Sistemas numéricos y propiedades de los números reales

1
SISTEMAS NUMÉRICOS 2
Cómo fueron apareciendo los números (Resumen) ....................................................................................2
Números Naturales .................................................................................................................................2
Números Enteros ....................................................................................................................................2
Números Racionales...............................................................................................................................2
Números irracionales..............................................................................................................................3
Números Reales......................................................................................................................................3
Definición formal de los números ..............................................................................................................5
NUMEROS REALES.................................................................................................................................5
Axiomas..................................................................................................................................................5
Propiedades de la igualdad .....................................................................................................................7
Demostración de algunos Teoremas ...................................................................................................8
Definición de números positivos y negativos .........................................................................................8
Definición de otras operaciones aritméticas .......................................................................................9
Subconjuntos de los Números Reales........................................................................................................9
Números Naturales .................................................................................................................................9
Teorema Fundamental del Algebra.........................................................................................................9
Los Números Enteros .............................................................................................................................9
Los números racionales ........................................................................................................................10
Densidad de los números racionales.....................................................................................................11
Irracionales ...........................................................................................................................................12
Representación decimal de un número Real.........................................................................................12
Periódica...........................................................................................................................................13
Periódica Pura...................................................................................................................................13
Periódica Mixta.................................................................................................................................13
Representación Geométrica de los números reales...............................................................................14
Representación de irracionales cuadráticos en la recta real..................................................................14
Potenciación..............................................................................................................................................14
Propiedades de la potenciación.............................................................................................................15
Definiciones......................................................................................................................................16
Exponente Fraccionario........................................................................................................................16
Radicación ................................................................................................................................................17
Propiedades de la radicación ...............................................................................................................17
MATEMÁTCA I - ISFDR N°6018 -
HIPOLITO YRIGOYEN

SISTEMAS
NUMÉRICOS
Apuntes y Diseño : Prof. Adj. Ing. Mercedes Encalada – J.T.P. Bach. Arturo Vega Corrales
2
Números Naturales
El conjunto más natural de los números es el que sirve para contar, a partir de la unidad. En matemáticas,
como recordarán, se usan llaves para indicar los elementos de un conjunto.
Por ello, el conjunto de los números naturales se indica:
{ }
.
..
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
N
Con ellos podemos contar: nuestros libros, nuestros amigos, nuestro dinero, etc.
El cero no pertenece al conjunto de los números naturales, pero se puede formar un nuevo conjunto de los
naturales con el 0, al que llamaremos 0
N
{ }
.
..
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
=
0
N
Números Enteros
Los números naturales tienen limitaciones; por ejemplo no se puede restar cuando el minuendo es menor o
igual que el sustraendo. Para resolver este problema se amplía el conjunto N y se obtienen los números
enteros.
Z ( del alemán Zahlen) designará al conjunto de los enteros.
Z ={.... , - 4, -3, -2 , -1 , 0 , +1, +2, +3, +4, .... }
Cuando tratamos de medir longitudes, pesos, etc., los enteros son inadecuados. Están demasiados
espaciados para darle suficiente precisión.
Números Racionales
Los cocientes ( razones ) de enteros, con divisor no nulo, forman un conjunto más amplio que el de los
enteros.






≠
∧
∈
= 0
,
/ b
b
a
b
a
Z
Q
Son ejemplos de números racionales:
9
6
;
9
2
;
5
4
;
6
7
;
4
3
;
2
1
−
−
−
−
No incluimos
0
3
0
5 −
ó ya que resulta imposible dar un significado a estos símbolos .
Todo número racional puede ser escrito como decimal, dado que por definición, siempre puede ser
expresado como cociente de dos enteros, con divisor no nulo; si dividimos el numerador por el
denominador, obtenemos un decimal..
La representación decimal de un número racional o bien es finita ( como en 375
.
0
8
3
= ) o
se repite en ciclos regulares infinidad de veces ( ...
18181818
,
1
11
13
= ) . Un decimal finito
5
,
0
2
1
= 375
,
0
8
3
= ...
18181818
,
1
11
13
= ...
4285714285
,
0
7
3
=
NUNCA DIVIDA
POR CERO
HIPOLITO YRIGOYEN

