabilidades conocidas en el presente
- 3. Aplicaciones 01 03 02 04 Análisis de la participación en el mercado, Predicción de deudas incobrables Predicción de la matrícula universitaria Determinación de si una máquina se descompondrá en el futuro
- 4. Los requisitos matemáticos más importantes son tan solo saber cómo realizar operaciones y manipulaciones básicas con matrices,y resolver conjuntos de ecuaciones con varias incógnitas.
- 5. La desarrolló el matemático de origen ruso Andréi Márkov en 1907
- 6. Fundamento Los sistemas o procesos estocásticos (es decir, aleatorios) que presentan un estado presente es posible conocer sus antecedentes o desarrollo histórico. Por lo tanto, es factible establecer una descripción de la probabilidad futura de los mismos.
- 7. La base de las cadenas es la conocida como propiedad de Markov, se encuentra en la siguiente regla: Lo que la cadena experimente en un momento t + 1 solamente depende de lo acontecido en el momento t (el inmediatamente anterior). Base
- 8. Ejemplo
- 9. Reglas Debe ser una matriz cuadrada 3 La suma de las celdas debe ser 1 2 Ninguno de los numeros de las celdas debe ser mayor a 1 1
- 10. Problema El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo?
- 11. DIAGRAMA Del 100% de clientes que compra en un mes un producto el 20% no compra el mes siguiente, o sea el 80% lo sigue comprando el siguiente mes. Del 100% de clientes que quienes no lo compran en un mes, solo el 30% lo adquieren el mes siguiente. O sea el 70% no lo compran el siguiente mes
- 12. Definimos variables 0= Compran el producto 1= No compran el producto P= Representa la situación Estado actual t Estado siguiente t+1 0 1 0 P00 = 0.80 P01 = 0.20 1 P10 = 0.30 P11 = 0.70
- 14. Resolvemos la matriz para 1 mes 100*0.80 + 900*0.30=350 100*0.20+900*0.70=650
- 15. Ejemplo 2 En un pueblito el clima puede cambiar de un día para otro, considere solo 2 estados del tiempo: clima seco o húmedo. La probabilidad de tener un clima seco al día siguiente es de 0.8, si el día actual es seco, pero si el clima es húmedo la probabilidad de tener un clima seco es de 0.6. Suponga que dichos valores no cambian en el tiempo, se puede determinar: ● A) La matriz de transición ● B) El diagrama de transición ● C)las probabilidades de estado estable del sistema
- 16. A) Matriz de transición Definimos la variable ● X= Estado del clima ● 0= Clima seco ● 1= Clima húmedo Estado actual t Estado siguiente t+1 0 1 0 P00 = 0.80 P01 = 0.20 1 P10 = 0.60 P11 = 0.40
- 18. C) Probabilidades de estado estable del sistema 𝝅𝟎 = 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂 𝒖𝒏 𝒅í𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒐 𝝅𝟏 = 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂 𝒖𝒏 𝒅í𝒂 𝒉𝒖𝒎𝒆𝒅𝒐 𝝅𝟎 = 𝑷𝟎𝟎𝝅𝟎 + 𝑷𝟏𝟎𝝅𝟏 𝝅𝟏 = 𝑷𝟎𝟏𝝅𝟎 + 𝑷𝟏𝟏𝝅𝟏 1= 𝝅𝟎 + 𝝅𝟏 Estado actual t Estado siguiente t+1 0 1 0 P00 = 0.80 P01 = 0.20 1 P10 = 0.60 P11 = 0.40
- 19. 𝝅𝟎 = 𝑷𝟎𝟎𝝅𝟎 + 𝑷𝟏𝟎𝝅𝟏 𝝅𝟏 = 𝑷𝟎𝟏𝝅𝟎 + 𝑷𝟏𝟏𝝅𝟏 1= 𝝅𝟎 + 𝝅𝟏 𝝅𝟎 = 𝟎. 𝟖𝝅𝟎 + 𝟎. 𝟔𝝅𝟏 𝝅𝟏 = 𝟎. 𝟐𝝅𝟎 + 𝟎. 𝟒𝝅𝟏 1= 𝝅𝟎 + 𝝅𝟏
- 20. Despejamos la 3 ecuación 1= 𝝅𝟎 + 𝝅𝟏 𝝅𝟎 + 𝝅𝟏=1 𝝅𝟎 = 𝟏 − 𝝅𝟏
- 21. Sustituimos el despeje de la ecuación 3 en la 1 𝟏 − 𝝅𝟏 = 𝟎. 𝟖(𝟏 − 𝝅𝟏) + 𝟎. 𝟔𝝅𝟏 𝟏 − 𝝅𝟏 = 𝟎. 𝟖 − 𝟎. 𝟖𝝅𝟏 + 𝟎. 𝟔𝝅𝟏 𝟎. 𝟖𝝅𝟏 − 𝟎. 𝟔𝝅𝟏 − 𝝅𝟏 = 𝟎. 𝟖 − 𝟏 𝟎. 𝟐𝝅𝟏 − 𝟏𝝅𝟏 = −𝟎. 𝟐 −𝟎. 𝟖𝝅𝟏 = −𝟎. 𝟐 𝝅𝟏 = −𝟎. 𝟐/−𝟎. 𝟖 𝝅𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓
- 22. 𝝅𝟎 = 𝟏 − 𝝅𝟏 𝝅𝟎 = 𝟏 − 𝟎. 𝟐𝟓 𝝅𝟎 = 𝟎. 𝟕𝟓 Sustitutimos 𝝅𝟏 en ecuación 3 Solución 𝝅𝟎 = 𝟎. 𝟕𝟓 𝝅𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓
- 23. Tarea
- 24. 1 En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% delos días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. Diagrama y matriz
- 25. 2 Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Determinar la matriz, el diagrama y las probabilidades de estado estable del sistema.