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Análisis de Fallas
Estimación de Parámetros Weibull
U N I V E R S I D A D I N D U S T R I A L D E S A N T A N D E R
F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A S F I S I C O M E C A N I C A S
E S C U E L A D E I N G E N I E R I A M E C A N I C A
Alberto D. Pertuz C.
Bucaramanga, octubre del 2014

Antes de seleccionar una estrategia de mantenimiento para un equipo es
conveniente conocer los fenómenos que producen su degradación y falla.
Las fallas pueden ser clasificadas como:
Fallas
catastróficas
Fallas por
cambios en parámetros
Fallas repentinas y completas
•  Ruptura de un elemento mecánico
•  Corto circuito en un sistema eléctrico
•  Desgaste mecánico,
•  Fricción
•  Corrosión
•  Fatiga
Es difícil observar la
degradación y por
tanto no es posible
establecer
procedimientos
preventivos

De acuerdo a la tasa de fallas, la vida de un equipo se puede dividir en tres etapas:
v Etapa temprana, caracterizada por una tasa de falla que decrece en el tiempo.
v Etapa madura, caracterizada por una tasa constante de fallas.
v Ancianidad, caracterizada por una tasa creciente de fallas.

En el contexto de la recolección de datos de falla podemos distinguir:
Fallas primarias
Son el resultado de una deficiencia de un componente, cuando está ocurre en
condiciones de operación dentro del rango nominal.
Ejemplo: ruptura de un alabe de turbina cuando la velocidad es operacional.
Fallas secundarias
Son el resultado de causas secundarias en condiciones no nominales de
operación. Podría no haber habido falla si las condiciones hubiesen estado en el
rango de diseño del componente.
Condiciones que causan fallas secundarias: temperaturas anormales,
sobrepresión, sobrecarga, velocidad, vibraciones, corriente, contaminación,
corrosión.

Las fallas secundarias pueden ser clasificada en varias categorías:
Ø  Fallas con causa común
Ø  Fallas propagadas
Ø  Fallas por error humano
En este caso la falla secundaria induce fallas en mas de un componente.
En este caso la falla de un componente induce la falla de otro
Las fallas son causadas por errores humanos en la operación, mantenimiento,
inspección.
Las catástrofes naturales son causas usuales de este tipo: terremotos, inundaciones, huracanes,
explosiones

Estimación de Parámetros Weibull
Para Análisis de Confiabilidad

Parámetros de Weibull Alberto Pertuz
Introducción
•  Entendimiento básico de la técnica del uso de
distribución Weibull para el análisis y predicción de falla.
•  Esta aplicación reduce los costos, calibración de
instrumentos, análisis de las mediciones y propiedades
de los materiales.
•  Calcula los tiempos óptimos para el mantenimiento.
•  Ayuda a tomar decisiones en diagnóstico y nuevas
inversiones de proyectos.
•  Este método muestra la aplicación del análisis Weibull
en computadoras, para reemplazarlo por laboriosos
cálculos en hojas de cálculo y gráficas manuales.

Ejemplos
Ejemplos de Problemas de ingeniería resueltos por Weibull.
•  Falla de un componente durante tres meses, ¿Cuántas
fallas se puede esperar en seis, doce meses?
•  Programar el mantenimiento y ordenar repuestos.
•  En una planta de generación termoeléctrica, con muchas
paros por fallas en la tubería de la caldera y basado en la
inspección. Se puede, pronosticar su ciclo de vida y
revisiones programadas.
•  Los costos de fallas esporádicas, sujetas a desgaste por
uso o fatiga, es 20 veces más costosa que una paro
planeado.

Ventajas
Del uso de la distribución Weibull :
•  Precisión razonable en el análisis de fallas.
•  Provee un simple y poderoso gráfico, medición de vida,
arranques, paradas, operación, ciclos de misión vs. %
acumulado de fallas.
•  Los parámetros β (Beta, a pendiente) proveen una
filosofía de falla y η (Eta, característica de vida) tiempo
de falla.
•  El análisis de Weibull está relacionado con el MTTF.
(Tiempo de Funcionamiento del Equipo)

El procedimiento consiste en graficar los valores F(t) o de
M(t) en el eje de las Y, con sus respectivos tiempos en el eje
X.
La forma que posee el papel Weibull permite conformar una
línea recta, a partir de la cual se logra valorar tanto la
pendiente como su intersección con el eje Y vertical; y a
partir de estos dos valores se pueden obtener los
parámetros propios de la función Weibull de Beta, Eta, etc.

1.- Numero de prueba.
2.- Elemento, maquina o componente a
evaluar.
3.- Fecha.
4.- Tipo de test
5.- Promedio de tiempo de fallas.
6.- Tamaño de la muestra.
7.- Beta (β), es el parámetro de forma.
8.- ŋ, parámetro de escala o vida característica.
9.- Ƴ, parámetro de posición.
10.- Punto de referencia para graficar nuestras
rectas en el grafico, con este punto de referencia
para hallar los valores de Pµ y β.

Ejemplo de Aplicación:
Tenemos 8 registros de vida de un componente, hallamos la media Rank
para que junto a los tiempos de falla podamos graficarlos.
La formula de la media rank, se halla mediante la formula abajo descrita.
Ojo para este calculo los datos de falla deben de estar ordenados de
menor a mayor.