3
puede ser considerado como uno en el que se repiten ceros. Por ejemplo:
Por lo tanto todo número racional puede escribirse como un decimal periódico y también todo decimal
periódico representa un número racional. Esto es obvio en el caso de un decimal finito ( por ejemplo:
1000
2145
145
,
2 = ) y es fácil de probar en el caso general.
Ahora nos preguntemos: ¿Sirven los números racionales para medir, por ejemplo, todas las longitudes?
NO.
Este sorprendente hecho fue el que dio por tierra la escuela de Pitágoras.
La medida de esa hipotenusa 2 , no puede escribirse como cociente de enteros; por lo tanto 2 es
irracional ( no racional ). También lo son irracionales: etc
e,
,
,
7
;
5
;
3 3
π
Números irracionales
Con la letra I se designará al conjunto de los números irracionales. Cuando hablamos de los racionales,
vimos que todo racional puede escribirse como una expresión decimal periódica. ( Ejemplo:
....
5000
,
1
2
3
= ; ....
333333
,
0
3
1
= ; ....
142871
,
0
7
1
=
y recíprocamente, toda expresión decimal periódica, representa un número racional.
Ejemplo:
100
7103
03
,
71 = ;
90
91
...
0111111
,
1 = ;
3
10
....
33333
,
3 =
Los números irracionales se pueden escribir como expresiones decimales no periódicas; ejemplo
.
Observe que por más cifras decimales que escribamos, no habrá una o un conjunto de cifras que se repitan;
o sea si escribimos los irracionales como decimales no periódicos.
Ejemplo de irracionales: 0,10100100010000...
0,10110111011110...
Números Reales
A la unión de racionales e irracionales llamaremos números reales.
I
Q
R ∪
=
Podemos hacer el siguiente cuadro como resumen:





















)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
I
N
Z
Q
R
es
Irracional
ios
Fraccionar
negativos
enteros
Negativos
cero
positivos
enteros
Naturales
Enteros
Racionales
Reales
.....
3750000000
,
0
375
,
0
8
3
=
=
...
414213562
,
1
2 ≅
Pitágoras no pudo obtener la medida de la hipotenusa
cuando ambos catetos miden 1.
2
1
1
SFDR N°6018 - HIPOLITO YRIGOYEN

4
Puede establecerse una correspondencia “uno a uno” entre los números reales y los puntos de una recta. A
cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real, un punto de la recta.
Densidad: Entre dos números reales diferentes cualesquiera x e y, hay otro número real. En
particular, el número
2
y
x
z
+
= es equidistante de x e y.
Dado que también hay un número entre r y
2
y
x +
y otro entre s y
2
y
x +
y como este argumento
puede repetirse indefinidamente. La conclusión es que entre dos números reales diferentes cualquiera
existen infinitos números reales.
En realidad podemos decir más. Entre dos números reales distintos hay tanto un número racional como uno
irracional ( y, por tanto, una cantidad infinita de cada especie).
Ejemplo: Encuentre un número racional y uno irracional comprendidos entre x e y si:
x = 0,31234158
y= 0,3123426666666666....
Solución z= 0,31234160606060660...
w= 0,3123416010010001.....
Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos estado analizando consiste en decir
que tanto los números racionales como los irracionales son densos en la recta real .
Todo número tiene tanto vecinos racionales como irracionales arbitrariamente cercanos a él.
Los dos tipos de números están entretejidos en forma inseparable e inexorablemente apiñados entre sí.
Una manifestación de la propiedad de densidad es que se puede aproximar cualquier número irracional
tanto como se desee, mediante números racionales.
Tómese 2 como ejemplo. Los números racionales 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,414213; podemos
llegar tan cerca de 2 como queramos.
Advertencia: En lo sucesivo, haga los cálculos fáciles sin usar calculadora, en especial si esto permite una
respuesta exacta. Por ejemplo, en general preferimos la respuesta exacta
2
3
que el valor de la
calculadora 0.866025403
2
y
x +
r s
x y
Números Racionales
Números Irracionales
Precaución
Región densamente
poblada ( a ambos lados)
HIPOLITO YRIGOYEN

