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- 1. Criterios Ponderación Elaboración de ejercicios 10% Impacto visual 3% Originalidad 3% Uso de Slideshare 2% Creación y publicación 2% Total 20 % Nombre y apellido: Asdrubal Castillo C.I: 32660053 Profesora: María Sección: IN0403 República bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación superior Universidad politécnica Territorial Andrés Eloy blanco del estado Lara Expresiones algebraicas factorización y radicación
- 2. Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables y operaciones matemáticas, como la suma, resta, multiplicación y división. Se representan mediante símbolos y letras, donde los números se consideran constantes y las letras representan variables, es decir, valores que pueden variar. Funcionan todas las reglas aritméticas que hemos aprendido hasta ahora, solo que algunos números son sustituidos por letras que pueden recibir distintos valores. Se va a entender mejor con ejemplos: • Suma de dos números: Si tenemos dos números, por ejemplo, el 3 y el 5, sabemos que para sumarlos se escribe 3+5. Sabemos que su suma vale 8. Si los dos valores no son conocidos, también podremos sumarlos, aunque ahora no sabremos el resultado. Podemos representar esos dos números con las letras x e y, que como no tienen un valor fijo se llamarán variables. Si queremos expresar la suma de estos dos números, podemos usar la expresión algebraica: x + y. Observa que usamos dos variables distintas porque no nos han dicho que sean el mismo número, solo que queríamos obtener una expresión para la suma de «dos números». • El doble de un número: 2x • Área de un rectángulo: Al igual que para calcular el área de un rectángulo de base 4 y altura 2 multiplicamos 4 por 2, si deseamos calcular el área de un rectángulo con base «b» y altura «a», podemos utilizar la expresión algebraica: A = b · a, donde «A» representa el área del rectángulo. • Fórmula del área de un círculo: Si conocemos el radio de un círculo, representado por «r», podemos utilizar la expresión algebraica: A = π · r2 para calcular su área. Aquí, «A» denota el área del círculo y π es una constante que representa el valor aproximado de pi, usualmente tomamos 3,1416. • Conversión de temperatura: Supongamos que deseamos convertir una temperatura en grados Celsius a grados Fahrenheit. Podemos utilizar la expresión algebraica: F = (9/5) · C + 32, donde «C» representa la temperatura en grados Celsius y «F» representa la temperatura equivalente en grados Fahrenheit.
- 3. Sumas de Expresiones algebraicas Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos. Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se suele usar signos agrupación y es cierto que el operador suma (++) acompañada de los signos de agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es una pérdida de tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa cambia cuando tratemos con el operador diferencia (––), pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo anteriormente explicado solo sirve para aclarar esta diferencia. Decíamos, cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de agrupación y el operador suma (++), los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar los signos operacionales de cada término del polinomio encerrado entre los signos de agrupación, veamos el siguiente apartado un ejemplo generalizado: Ejercicio 1: Suma las siguientes expresiones algebraicas: 3x + 2y - 4z y 5x - 3y + 7z Solución: Para sumar estas expresiones, simplemente sumamos los términos semejantes: (3x + 5x) + (2y - 3y) + (-4z + 7z) = 8x - y + 3z Ejercicio 2: Resta las siguientes expresiones algebraicas: 4a - 2b + 5c y 2a + 3b - 7c Solución: Para restar estas expresiones, restamos los términos semejantes: (4a - 2a) + (-2b - 3b) + (5c + 7c) = 2a - 5b + 12c Sumas entre monomios: Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos,