3700
0
2,1
8
Ejemplo
Ejemplo
Nº 1
04/09/2014
3700
4200
4200
(8,33 - 1717)

Después de graficados los puntos trazamos una línea (azul), tratando de que sea lo
mas cercano a los puntos graficados por eso entre mas datos mucho mejor. luego
haciendo referencia al punto que se encuentra al lado izquierdo superior de la hoja,
trazar una línea que cruce en forma perpendicular a la recta antes trazada (naranja).
Esta recta cruza 2 rectas que están en escala el Pµ y el β, respectivamente; del corte
con la recta β obtenemos 2.1, y con la recta la recta Pµ obtenemos 54%, el cual nos
servirá para encontrar la media para la falla (µ).
Hacemos una recta en 54% del lado de probabilidad de fallas, y lo extendemos hasta
encontrar a la recta inicial (azul), y bajamos esa recta al pie del axis x y encontramos
la media (MTBF), en este caso es 3700.
Vemos en el eje Y un punto que dice " ŋ estimator”, al extender esta línea y cruzarla
con la línea azul, obtenemos la vida característica del componente en el eje X. en
este caso es 4200. como se grafica abajo.

Distribución de una falla
La pendiente de la gráfica Weibull, β (beta) se define
como:
–  β < 1.0 indica mortalidad infantil
–  β = 1.0 significa falla aleatoria
–  β > 1.0 indica falla por desgaste
Se puede determinar los porcentajes de falla para
determinar por ejemplo el 1% de las fallas de una
población el cual pueda fallar, es llamada β1.
–  β0.1 = 0.1% de la población
–  β10 = determina el tiempo en el cual el 10% de la
población puede fallar.
–  La característica η es definida como la edad al cual el
63.2% de las unidades podrían fallar, entonces se
determina como β63

Pronóstico y predicción de fallas
•  Cuando las fallas ocurren en servicio, es deseable
calcular la probabilidad del número de fallas que podrían
ocurrir en un próximo periodo de tiempo.
•  Algunos problemas en gráficos erróneos Weibull son la
información mal adquirida:
–  Mezcla de modos de falla
–  Problemas con el origen cero de la falla
–  Datos manuales donde las edades de las partes son
desconocidas
–  Construcción de curvas Weibull donde no hay
registros de fallas.

•  La distribución Weibull provee con frecuencia los
mejores cálculos de la vida de los componentes
•  Esto es debido al rango amplio de los parámetros y
las familias de distribuciones que cubre, incluyendo
las distribuciones:
–  Exponencial
–  Normal y
•  Log normal no esta dentro de la familia de Weibull y
es el más significativo competidor para comparar sus
cálculos.
•  Precisión por long normal es escogido para deterioro
por sistema de aceleración, materiales no lineales y
velocidades de crecimiento en grietas.
Pronóstico y predicción de fallas

Planeación del mantenimiento
•  La distribución Weibull se usa para la planeación del
mantenimiento, particularmente en el Reliability Centered
Maintenance.
•  β (Beta) nos dice si son necesarias las inspecciones
programadas.
–  β < 1 las inspecciones programadas son de costo económico
no efectivo.
–  β > 1 programa de inspección son leídos directamente desde
el gráfico, calculando la probabilidad aceptable de las fallas.
•  Para modos de falla por desgaste, si el costo de una falla
sin planear es mayor que el costo de un reemplazo
planeado, el intervalo del tiempo óptimo del
mantenimiento o reemplazo es calculado a costo mínimo.

Planeación del mantenimiento
•  La distribución Weibull podría optimizar los intervalos y los costos del
mantenimiento.
•  Usando la herramienta de Weibull, se puede calcular cuantitativamente:
–  Programar y no programar el mantenimiento
–  Forzar una modernización
–  Inspecciones no destructivas vs. reemplazo de partes
–  Mantenimiento correctivo vs. no mantener.
–  Diferentes tiempos entre inspecciones programadas.
–  Intervalos óptimos del reemplazo.
•  Los planes de mantenimiento cíclicos son modificados según las
velocidades de falla.
•  Los ciclos son también afectados por las interacciones entre los ciclos
de vidas y los modos de falla de los sistemas, β, periodos de inspección
y el reemplazo de partes.

Datos weibull
•  Los datos precisos para una distribución Weibull son
las “edades” de las partes, componentes o sistemas
que fallan, estos datos pueden ser:
–  Tiempos de operación de equipos (horas, días, kilómetros,
etc)
–  Arranques y paradas
–  Lanzamientos de aviones o equipos militares
–  Tiempos de almacenamiento
–  Ciclos de fatiga
–  Ciclos de alto stress
–  Altas temperaturas y muchos otros parámetros

La η (eta) y β (beta)
•  Los parámetros β & η de la distribución weibull son los valores usados para
el análisis de vida de los componentes.
•  La función de distribución Weibull:
•  Donde:
–  F(t) = Comulative Distribution Function (CDF)
–  t = Tiempo de falla
–  η = Característica de vida parâmetro escala
–  β = parámetro forma o pendiente.
–  e = 2.718281828, base del logaritmo natural.
•  β, muestra la clase de falla como son mortalidad infantil, aleatoria, o
desgaste, también es llamado el parámetro forma porque determina la
familia o el tipo de distribución.
•  η es el parámetro vida y es igual al tiempo promedio para la falla (Mean
Time To Failure MTTF) cuando β es igual a 1. la relación entre η y el MTTF
es la función gamma de β.

La η (eta) y β (beta)
•  Ecuación:
•  Cuando β = 1.0, MTTF = η, es una distribución
exponencial
•  Cuando β > 1.0, MTTF es menor que η
•  Cuando β < 1.0, MTTF es mayor que η
•  Cuando β = 0.5, MTTF = 2 η
•  η es definida como la edad al cual el 63.2% de las
unidades pueden fallar

Interpretación del gráfico Weibull
•  La curva de la bañera puede ayudar a
entender la relación entre β y los
mecanismos de falla a través de la vida de
un componente.
•  Weibull provee una pista acerca de los
mecanismos de falla, con las diferentes
pendientes o parámetro forma, implicando
en las diferentes formas de falla.