INTRODUCCION A LA MATEMATICA - UNSa. SEDE ORAN
5
Definición formal de los números
La Matemática es un instrumento esencial de trabajo en ingeniería, economía, psicología, biología; etc. Sin
embargo, es algo completamente distinto. La matemática es totalmente abstracta. Muchas personas
tiemblan ante la idea de algo abstracto; pero en realidad, cuando se conoce la verdadera naturaleza de la
abstracción matemática, no se encuentra nada temible en ella.
Para entender mejor lo dicho describiremos lo que hay de esencial en una teoría o estructura matemática.
1) Se selecciona un reducido número de palabras y se aceptan como términos no definidos. Todos los
demás términos se definen a partir de éstos.
Supongamos que conjunto, elemento y pertenencia sean términos no definidos. Entonces podemos definir
intersección entre los conjuntos A y B, corno el conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A"
y a "B". A y quién insista en preguntar ¿Qué es un conjunto'? Tendremos que darle una inquietante
respuesta: "No sabemos"; no está definido.
Una vez que hemos preparado nuestro vocabulario de términos no definidos y de otras palabras que
definimos a partir de aquellos, estarnos en condiciones de formular proposiciones acerca de estos nuevos
términos.
Ahora tenemos que establecer una estructura de referencia sobre la cual se basa nuestro razonamiento.
Para esto elegimos unas pocas proposiciones que aceptamos como verdaderas: " Axiomas". Estos axiomas
son de carácter completamente abstracto.
Es probable que se haya oído hablar de un axioma como de una verdad evidente por sí misma. Sin
embargo, los axiomas pueden ser proposiciones cualesquiera, sean evidentes o no.
Como las teorías matemáticas pueden nacer de cualquier conjunto de axiomas, hay una gran variedad de
ellos. Algunos son interesantes y útiles, otros solamente interesantes y hay algunos que son sólo
curiosidades de escaso valor aparente. El mecanismo se puede sintetizar así: Observamos lo que nos rodea.
Construimos un modelo abstracto en el que los términos no definidos corresponden a los objetos más
importantes que hemos identificado, además nuestros axiomas corresponden a las proposiciones básicas de
estos objetos.
A partir de los axiomas procedemos a establecer la verdad o falsedad de otras proposiciones, lo hacemos
con ciertas reglas que llamaremos "Leyes de la Lógica".
A partir de los Axiomas, se prueba por un proceso lógico, la verdad de una propiedad dada.
Entonces nuestro sistema matemático consta de 4 partes: '
1) Términos no definidos (Primitivos).
2) Definiciones de todos los términos no primitivos.
3) Axiomas.
4) Teoremas. (Propiedades que se deducen de los axiomas).
NUMEROS REALES
Consideremos el conjunto de los reales y en ese conjunto, la suma y el producto
R
R ∈
+
⇒
∈
∀ b
a
b
a,
R
∈
b
a.
Decimos entonces que R es cerrado respecto a la suma y el producto
Axiomas
Veremos 6 axiomas referidos a la suma y producto en R.
A1: Propiedad conmutativa de la suma y del producto
a
b
b
a
a
b
b
a
b
a
.
.
:
,
=
+
=
+
∈
∀ R