- 4. ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 1 ejercicio. 2x + 4x = (2+4) x =6x Suma de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: ejercicio 1. Ejercicio 1: Dado el polinomio 3x + 5, encuentra el valor numérico cuando x = 2. Sustituyendo x por 2, obtenemos: 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11 Por lo tanto, el valor numérico de 3x + 5 cuando x = 2 es 11. Ejercicio 2: Dado el polinomio 4y - 7, encuentra el valor numérico cuando y = 3. Sustituyendo y por 3, obtenemos: 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5 Por lo tanto, el valor numérico de 4y - 7 cuando y = 3 es 5. Restas de Expresiones algebraicas Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones. Resta de monomios: A continuación, se muestran diferentes ejemplos posibles en la resta de monomios:
- 5. Ejercicio: Resta 5x^2 - 3x de 7x^2 - 2x. Solución: Para restar estas expresiones algebraicas, primero identificamos términos similares. En este caso, ambos términos tienen un término con x^2 y un término con x. Entonces, la resta se ve así: (7x^2 - 2x) - (5x^2 - 3x) Al restar, recordamos que, al restar un término negativo, cambiamos su signo. Luego, restamos término por término: 7x^2 - 2x - 5x^2 + 3x Agrupamos los términos similares: (7x^2 - 5x^2) + (-2x + 3x) 2x^2 + x Por lo tanto, la resta de 5x^2 - 3x de 7x^2 - 2x es 2x^2 + x. Resta de polinomios: En la resta de monomios en realidad consiste en cambiar el signo del sustraendo, es recomendable analizar con paréntesis ya que en la resta de polinomios el signo de la resta afecta a todo el sustraendo, por lo tanto, se estaría empleando el mismo método realizado. Para restar polinomios de expresiones algebraicas, primero necesitas identificar los términos semejantes y luego
- 6. combinarlos. Por ejemplo, vamos a restar el monomio 7x^2 - 2x de 5x^2 - 3x. 1. Escribe la expresión original: 5x^2 - 3x - (7x^2 - 2x) 2. Elimina los paréntesis y cambia el signo del segundo polinomio: 5x^2 - 3x - 7x^2 + 2x 3. Combina los términos semejantes: (5x^2 - 7x^2) + (-3x + 2x) 4. Realiza las operaciones: -2x^2 - x Entonces, la resta de 7x^2 - 2x de 5x^2 - 3x es igual a -2x^2 - x. Valor Numérico de Expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completas las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del numero que se asigne a cada una de las variables de la misma. Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. Ejercicio 1: Dada la expresión algebraica 3x + 5, encuentra su valor numérico para x = 2. Solución: Sustituimos x por 2 en la expresión: 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11. Por lo tanto, el valor numérico de la expresión para x = 2 es 11. Ejercicio 2: Si la expresión algebraica es 4y - 7, determina su valor numérico para y = 3.
- 7. Solución: Sustituimos y por 3 en la expresión: 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5. Así que, el valor numérico de la expresión para y = 3 es 5. Multiplicaciones de Expresiones algebraicas La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica. Aquellas proposiciones que ya hemos demostrado previamente serán usadas en esta sección. Estas leyes son la ley de los signos, las leyes de la potenciación de la teoría de exponentes como las leyes distributivas de multiplicación con respecto a la suma y resta. Monomios: La multiplicación entre monomios es muy sencilla: 1. Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio 2. Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los exponentes que estudiamos anteriormente. 3. Aplicamos la ley distributiva 4. Por último, aplicamos finalmente las leyes de los signos. Tanto los signos de agrupación como el punto, indican que los factores se están multiplicando siempre y cuando no exista algún operador entre los factores: Claro, aquí tienes un ejercicio explicado y resuelto de multiplicaciones de monomios en expresiones algebraicas: Ejercicio: Multiplica el monomio 2x^2 por el monomio 3x^3. Solución: Para multiplicar monomios, simplemente multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes de las variables.