Curva de la bañera

β < 1 Implica Mortalidad Infantil
Los Equipos electrónicos y mecánicos pueden iniciar
con una alta grado de fallas en el inicio de proyectos
y nuevos diseños, otros modos de falla son:
•  Reparaciones inadecuado o fuerzas, presiones
ocultas.
•  Problemas de producción
•  Problemas de ensamble.
•  Problemas de control de calidad.
•  Problemas de inspecciones programadas.
•  Fallas en componentes eléctricos.

β = 1 Implica falla aleatoria
Falla independiente del tiempo o aleatorias y es igual
a una distribución exponencial.
•  Errores de mantenimiento / errores humanos
•  Fallas debido a naturaleza, daños u objetos
desconocidos, ralladuras.
•  Mezcla de datos de 2 o más modos de falla.
•  Intervalos entre fallas.
•  Inspecciones programadas no apropiadas.

1< β < 4 Implica falla por deterioro temprano
Si esta falla ocurre dentro del ciclo de vida es una
desagradable sorpresa. Estas son muchas fallas
de modo mecánicos en esta clase.
•  Bajo un ciclo de fatiga.
•  Muchas fallas de rodamientos.
•  Corrosión.
•  Erosión.

β > 4.0 Implica deterioro rápido por edad de uso
Típicos modos de falla de piezas con edades
muy viejas o por uso pesado, también
incluye:
•  Corrosión por esfuerzos.
•  Propiedades de los materiales.
•  Algunas formas de erosión.

Análisis de Criticidad,
Metodología para Mejorar la Confiabilidad

¿EN QUÉ CONSISTE LA JERARQUIZACION
DE ACTIVOS?
REFINERIA
PLANTA A PLANTA B PLANTA N
Sistema 1 Sistema 2
Es una metodología que permite establecer la jerarquía de los
ACTIVOS (sistemas, instalaciones y equipos), en función de
Criterios técnicos y financieros, con el fin de facilitar la
toma de decisiones.

CRITERIOS COMÚNMENTE UTILIZADOS
Efectos en la
Seguridad
Efectos de
Ambiente
e higiene
Producción
y Calidad
Costos de
operación
Frecuencia
de fallas
Tiempo para
reparar
Disponibilidad
y repuestos
Flexibilidad
<operacional

CUANTITATIVO
SEMI-CUANTITATIVO
CUALITATIVO
MÉTODOS DE JERARQUIZACIÓN

MODELOS CUALITATIVOS
DEFINICIÓN:
Consisten en métodos
basados en opiniones de
especialistas,
donde se combinan criterios
técnicos y financieros para
jerarquizar activos.
CARACTERÍSTICAS
•  Tienden a contener un gran nivel de subjetividad.
•  Son mas efectivos para procesos de análisis de baja complejidad
•  Requieren en ocasiones métodos más severos de validación de los resultados.

Alto
Medio
Bajo
CONSECUENCIA COMPLEJIDAD
Compleja
Mediana
Sencilla
10
5
1
MATRIZ DE CONSECUENCIA – COMPLEJIDAD DEL
ANÁLISIS

JERARQUIZACIÓN DE EVENTOS
Complejidad Primero y
Consecuencia Segundo
SENCILLA
1
MEDIA
5
DIFÍCIL
10
ALTA
10
MEDIA
5
BAJA
1
1 - 10 5 -10 10-10
1 - 5 5 - 5 10 - 5
1 - 1 5 - 1 10 - 1
CONSECUENCIA
COMPLEJIDAD
1
2
3

CRITERIOS A UTILIZAR
Complejidad Consecuencia
Ø Se resuelve con recursos
p r o p i o s o t i e m p o s d e
reparación menor a 8 horas (1)
Ø S e r e s u e l v e m e d i a n t e
c o n t r a t o s d i s p o n i b l e s o
tiempos de reparación entre 8 y
24 horas (5)
Ø S e r e q u i e r e c o n t r a t o s
externos no disponibles o
t i e m p o s d e r e p a r a c i ó n
superiores a 24 horas (10)
Ø Costos totales sobre el
proceso menores a 10.000
dólares (1)
proceso entre 10.000 y 50.000
dólares (5)
proceso superiores a los 50.000
dólares (10)

Consisten en métodos basados
en opiniones de especialistas,
cuantificando valores numéricos relativos,
que permiten medir el
impacto global basados en criterios
técnicos y financieros para jerarquizar
activos.
CARACTERÍSTICAS
•  Contienen un nivel bajo de subjetividad.
•  Son efectivos para jerarquizar procesos indistintamente de su nivel de
complejidad.
•  Requieren para la validación y aceptación de los resultados estimar la
desviación estándar.
MODELOS SEMI-CUANTITATIVOS

MODELOS
SEMICUANTITATIVOS
EL ENFOQUE DE LA
GUIA DE CRITICIDAD

GUIA
DE
CRITICIDAD

¿CÓMO ARTICULAR LOS CRITERIOS
ANTES MENCIONADOS?
UTILIZANDO LA EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
CRITICIDAD = Frecuencia de Falla * Consecuencia
Donde:
Consecuencia = ((Nivel de Producción * TPPR * Imp. Producción) +
Costo de Reparación + Impacto en Seguridad +
Impacto Ambiental + Satisfacción del Cliente)

