Los números primos, esos enteros que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad, por siglos han sido tema de estudio de matemáticos y profanos. En la antigüedad Euclides demostró elegantemente la infinitud de los mismos, pero no todos sus secretos han sido revelados. Al ser infinitos, intuitivamente, se podría pensar que la distancia entre dos números primos consecutivos tiende a ser cada vez mayor, incluso existen números compuestos que se aglutinan formando lagunas que se caracterizan por carecer de números primos, dichas lagunas parecen dar la razón a la intuición, pero en el reino de los números primos las cosas no siempre son como parecen y existen conjeturas, como la de Andrica, que contradicen la intuición.

1. CONJETURA DE ANDRICA: ¿LÍMITE INALCANZABLE DE
LA DIFERENCIA DE LAS RAICES DE DOS NÚMEROS
PRIMOS
CONSECUTIVOS?
JOSÉ ACEVEDO JIMÉNEZ
Santiago, Rep. Dom.
31/05/2018
Los números primos, esos enteros que solo son divisibles entre ellos
mismos y la unidad, por siglos han sido tema de estudio de
matemáticos y profanos. En la antigüedad Euclides demostró
elegantemente la infinitud de los mismos, pero no todos sus secretos
han sido revelados. Al ser infinitos, intuitivamente, se podría pensar
que la distancia entre dos números primos consecutivos tiende a ser
cada vez mayor, incluso existen números compuestos que se aglutinan
formando lagunas que se caracterizan por carecer de números primos,
dichas lagunas parecen dar la razón a la intuición, pero en el reino de
los números primos las cosas no siempre son como parecen y existen
conjeturas, como la de Andrica, que contradicen la intuición.
1 Conjetura de Andrica
La conjetura de Andrica fue formulada en 1986 por el
matemático rumano Dorin Andrica. Dicha conjetura trata sobre
la distancia que hay entre dos números primos consecutivos.
Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma:
Si es el n-ésimo número primo, la conjetura de Andrica
afirma que la desigualdad:
se cumple para todo .

2. Valores de la función para los primeros números primos.
Fuente de la imagen: mathworld.
El gráfico contiguo de arriba nos muestra que la conjetura de
Andrica se cumple para los primeros números primos, de hecho
empíricamente se ha confirmado que la conjetura es cierta para
valores muy grandes de , pero aún no existe una prueba
matemática que valide la conjetura.
1.1 Intuición vs conjetura
Es bien sabido que los números primos son infinitos, pero a
medida que van creciendo los números naturales los números
primos se hacen cada vez más escasos. La función contador de
números primos , que indica la cantidad de primos que
están por debajo de , nos da una idea de que tan escasos se van
haciendo los números indivisibles.
Al escasear los números primos conforme se hacen mayores es
sensato intuir que la distancia entre dos primos consecutivos
aumenta también, pero la conjetura de Andrica contradice
nuestra intuición y es eso, precisamente, lo que la hace tan
interesante.
1.1.1 Laguna de números primos
Existen secuencias de números de cualquier longitud finita
donde no aparecen números primos. Dichas secuencias

3. fortalecen aún más nuestra intuición, pero los teoremas hay que
demostrarlos no intuirlos.
Una forma sencilla de demostrar que existen cadenas de
números compuestos de cualquier longitud finita es la siguiente:
Si es un número impar cualquiera, entonces es el
siguiente número impar. Las secuencias de números compuestos
consecutivos se forman del siguiente modo:
Como 2 es el único número par que es primo, no ha sido
necesario incluir a los números pares pues no afecta lo que
queremos ilustrar.
1.2 Intuición vs evidencias
Dos números primos impares consecutivos (diferencia igual a 2)
se pueden expresar matemáticamente de la siguiente
manera: , , para todo . El problema es
que no solo los primos gemelos pueden ser expresados así,
también se cuelan los compuestos cuya diferencia es igual a 2.
Aún así, vamos a ver qué sucede cuando sustituimos esta
representación genérica en la desigualdad de Andrica.
Desarrollando la operación tenemos:

4. Como podemos observar, para números enteros positivos cuya
diferencia sea igual a 2, la desigualdad se cumple para todo
Esto incluye a todos los números primos gemelos
(diferencia igual a 2).
Los enteros positivos cuya diferencia es igual a 4 pueden ser
expresados matemáticamente de la siguiente manera: ,
, siguiendo un proceso similar al antes mostrado
obtenemos la expresión:
En este caso para todos los valores de , la conjetura de
Andrica se cumple para los enteros cuya diferencia es igual a 4.
Para enteros positivos cuya diferencia es 6, la desigualdad está
dada por:
, para valores de .
Lo expresado puede ser generalizado de la siguiente forma:
Para enteros positivos cuya diferencia es , , la
desigualdad está dada por:
, donde

5. 1.2.1 Diferencia de números primos consecutivos
Como hemos visto, existen secuencias de números compuestos de
cualquier longitud finita, pero dichas cadenas no invalidan la conjetura
de Andrica, a continuación veremos la razón.
De todos los número primos consecutivos cuya diferencia es dos, 3 es
el más pequeño.
De todos los números primos consecutivos cuya diferencia es cuatro, 7
es el más pequeño.
De todos los números primos consecutivos cuya diferencia es seis, 23
es el más pequeño.
De todos los números primos consecutivos cuya diferencia es ocho, 89
es el más pequeño.
Si continuamos el procedimiento y llamamos a cada término de la
sucesión, donde tenemos:
3, 7, 23, 89, 113, 523, 1129,...,
Fuente: worldmath.
1.2.1.1 Comparando sucesiones
Al hacer un estudio de los términos de la sucesión de primos y los
que obtenemos de , podemos notar que, para , los
términos de la sucesión de primos son más grandes que los términos
de . Esto nos hace pensar, aunque va en contra de nuestra
intuición, que la conjetura de Andrica es verdadera.

6. Sucesión1:
1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, …
Si llamamos al primer término de la sucesión, entonces:
Obsérvese que:
Sucesión2:
3, 7, 23, 89, 113, 523, 1129,...,
Esta sucesión no la podemos expresar de forma explícita, lo que sí
sabemos es que pueden suceder dos cosas:
1)
Si se cumpliera para todos los términos, entonces la conjetura de
Andrica sería verdadera. Sabemos que no se cumple para todos los
términos, pues y son mayores que .
2) Para , siempre existe algún término posterior a que
es menor a dicho término. Ejemplo: .
Por 1, sabemos que si entonces: Si
es mayor a y , significa entonces que
y En general, si , donde
, entonces: , donde:
Al comparar “las fórmulas” que nos generan los términos posteriores de
cada sucesión, es obvio que si los términos de la sucesión1, para ,
son menores que los términos de la sucesión2, esto es ,

7. entonces queda resuelta la aparente paradoja que existe entre la
conjetura de Andrica y la laguna de números primos. En otras palabras,
si entre y existe siempre por lo menos un
número primo, , entonces podemos afirmar que la conjetura
de Andrica es verdadera.
Fuentes
 La conjetura de Andrica, en gaussianos.com
 Conjeturas, de Antonio Roldán Martínez, hojamat.es
 Andrica’s conjecture, en MathWorld