Escrito que justifica la infinitud de los números autobiográficos.

1. Números autobiográficos: un conjunto infinito de
números que se creía finito.
Por José Acevedo Jiménez.
Intenté alcanzar el infinito, partiendo de lo finito. Y una vez
Iniciado el viaje, para mi propósito lograr, no pude volver
hacia atrás. Sé que una vida eterna no me servirá, pues, por
más que cuente y cuente el infinito ventaja siempre tendrá.
Un número es autobiográfico si su primera cifra –iniciando por la izquierda- indica el número de ceros que tiene el
número; su segunda cifra, el número de unos y así sucesivamente. Un ejemplo de número autobiográfico es el 2020.
El más pequeño de los números autobiográficos es el 1210. No es difícil probarlo y mejor aún, es un bonito problema de
lógica. Aquí va la demostración:
El primer dígito no puede ser 0, pues indicaríamos que no hay ceros.
Nada impide que agreguemos 1, así que uno es nuestro primer dígito (este indica que existe un 0).
El segundo dígito no puede ser 0, pues este indicaría que no existen unos. Tampoco podría ser 1, pues indicaría que solo
tenemos un 1. Así llegamos al 2 (como segundo dígito), en este punto la cosa queda más clara; resulta evidente que el
próximo – tercer dígito - es el 1, recordemos que el 2 indica que existen dos unos. Y, por último tenemos el 0 – cuarto
dígito -. Así obtenemos el número: 1210, el más pequeño de los números autobiográficos. Los siguientes números
autobiográficos son:
2020
21200
3211000
42101000
521001000
6210001000
72100001000
821000001000
9210000001000
Por la definición dada, no hay que esforzarse mucho para intuir que los números autobiográficos pertenecen a un conjunto
finito de números. Pero, ¡esperen un momento!, si observamos bien la secuencia de números mostrados encontramos un
patrón.
Patrón de los números autobiográficos.
Lo primero que observamos es que, iniciando desde la izquierda, el primer dígito del primer número autobiográfico es el
1; el primer dígito del segundo número autobiográfico es 2, lo mismo para el tercer número; el primer dígito del cuarto
número es 3; el primer dígito del quinto número es 4; el primero del sexto es 5 y así sucesivamente hasta llegar al 9 que es
el primer dígito del décimo número. Entonces, cabe preguntarse: ¿por qué no seguir con el 10 y el resto de los números

2. naturales? Bueno, lo primero es que la definición de números autobiográficos nos limita al hablar de cifra o dígito en vez
de números. Los números del 0 al 9 son los únicos naturales que tienen una única cifra, el resto se obtiene combinando
dos o más de los citados números. Así que, lo primero que haremos para ampliar el conjunto de los números
autobiográficos es, con el perdón de la persona que los descubrió y definió, modificar ligeramente su definición. Pero,
antes seguiremos dando sentido al patrón encontrado.
Pues bien, fíjense que a partir del número autobiográfico 3211000, el resto es fácil de obtener. Si llamamos a los dígitos
del 3 al 9, vemos que, iniciando desde la izquierda, los dígitos 21 siempre se repiten. También observamos que a partir
del cuarto número autobiográfico, para todos ellos, los últimos cuatro dígitos son: 1000. Entonces, un número
autobiográfico puede ser expresado como: 21 1000. Donde representa la cantidad de ceros que hay entre y
1000.
Y si vemos a como un número mayor que 2 en vez de un dígito que puede adoptar un valor del 3 al 9, ¿qué sucede?
Para ver qué pasa, tomemos como ejemplo:
21 1000, entonces 102100000001000 es nuestro número buscado. Veamos si podemos clasificarle como un
número autobiográfico. Lo primero que debemos hacer es ver el número autobiográfico como una cadena de números
adheridos. El primer número adherido (izquierda) puede tener una o más cifras, a este se le adherirán más números de solo
una cifra. Para tener una mejor idea usaremos colores para ilustrarlo.
102100000001000 (dos o más cifras seguidas de un mismo color hacen referencia a un número – el primero de la
izquierda -, colores distintos hacen referencia a un número de un solo dígito). Al hablar de números, tenemos que el
número autobiográfico en cuestión contiene: un diez, un dos, dos unos y diez ceros. Si habláramos de cifras o dígitos la
cosa sería diferente, pues tendríamos tres unos, en vez de dos y once ceros en vez de diez. Ahora, a probar:
El primer número adherido (10) indica que hay diez (números) ceros; el segundo número (2) indica que hay dos
numerales que representan al 1; el tercer número adherido (1) indica que hay un número 2; el cuarto número (0) indica
que no hay cuatros y así sucesivamente. El onceavo número adherido (1) nos indica que hay un diez que es nuestro primer
número adherido; a partir de este, los demás ceros indican que no hay números: 11, 12 y 13. Como pueden observar la
cadena 102100000001000 vista como un solo número se puede enmarcar dentro del conjunto de los números
autobiográficos. Pero, para darle sentido modificaremos la definición original así:
Un número dado es autobiográfico si está formado por números adheridos que cumplen la siguiente condición: el primer
número adherido (de uno o más dígitos), iniciando desde la izquierda, indica la cantidad de números ceros adheridos; el
segundo número adherido (de un solo dígito) indica la cantidad de números unos adheridos y así sucesivamente.
Podría pensarse que esta definición ha sido forzada para dar sentido a este escrito, pero al observar la secuencia de
números que dejamos abajo vemos que no lo es.
3211000
42101000
521001000
6210001000

3. 72100001000
821000001000
9210000001000
102100000001000
1121000000001000
12210000000001000
132100000000001000
1421000000000001000
Y en general:
Donde: es un número entero adherido mayor que 0 y representa una cadena de ceros adheridos (cada uno como un
número independiente ); . De esta manera, considerando la nueva definición, podemos concluir que los
números autobiográficos son, después de todo, infinitos.