Jerarquización de
Instalaciones.
CRITÍCO
ALERTA
ACEPTABLE
INSTALACIÓN
CRITICIDAD
PONDERADA
NIVEL DE
OBSOLESCENCIA
RIESGO DEL
ÁREA
PUNTAJE
BATERÍA DE
SEPARACIÓN
CUNDUACAN
10 8 3 240
BATERÍA DE
SEPARACIÓN IRIDE
6 8 3 144
BATERÍA DE
SEPARACIÓN
OXIACAQUE
1 8 3 24
ESTACIÓN DE
COMPRESIÓN
CUNDUACAN
6 6 3 108
CENTRAL DE
ALMACENAMIENTO Y
BOMBEO CUNDUACAN
3 8 5 120
BATERÍA DE
SEPARACIÓN
SAMARIA II
1 6 5 30
BATERÍA DE
SEPARACIÓN
SAMARIA III 1 8 3
24
ESTACIÓN DE
COMPRESIÓN
SAMARIA II 3 6 5
90
PLANTA DE
DESHIDRATACIÓN
SAMARIA II 3 6 5
90
BATERÍAS DE
SEPARACIÓN LUNA 1 6 3
18
BATERÍAS DE
SEPARACIÓN PIJIJE 1 6 3
18
BATERÍAS DE
SEPARACIÓN SEN 1 6 3
18
CRITERIOS

MODELOS CUANTITATIVOS
EL ENFOQUE
SEMI-PROBABILISTICO

Impacto total = Frec. Falla x Costo Total
Máx..
Min.
Máx..
Min.
Máx..
Min.
Máx..
Min.
Máx..
Min.
Impacto Total (E)
Costo Total (D)
Impacto Falla (C)
Costo Reparación.
(B)
Frec. Falla (A)
Falla/Problema
Detección de Oportunidades
Es una herramienta que permite estimar de forma cuantitativa el impacto
económico asociado a una falla, a la vez de establecer el orden jerárquico
de un conjunto de ellas;
D=B+C , E=A*D
Modelo Semi-Probabilística

DETECCIÓN DE OPORTUNIDADES
Min Max Min Max Min Max Min Max Min Max
FugasenLineasde
Descarga(mensual) 10 20 40,000 70,000 80,000 240,000 120,000 310,000 1,200,000 6,200,000
ParodeCompresoras
porfalla(diario) 1 3 30,000 100,000 14,000 350,000 44,000 450,000 44,000 1,350,000
Fallaendisparos
(Mensual) 1 3 30,000 50,000 70,000 140,000 100,000 190,000 100,000 570,000
Impactototal
Falla/Problema
FrecuenciaFalla CostoReparacion Impactofalla Costototal

MODELOS CUANTITATIVOS
PROBABILISTICOS

Modelo Probabilistico
Falla/ Problema
Frecuencia Falla
(Anos)
Costo
Reparacion
(Miles Dolares)
Impacto falla
(Miles de
Dolares)
Costo total
(Miles de
Dolares)
Riesgo Total
(Miles de
Dolares)
Fallas frecuentes en
Torre de Destilacion 2 190 750 940 1,880
Fallas repetitivas en
Bombas de acido 7 33 135 168 1,176
Falla en compresores
de gas 3 110 200 310 930
DETECCION DE OPORTUNIDADES

CONCEPTOS DE CONFIABILIDAD

Objetivo: Presentar los conceptos
indispensables para entender la confiabilidad
Propósitos
–  Presentar el concepto de tiempo de vida y falla
–  Exponer el concepto de distribución de probabilidad
–  Definir confiabilidad
–  Definir MTBF – MTTF
–  Explicar el “tiempo de misión”
–  Visualizar la velocidad de falla gráficamente
–  Presentar los elementos de estadística descriptiva
–  Obtener una distribución empíricamente

CONFIABILIDAD ¿PARA QUÉ?
•  ¿Cuál es la vida promedio del producto?
•  ¿Cuántas fallas espera el próximo año?
•  ¿Cuánto nos costará desarrollar y dar servicio a este
producto?
•  ¿Cómo podemos hacerlo más efectivo en costo?

TIEMPO DE VIDA Y FALLA
La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida útil
de un producto. Durante este período el cliente obtiene
las características ofrecidas intencionalmente.
Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la
característica ofrecida al cliente, se considera que ha
habido una Falla del producto. Esto representa el
término del tiempo de vida.

MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
Para modelar el tiempo de vida se asigna una
medida: La frecuencia relativa o la
probabilidad con que ocurrirá el evento.
La regla que asigna valores de frecuencia
relativa o probabilidades a los valores de una
variable se llama Distribución de
Probabilidad

•  Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)
–  Predice el comportamiento de cualquier situación
probabilística
–  Probabilidad de t de caer en algún punto del rango t1 a t2
p t t t f t d t
t
t
( ) ( )
1 2
1
2
≤ ≤ = ∫
t1 t2
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
t
f(t)
El área total bajo
la curva siempre
es 1 o 100%

0 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
f(t)
0 100 200 300
0
10
20
30
OBS
Percent
1.6667
8.3333
30.0000
15.0000
13.3333
6.6667
6.6667
8.3333
3.3333
3.3333
0.0000
0.0000
3.3333
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
56.399 138.573 172.78 39.655
56.554 132.988 45.735 9.52
35.389 234.234 62.171 29.374
56.215 63.378 78.558 46.076
188.26 28.855 75.812 193.45
90.882 49.089 75.492 103.507
132.312 123.442 27.978 107.717
60.465 49.526 145.911 179.036
301.525 71.698 95.475 61.099
302.01 45.352 175.935 46.613
101.978 182.344 34.899 82.272
98.37 225.349 43.461 176.949
64.026 137.758 52.311 145.45
43.881 93.901 49.619 73.873
53.358 77.471 92.019 117.592
PDF Weibull
Histograma

DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta
un tiempo t1, obtenemos la Distribución de
Probabilidad Acumulada {CDF ó F(t)}.
F(t1) = P(t ≤ t1)

•  Función de Distribución Acumulada
–  La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor
específico, e.g., t1
– Cuando la variable es tiempo de falla, esto
representa la no confiabilidad o la
probabilidad de que una unidad falle
antes del tiempo t1
∫
=
≤
≤
=
1
0
1 )
(
)
0
(
)
(
t
dt
t
f
t
t
P
t
F
PROBABILIDAD

F t P t t f t dt
t
( ) ( ) ( )
= ≤ ≤ = ∫
0 1
0
1
PROBABILIDAD
t
f(t)
t1
No confiabilidad, F(t)
Función de Densidad de Probabilidad
t
F(t)
t1
Función de Distribución Acumulada
0
1
0

DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD
Confiabilidad es la probabilidad de que un sistema
ejecute su función de intención sin fallar para un
intervalo específico, bajo condiciones establecidas.
Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un
determinado tiempo.
R(t) = 1 - F(t)
Algunos autores presentan como sinónimos
Supervivencia y Confiabilidad

1-70
t
R(t)
R t F t f t d t f t d t
t
t
( ) ( ) ( ) ( )
= − = − =
∫ ∫
∞
1 1
0
t1
Función de Densidad de Probabilidad Función de Confiabilidad
0
0
1
t
f(t)
t1
0
DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD

MTBF - MTTF
Si el tiempo de vida para una característica de calidad
es una variable aleatoria y conocemos su distribución
de probabilidad , podemos calcular una medida de
localización, por ejemplo el valor de su media.
El valor medio del Tiempo de Vida se denomina Tiempo
Promedio entre Fallas, MTBF es el acrónimo en
Inglés, y se refiere a una medición básica de
confiabilidad para artículos que se pueden reparar.
MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto es
para artículos que no pueden ser reparados.

1-72
0 100 200 300
0
10
20
30
tiempo
Percent
1.6667
8.3333
30.0000
15.0000
13.3333
6.6667
6.6667
8.3333
3.3333
3.3333
0.0000
0.0000
3.3333
MTBF - MTTF
La media estimada del tiempo
de vida está marcada con la
línea punteada es de 98.932,
se obtuvo calculando el
promedio de los tiempos
98.932
0 5 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
f(t)
N
t
m
N
i
i
∑
=
= 1
La media calculada para esta
distribución Weibull es función de
sus parámetros η=2 y β=2
1.77245
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
=
β
η
1
1
MEDIA

TIEMPO DE MISIÓN
Tiempo de Misión se refiere al tiempo intentado durante
el cual el producto entrega la característica de
calidad satisfactoriamente.
El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y
sirve para establecer una meta de logro por parte del
producto en cuanto a sus características.
Tiempo de Misión
¿Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misión)

VELOCIDAD DE FALLA
La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también Tasa de Falla
es la fracción de fallas probables entre la proporción de
supervivientes al tiempo t. Cuando se conoce la Distribución
de Probabilidad de t, se calcula a partir de
h(t) = PDF / R(t)
Es una medida de la “mortalidad” entre los artículos que
quedan.
La tasa de falla representa la propensión a la falla de un
producto como una función de su edad o tiempo en operación.
La tasa de falla en cualquier tiempo dado es la proporción que
caerá en la siguiente unidad de tiempo respecto a aquellas
unidades que han sobrevivido a este tiempo.

TASA DE FALLA O TASA DE RIESGO
Por ejemplo, 1000 motores eléctricos se ponen a prueba en el
tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos están trabajando a las 2000
horas, 50 de ellos fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50
fallaron en las siguientes horas como lo ilustra la figura.
La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:
h(2000) = (número de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)
número de sobrevivientes a las 2000 horas
= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora
Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es:
h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora

MODELOS DE CONFIABILIDAD
•  Distribuciones de Probabilidad
» Exponencial
» Weibull
» Lognormal

OBJETIVO
Presentar los modelos Exponencial, Weibull y
Lognormal para la confiabilidad, sus características
principales y guías para su empleo
Puntos:
–  Modelos Paramétricos de Confiabilidad
–  Distribuciones de Probabilidad
–  Parámetros
–  Propiedades
–  Situaciones para modelar
–  Guía para elección del modelo

• Los Parámetros definen lo que esta detrás de
cada distribución.
• Conociendo los parámetros de una distribución
podemos inferir el comportamiento de la
confiabilidad
• La Forma de la distribución
• La Escala de la distribución
• La Localización de la distribución
¿Qué hay atrás de una distribución?

