1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial "Andrés Eloy Blanco"
Barquisimeto- Edo Lara
Expresiones algebraicas,
Factorización y Radicalización
Alumno(a):
Dorimar Bravo
Prof: María Ramírez
PNF: Distribución y Logística
Sección:0303
2. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes:
Longitud de la circunferencia: L=2pi r, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S=l², donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V=a³, donde a es la arista del cubo.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. Si no se dice otra
cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar
parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables
que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
Suma de expresiones algebraicas
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve
para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de
dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están
compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar
atentos a las siguientes reglas:
Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin
exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos
casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es necesario,
escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los
signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
3. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma
algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de
su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
• + (2a²) + (3b) = a + 2a²+ 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás
términos.
(2a) + (–6b²) + (–3a²) + (–4b²) + (7a) + (9a²=
[(2a) + (7a)] + [(–3a²) + (9a²)] + [(–6b²) + (–4b²)] =
[9a]+[ 6a²]+[ –10b²] = 9a+ 6ª2– 10b².
Suma de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los
diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos
seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a² + 4a + 6b –5c – 8b² con c + 6b² –3a+ 5b
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo
de cada término:
4a + 3a² + 6b – 8b²
–3a + 5b + 6b² + c
Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a² +[6b + 5b] + [– 8b² +
6b²] + c
Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo
en el resultado: [4a–3a] + 3a²+ [6b + 5b] + [– 8b² + 6b²]+ c = a + 3a²+ 11b – 2b² + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando los
términos comunes y realizando las operaciones:
4. Resta de expresiones algebraicas
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que
permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al
sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el
minuendo (el elemento que disminuye en la operación).
Resta de monomios:
Dos o más monomios solo se pueden restar si son monomios semejantes, es decir, si
ambos monomios tienen una parte literal idéntica (mismas letras y mismos
exponentes).
La resta de dos monomios semejantes es igual a otro monomio compuesto por la
misma parte literal y la resta de los coeficientes de esos dos monomios.
Si nos encontramos con una resta de monomios no semejantes, es decir con el
exponente diferente o con alguna variable (o letra) distinta, no podemos realizar la
suma de dichos monomios de ninguna manera. Y, en ese caso, debemos dejar la
operación indicada (sin resolver).
Resta de polinomios:
Para hacer la resta de dos polinomios se deben restar los términos de los polinomios
que son semejantes. Es decir, la resta de polinomios consiste en restar los términos
que tienen la misma parte literal (mismas variables y mismos exponentes).
En matemáticas, se puede calcular la resta de polinomios de dos formas diferentes:
con el método vertical Resta de polinomios vertical.
Resta de polinomios vertical
Lo primero que debemos hacer para hallar cualquier resta de polinomios es poner un
polinomio debajo del otro, de manera que los términos semejantes de los dos
polinomios estén alineados por columnas.
5. Aunque ahora ya se podrían restar los polinomios directamente, es bastante fácil
equivocarse con lo signos si lo hacemos de esta manera. Por lo tanto, para realizar la
resta de polinomios es mejor cambiar de signo a todos los términos del polinomio
sustraendo (el polinomio que resta) y luego hacer la suma. Ya que restar un polinomio
es equivalente a sumar su polinomio opuesto.
Y una vez hemos ordenado todos los términos por orden de mayor a menor grado y
hemos negado los términos del polinomio de abajo, sumamos los coeficientes de cada
columna manteniendo las partes literales iguales:
Por lo tanto, el resultado obtenido de la resta de los 2 polinomios es:
Resta de polinomios horizontal
Seguramente este procedimiento es más rápido que el anterior, sin embargo es
necesario tener un dominio superior de los conceptos de los polinomios.