- 8. Para 2x^2 * 3x^3: Multiplicamos los coeficientes 2 y 3 para obtener 6. Sumamos los exponentes de x, 2 + 3, para obtener x^5. Por lo tanto, 2x^2 * 3x^3 = 6x^5. Polinomios: Para saber cómo resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la potenciación. Cuando multiplicas polinomios, primero debes usar la ley distributiva para multiplicar cada término en un polinomio por cada término en el otro polinomio. Luego, sumas los exponentes de las mismas variables. Por ejemplo, si tenemos los polinomios (3x + 2) y (4x - 5), el procedimiento sería: (3x + 2) * (4x - 5) = 3x * 4x + 3x * (-5) + 2 * 4x + 2 * (-5) = 12x^2 - 15x + 8x - 10 = 12x^2 - 7x - 10 División de Expresiones algebraicas División de dos monomios. En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como en el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
- 9. Dividir un monomio y otro monomio: Para dividir un monomio por otro monomio, simplemente divide los coeficientes y luego divide las variables con exponentes correspondientes. Por ejemplo, para dividir 6x³ entre 2x, dividimos los coeficientes (6 ÷ 2 = 3) y luego restamos los exponentes de las variables (x³ ÷ x = x²). Por lo tanto, el resultado es 3x². Dividir un polinomio entre un monomio: Claro, puedo explicarte y resolver un ejercicio de división de expresiones algebraicas de un polinomio por un monomio. Por ejemplo, vamos a dividir el polinomio 12x^3 - 8x^2 + 4x entre el monomio 4x. La división se realiza término por término del polinomio. Primero dividimos 12x^3 entre 4x, lo que resulta en 3x^2. Luego dividimos -8x^2 entre 4x, lo que nos da -2x. Finalmente, dividimos 4x entre 4x, dando como resultado +1. Por lo tanto, la división del polinomio 12x^3 - 8x^2 + 4x entre el monomio 4x es igual a 3x^2 - 2x + 1. Producto Notable Expresiones algebraicas Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas las cuales sobresalen de las demás multiplicaciones por su frecuente aparición en matemáticas. De ahí el nombre producto, que hace referencia a "multiplicación" y notable, que hace referencia a su "destacada" aparición.
- 10. Así bien, una vez aprendido dichos productos notables, no habrá necesidad de comprobar dicha multiplicación mecánicamente, es decir, solo debemos seguir las reglas aprendidas con anterioridad que caracterizan a cada producto notable. Producto notable: cuadrado de un binomio Fórmula: (a + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2 Ejemplo: Dada la expresión (x + 3) ^2, podemos aplicar la fórmula para expandirla: = (x + 3) (x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9 Entonces, (x + 3) ^2 = x^2 + 6x + 9. Factorización Producto Notable Expresiones algebraicas La Factorización, es escribir una expresión algebraica como un producto de factores, una suma, una resta, una matriz, un polinomio, etc., tal que estos factores sean primitivos entre si dos a dos, si es que los hubiese. Los términos de factorización, simplificación y productos notables, están estrechamente relacionados entre sí. Dada la expresión x^2 - 7x - 30, podemos factorizarla usando el producto notable de una fórmula binomial al cuadrado, que es (a ± b) ^2 = a^2 ± 2ab + b^2 [2].
- 11. Primero, identificamos los valores de a y b en la expresión dada. Aquí, a = x y b = -15, ya que -15 * -15 = 225, y x^2 - 7x - 30 es equivalente a x^2 - 15x + 8x - 30. Próximo, Usamos la fórmula (a ± b) ^2 = a^2 ± 2ab + b^2 para expandir (x - 15) ^2, lo que da como resultado x^2 - 30x + 225. Por lo tanto, la factorización de la expresión dada x^2 - 7x - 30 usando el producto notable de una fórmula binomial al cuadrado es (x - 15) (x - 15), o (x - 15) ^2. Factor común monomio: 1. Descomponer en factores a 2 + 2a a 2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 + a = a y 2a÷ a = 2 y tendremos: a 2 + 2a=a(a+2) Factor común polinomio: 1. Descomponer x (a + b) +m(a+b) Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b), por lo que ponemos (a + b) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de
- 12. dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b), o sea: x(a+b) =x y m(a+b) =m (a+b) (a+b) y tendremos: x(a+b) +mí(a+b) =(a+b) x+m).