Distribución Normal
•  La Normal o Distribución Gaussiana es la distribución
más conocida
•  Tiene Media = Mediana = Moda
•  La Media µ, es también su parámetro de localización
•  La PDF normal tiene forma de una campana con
simetría sobre su media
•  La normal no tiene parámetro de forma. Esto significa
que la PDF normal sólo tiene una forma, “la campana”
y esta forma no cambia
•  La desviación estándar σ, es el parámetro de escala
de la PDF normal

f t
t
( ) e x p
= −
−
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
2
1
2
2
σ π
µ
σ
Distribución de la Función Normal
Función de Densidad de Probabilidad Normal
µ = 500
σ = 30
σ = 50
σ = 70
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0.0080
0.0100
0.0120
0.0140
200 400 600 800 1000
Tiempo
f(t)

R t f t d t z d z
t z t
( ) ( ) ( )
( )
= =
∞ ∞
∫ ∫ φ
Función de Distribución Normal
donde z(t) = (t-µ)/σ y φ(z) = normal estandarizada pdf
Función de Confiabilidad Normal
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
200 400 600 800 1000
Tiempo
R(t)
µ = 500
σ = 30
σ = 50
σ = 70

Funciones de Distribución Normal
Función Normal de Tasa de Falla
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
200 400 600 800 1000
Tiempo
h(t)
µ = 500
σ = 30
σ = 50
σ = 70
)
(
)
(
)
(
z
R
z
t
h
σ
φ
=
donde φ(z) =normal estandarizada pdf

•  Distribución Normal
–  Tienden a seguir una distribución normal los ciclos de falla en
componentes mecánicos sometidos a niveles altos de estrés
–  Es útil si el coeficiente de variación es pequeño (<10%)
–  Las propiedades de varios materiales tienden a seguir una
distribución Normal
–  Las fallas a la tensión de muchos materiales estructurales
siguen una distribución Normal
–  Puede representar el tiempo de falla cuando un efecto aditivo
es involucrado, i.e., el Teorema del Límite Central (CLT)

•  El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más
simple de todo los modelos de distribución del tiempo de
vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
λ
h
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
=
≅
=
=
=
-
=
-
-
-
)
(
:
FALLA
DE
TASA
1
:
VARIANZA
693
.
0
2
ln
:
MEDIANA
1
:
MEDIA
)
(
:
PDF
)
(
:
DAD
CONFIABILI
1
)
(
:
CDF
2
t
m
e
t
f
e
t
R
e
t
F
t
t
t Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,000 1,500 2,000
Tiempo
f(t)
λ = 0.003, MEDIA = 333
λ = 0.002, MEDIA = 500
λ = 0.001, MEDIA = 1,000
Distribución Exponencial

R(t) = e(-λt) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 500 1,000 1,500 2,000
Tiempo
R(t)
λ = 0.003, MTBF = 333
λ = 0.002, MTBF = 500
λ = 0.001, MTBF = 1,000

h(t) = λ = 1 / MEDIA (Velocidad de Falla)
Función de la Tasa de Falla Exponencial
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0 500 1,000 1,500 2,000
Tiempo
h(t)
λ = 0.001, MTBF = 1,000
λ = 0.002, MTBF = 500
λ = 0.003, MTBF = 333
Note que la tasa de
falla tiende a ser una
constante λ para
cualquier tiempo. La
distribución exponencial
es la única que tiene
una velocidad de falla
constante

•  Distribución Exponencial
–  Es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la
curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante
–  Los sistemas complejos con muchos componentes y
múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que
tiendan a la distribución exponencial
–  desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución
más conservadora para predicción.
La forma de la exponencial
siempre es la misma

•  La Distribución exponencial de 2 parámetros tiene las siguientes ecuaciones:
λ
h
λ
λ
γ
λ
γ
λ
γ
λ γ
λ
γ
λ
γ
λ
=
+
≅
+
+
=
=
=
-
=
-
-
-
-
-
-
)
(
:
FALLA
DE
TASA
1
:
VARIANZA
693
.
0
2
ln
:
MEDIANA
1
:
MEDIA
)
(
:
PDF
)
(
:
DAD
CONFIABILI
1
)
(
:
CDF
2
)
(
)
(
)
(
t
m
e
t
f
e
t
R
e
t
F
t
t
t γ es el parámetro de
localización, si es positivo,
cambia el comienzo de la
distribución por una distancia γ
a la derecha del origen,
significando que las
posibilidades de falla empiezan
a ocurrir sólo después de γ
horas de operación, y no
pueden ocurrir antes.
Note que la varianza y la tasa de falla son iguales a
las de la exponencial de un parámetro

Distribución Weibull
•  La distribución de
Weibull es un
modelo de
distribución de vida
útil muy flexible,
para el caso de 2
parámetros:
( )
1
2
2
1
1
:
FALLA
DE
TASA
1
1
2
1
:
VARIANZA
2
ln
:
MEDIANA
1
1
:
MEDIA
)
(
:
PDF
)
(
:
DAD
CONFIABILI
1
)
(
:
CDF
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
−
=
β
β
η
β
η
η
β
η
β
β
η
β
η
η
β
η
η
η
β
β
β
β
t
e
t
t
f
e
t
R
e
t
F
t
t
t
Donde η es un parámetro
de escala (la vida
característica) y β se
conoce como el
parámetro de forma
(pendiente) y Γ es la
función Gamma con
Γ(N)=(N-1)! para N entero

( )
1
2
2
1
1
:
FALLA
DE
TASA
1
1
2
1
:
VARIANZA
2
ln
:
MEDIANA
1
1
:
MEDIA
)
(
:
PDF
)
(
:
DAD
CONFIABILI
1
)
(
:
CDF
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Γ
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
=
−
=
β
β
η
γ
β
η
γ
η
γ
β
γ
η
β
β
η
β
η
η
γ
β
η
γ
η
γ
η
β
β
β
β
t
e
t
t
f
e
t
R
e
t
F
t
t
t
Una forma más general
de 3 parámetros de la
Weibull incluye un
parámetro de tiempo de
espera (localización ó
desplazamiento). Las
fórmulas se obtienen
reemplazando t por (t-γ).
No puede ocurrir una falla
antes de γ horas, el
tiempo comienza en γ no
en 0.