En primer lugar, tenemos que poner los dos polinomios en forma de operación
algebraica, o dicho con otras palabras, uno detrás del otro:
Los monomios del primer paréntesis permanecen igual, por el contrario, los términos
del segundo paréntesis se tienen que cambiar de signo porque tienen un negativo
delante:
6. Y ahora agrupamos los términos que tienen partes literales idénticas, es decir, los términos
con las mismas variables (letras) y los mismos exponentes. Los términos que no son
semejantes no se pueden ni sumar ni restar.
De modo que el polinomio resultante de la resta es:
Valor numérico de expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el
número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las
operaciones indicadas.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable
x por un número cualquiera.
P(x) = 2x³ + 5x - 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Q(x) = x⁴ − 2x³ + x² + x − 1 ; x = 1
Q(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
R(x) = x¹⁰ − 1024 : x = −2
7. R(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0m V(5) = 53 = 125 cm3.
Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en
otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado
llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y
multiplicador.
Ley de signos
Un punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente en la
multiplicación algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de signos nos dice que:
La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.
Veamos esta nomenclatura en el siguiente recuadro:
Por ejemplo, si queremos multiplicar los números
3 y −2, debe entenderse que el signo del numero 3 = +3 es positivo, es decir, se sobre
entiende, realizando la multiplicación:
8. Se multiplica los signos (+)(−)=– según la tabla elaborada y luego los números 2X3= 6,
tenemos como resultado el numero −6.
Multiplicación entre monomios
La multiplicación entre monomios es muy sencilla:
1.Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
2.Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los
exponentes que estudiamos anteriormente.
3.Aplicamos las ley distributiva
4.Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los signos.
Multiplicación de monomio por un polinomio
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio, aplicaremos la ley
distributiva, esto es, se multiplica el monomio a cada termino del polinomio, luego,
realizar el proceso de multiplicación entre monomios que ya explicamos anteriormente.
Este tipo de multiplicación tiene la siguiente forma: a(b+c)=ab+ac, donde a, b y c son
monomios. Ejemplo:
Multiplicación entre polinomios
9. Para saber como resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en
cuneta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la potenciación.
La forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomio es de la forma
(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd, esto es, la multiplicación entre dos binomios, su prueba es
muy sencilla, es tan solo aplicando la propiedad distributiva. Veamos, la propiedad nos
dice que x(y+z)=xy+xz, si suponemos que x=a+b, y=c y z=d, remplazando en la
propiedad, tenemos:
Por lo general, llamamos multiplicando al factor de la izquierda a+b y multiplicador al
factor de la derecha c+d, esto es:
División de expresiones algebraicas
Es una operación que consiste en determinar el cuociente entre dos expresiones
algebraicas.
División de monomios
Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base
siguiendo la ley de los exponentes:
Ejemplo:
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos
del dividendo entre el término del divisor.
10. Ejemplo:
restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:
División de polinomios entre polinomios
La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;
Si se tiene la división
1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la
división:
2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–
2x 2 ) por el primer término del divisor (x):
3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los
productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.
4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del
divisor (x) y se repite el proceso anterior.
11. Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0
Productos notables de expersiones algebraicas
Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son un
producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se conocen
como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir con solo hacer una
inspección, sin necesidad de verificar la multiplicación o recurrir a varios pasos.
Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer una factorización,
formada de polinomios que poseen varios términos.
En los polinomios, son de gran ayuda, ya que con el uso de sus reglas y fórmulas,
permiten que el proceso sea mucho más corto y que podamos expresar un polinomio
directamente sin necesidad de ir probando cada término.
Tipos de productos notables
Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su
característica particular, sus diferentes formas de resolver y con distintas reglas que
cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
Binomio al cuadrado.
Binomio al cubo.
Binomios conjugados.
Binomios con un termino común.
Trinomio al cuadrado
Trinomio al cubo.
Factorización por producto notable.
12. Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar
con la expresión a factorizar si tiene tres términos es el producto de binomios con
un término en común, escrito para identificar como
con a y b números enteros. Para factorizar el trinomio buscamos dos números que
sumados den el coeficiente de x y multiplicados el término independiente.