Función de Distribución Weibull
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Tiempo
f(t)
β = 0.5
η = 1000
β = 1.0
η = 1000
β = 3.4
η = 1000
f t
t t
( ) exp
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
−
β
η η η
β β
1

Funciones de Distribución Weibull
Función de Confiabilidad Weibull
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Tiempo
R(t)
β = 0.5
η = 1000
β = 1.0
η = 1000
β = 3.4
η = 1000
R t
t
( ) exp
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
η
β

Funciones de Distribución Weibull h
β
η η
β
( )
t
t
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
-1
Función Tasa de Falla Weibull
0.0000
0.0020
0.0040
0.0060
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Tiempo
h(t)
β = 3.4
η = 1000
β = 1.0
η = 1000
β = 0.5
η = 1000

•  Distribución Weibull
–  mientras la función pdf de la distribución exponencial modela
la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela
la característica de vida de los componentes y partes
–  modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos
–  es el traje correcto para datos de vida
•  La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la
confiabilidad de los elementos de una muestra
•  muy flexible y puede tomar diferentes formas

tiempo
Índic
e
de
falla
λ

Tiempo de vida útil
Fallas
tempranas
Desgaste
λ

decreciente
β < 1
λ

constante
β = 1
λ

creciente
β > 1
β < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil
β = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias
1< β < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión
β > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y
envejecimiento
Las tres porciones de la curva de
tina de la bañera tienen
diferentes índices de falla. Las
fallas tempranas se caracterizan
por un índice de falla
decreciente, la vida útil por un
índice de falla constante y el
desgaste se caracteriza por un
índice de falla creciente. La
distribución de Weibull puede
modelar matemáticamente estas
tres situaciones.

β < 1 (Tasa de riesgo decreciente)
• Implica mortalidad infantil
• Si esto ocurre, puede existir:
- Carga, inspección o prueba inadecuada
- Problemas de Manufactura
- Problemas de reparación
• Si un componente sobrevive la mortalidad
infantil , la resistencia a fallar mejora con la
edad.
β = 1 (Tasa de riesgo constante)
• Implica fallas aleatorias(Distribución
Exponencial)
• Una parte vieja es tan buena como una
nueva
• Si esto ocurre:
- Mezcla de modos de falla
- Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o errores
humanos
- Fundido y removido antes de su
desgaste
1 < β < 4 (Tasa de Riesgo creciente)

• Si esto ocurre
- La mayoría de los baleros y engranes
fallan
- Corrosión o Erosión
- El reemplazo programado puede ser
efectivo en costo
- β =3.44⇒aprox. Normal, β =2⇒Rayleigh
β > 4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)

• Implica edad avanzada y rápido desgaste
• Si esto ocurre, sospeche de:
- Propiedades del material
- Materiales frágiles como la cerámica
- Variabilidad pequeña en manufactura o
material
La Distribución Weibull - Interpretación

• Cuando β = 2.5 la Weibull se aproxima a la
distribución Lognormal(estas distribuciones son tan
cercanas que se requieren tamaños de muestra
mayores a 50 para distinguirlas).
• Cuando se modela el tiempo que se necesita para
que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado
que la distribución Lognormal usualmente
proporciona un mejor ajuste que la Weibull.
• Cuando β = 5 la Weibull se aproxima a una Normal
puntiaguda.

Debido a su flexibilidad, hay pocas tasas de falla
observadas que no pueden modelarse adecuadamente
mediante la Weibull. Algunos ejemplos son.
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el
esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan,
tales como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más
débil del sistema(la distribución Weibull representa una
distribución de valor extremo).

• ¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo
tiene el valor de la vida característica, t = η?
6321
.
0
)
(
1
)
(
3678
.
0
exp
)
(
t
si
exp
)
(
1
=
=
−
=
=
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
η
η
η
η
η
η
η
β
β
t
R
t
F
e
t
R
t
t
R
Al llegar al tiempo
de vida igual a la
vida característica
el 63.2% de los
elementos habrá
fallado. Este hecho
se usa en las
gráficas para
identificar el valor
de η (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial,
recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial
cuando β = 1.

MANTENIBILIDAD
•  La probabilidad de restituir o volver al
servicio, en un tiempo determinado, a
un sistema que ha sufrido una falla o
interrupción en su funcionamiento

La Mantenibilidad, juntamente con la Confiabilidad,
representan los dos parámetros más importantes para la
evaluación operativa de un sistema.
Para efectuar una medición de la Mantenibilidad es
necesario definir primero algunos elementos constitutivos de
la misma.
Comencemos con el tiempo de interrupción (Ti) que
representa el intervalo de tiempo durante el cual el sistema se
encuentra fuera de servicio. Ti puede descomponerse en tres
partes:
a) Tiempo efectivo de reparación
b) Tiempo logístico
c) Tiempo administrativo

El tiempo efectivo de reparación, representa el
tiempo durante el cual el personal técnico se encuentra
realizando los trabajos de reparación para poner al sistema
nuevamente en servicio.
El tiempo logístico, representa la porción de Ti
necesaria para obtener los repuestos requeridos para la
reparación.
El tiempo administrativo representa la porción Ti
insumida por los retardos administrativos debido al
procesamiento de los requerimientos, las autorizaciones
para efectuar los trabajos, la obtención de horas extras, etc.

El tiempo de reparación puede en algunos casos, ser
disminuido por el empleo de personal adicional y para ello resulta
necesario mantener registros de las horas requeridas para cada
operación de mantenimiento.
Esta información es de suma importancia porque la misma
permite determinar el personal necesario para la realización de un
mantenimiento adecuado.
Como ningún sistema es 100% confiable, el
mantenimiento y sus correspondientes inversiones representan un
aspecto importante a tener en cuenta para la operación a largo
plazo.
De acuerdo con la definición de Mantenibilidad vemos que
deberán realizarse grandes esfuerzos con el objeto de reducir al
mínimo el tiempo de reparación de los elementos o unidades.

Para ello en el diseño se deberán incluir todas aquellas
facilidades que disminuyan la labor de los técnicos de mantenimiento.
Los procedimientos a utilizar para el mantenimiento de sistemas
pueden agruparse en dos categorías principales a saber:
1. Mantenimiento Programado: Es el planificado a través de
inspecciones a intervalos regulares. Su objetivo es mantener el
sistema en las condiciones originales de confiabilidad - seguridad -
performance y evitar que las fallas de los elementos o sistemas
aumenten o excedan los valores establecidos por el diseño; por esta
razón se lo conoce también con el nombre de mantenimiento
preventivo.
2. Mantenimiento no Programado: También llamado de
emergencia, es el que se realiza cuando se produce una falla que
afecta al funcionamiento normal del sistema. Su objetivo es restituir el
sistema a su condición normal lo más rápidamente posible mediante la
sustitución, reparación o ajuste del elemento defectuoso.

La reparación inmediata de las fallas resulta prácticamente
imposible. Lo más aproximado a este supuesto ocurre con aquellos
problemas que se producen en centros de mantenimiento que
disponen de personal de servicio las 24 horas del día y un
suficiente stock de repuestos.
En los sistemas redundantes activos que han sido
diseñados de modo que ante una falla el sistema continúe
operativo mientras se repara el o los elementos con falla, es
posible lograr una confiabilidad que resulta independiente del
tiempo de operación.
De cualquier manera los sistemas redundantes deben ser
periódicamente inspeccionados para asegurar que ningún
elemento ha fallado y que la confiabilidad del sistema es la original.

A similitud de MTBF se define al Tiempo Medio de Reparación
(Mean Time To Repair : MTTR = τ) que en la realidad es un valor
resultante de considerar diferentes circunstancias como:
τu: Tiempo necesario para que el personal técnico ubique la falla que a
su vez es función de la experiencia del personal, de la accesibilidad al
lugar de reparación, de la existencia de elementos indicadores de la falla,
etc.
τr: Tiempo de reparación de la falla, que depende del lugar donde se
produjo la falla (cerca o lejos de un centro de mantenimiento) de la
disponibilidad inmediata de personal para encarar la reparación, etc.
τt: Tiempo necesario para trasladar al personal desde el centro de
mantenimiento hasta el lugar de reparación.
τa: Tiempo administrativo necesario para autorizar y enviar al personal
de mantenimiento (que incluye partidas de gastos, materiales, vehículos, etc.)
. En resumen: τ= τu + τr + τt + τa = MTTR

τu y τr dependen del personal ( idoneidad, experiencia ) y de la naturaleza
de la falla.
τt depende de la distancia entre el lugar donde se generó la falla y el
centro de mantenimiento más cercano, de las características del
terreno, del medio de transporte empleado, etc.
τa depende de la organización impuesta por la institución o empresa
para los trámites burocráticos correspondientes a los viáticos,
suministros de materiales desde los depósitos, entrega de para los
vehículos, etc.
Si varias operaciones de mantenimiento pueden ser realizadas
simultáneamente y si las mismas pueden ser iniciadas al mismo tiempo,
el tiempo horario para volver operativo al sistema no será igual a la suma
de las horas/hombre correspondientes a todas las operaciones sino que
estará dado por el correspondiente al de la reparación del elemento o
unidad más lerda.

Para poder coordinar la Mantenibilidad con la Confiabilidad
es necesario establecer bien el MTTR.
La Mantenibilidad “M”, en función del tiempo y puede ser
representada por:
M(t) = 1 - e -t/τ = 1 - e -µ t
µ = 1 / MTTR = 1 / τ = tasa de reparación

MANTENIBILIDAD
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Tiempo/MTTR
MANTENIBILIDAD
D

DISPONIBILIDAD
•  la probabilidad de que el mismo se
encuentre operando en óptimas
condiciones en un instante de tiempo y
bajo condiciones de trabajo normales.

D= MTBF / (MTBF + TTR)=1 / (1 + β)
en donde
β= MTTR / MTBF=τ / m
tiempo medio entre fallas (MTBF tiempo favorable)
tiempo medio entre reparación (MTTR tiempo desfavorable)
tiempo medio total (MTBF + MTTR tiempo favorable +
desfavorable)
D = tiempo medio entre fallas / tiempo medio total

La disponibilidad no es una función del tiempo, pero sí
de la Confiabilidad y de la Mantenibilidad a través de la
relación β (MTBF/MTTR)
Resulta sumamente conveniente hablar de
disponibilidad porque da idea del rendimiento del sistema en
términos de mantenimiento y, por lo tanto, de organización
empresarial con todas sus implicancias y consecuencias,
aspectos que no son contemplados por la confiabilidad.

DISPONIBILIDAD
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
MTTR/MTBF
DISPONIBILIDAD
D

Como en el diseño de todo sistema existe siempre
una relación económica óptima entre los dos factores,
no es cuestión de aumentar exageradamente la
confiabilidad si ello no mejora justificadamente la
disponibilidad.

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