6
A2: Propiedad asociativa de la suma y del producto
)
.
.(
).
.
(
)
(
)
(
:
,
,
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
=
+
+
=
+
+
∈
∀ R
A3: Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
c
b
b
a
c
b
a
c
b
a .
.
)
.(
:
,
, +
=
+
∈
∀ R
A4: Existencia del neutros: ( neutro para una operación dada, es aquel que operada con cualquier elemento
en este caso de R, reproduce ese número real). El neutro se simboliza con la letra e.
i) Neutro de la suma
a
a
e
e
a
e
a =
+
=
+
∈
∃
∈
∀ /
: R
R
a
e
a =
+ a
a
e =
+
0
=
−
=
e
a
a
e
0
=
−
=
e
a
a
e
ii) Neutro del producto
a
a
e
e
a
e
a =
=
∈
∃
∈
∀ .
.
/
: R
R
a
e
a =
+
0
1 ≠
=
=
a
si
e
a
a
e
A5: Existencia de inversos (En toda operación con neutro hay que verificar la existencia de inverso (
inverso es el operado con un elemento de R, da como resultado el neutro). Se simboliza: a′
i) Inverso (opuesto) para la suma
e
a
a
a
a
a
a =
+
′
=
′
+
∈
′
∃
∈
∀ /
, R
R
a
a
a
a
−
=
′
=
′
+ 0
a
a
a
a
−
=
′
=
+
′ 0
Es decir: 0
.
)
(
)
(
.
/
)
(
, =
+
−
=
−
+
∈
−
∃
∈
∀ a
a
a
a
a
a R
R
Entonces el inverso para la suma es a
−
i) Inverso (recíproco) para el producto
0
;
.
.
/
, ≠
=
′
=
′
∈
′
∃
∈
∀ a
e
a
a
a
a
a
a R
R
0
;
1
1
.
≠
=
′
=
′
a
a
a
a
a
0
;
1
1
.
≠
=
′
=
′
a
a
a
a
a
También se simboliza:: 1
1 −
= a
a
Es decir: 0
;
1
.
..
/
, 1
1
1
≠
=
=
∈
∃
∈
∀ −
−
−
a
a
a
a
a
a
a R
R
Entonces el inverso para e producto es
a
1
0
=
a no tiene inverso multiplicativo.
Si 0
=
a
Voy a la definición de neutro y verifico
para 0
=
a ∧ 1
=
e , se cumple la igualdad
R
∈
∀
=
⇒



=
=
=
=
a
e ;
1
0
0
0
0
0
.
1
1
.
0

7
Axiomas de Orden: me permiten saber cuando un número real es menor, mayor o igual que otro.
Supongamos un subconjunto de los reales a los que voy a llamar +
R , ellos satisfacen los siguientes
axiomas.
A6:





∈
∈
+
⇒
∈
+
+
+
R
R
R
b
a
b
a
b
a
.
,
A7: +
+
∈
−
∨
∈
⇒
≠
∈ R
R
R )
(
0
, a
a
a
a
A8: +
∉ R
0
Definición I: +
∈
=
−
⇔
>
∈ R
R p
p
b
a
b
a
b
a ;
:
,
Definición II: b
a
b
a
b
a
b
a =
∨
>
⇔
≥
∈ :
, R
Definición III: +
∈
=
−
⇔
<
∈ R
R q
q
a
b
b
a
b
a ;
:
,
Definición IV: b
a
b
a
b
a
b
a =
∨
<
⇔
≤
∈ :
, R
Propiedades de la igualdad
1) Reflexiva o Idéntica : Todo número es igual a sí mismo
a
a
a =
∈
∀ :
R
2) Simétrica: Si un número es igual a otro, este es igual al primero
a
b
b
a
b
a =
⇒
=
∈
∀ :
, R
3) Transitiva:
c
a
c
b
b
a
c
b
a =
⇒
=
∧
=
∈
∀ :
,
, R
4) Propiedad Uniforme de la suma
c
b
c
a
b
a +
=
+
⇒
=
Prueba:
c
a
c
a +
=
+ (identidad)
c
b
c
a +
=
+ (sustitución b
a = )
5) Propiedad cancelativa de la suma:
b
a
c
b
c
a =
⇒
+
=
+ :
Prueba:
[ ] )
(
)
(
)
(
0 c
c
a
c
c
a
a
a −
+
+
=
−
+
+
=
+
= (exist, de neutro y Prop. asoc. de la suma)
)
(
)
( c
c
b −
+
+
= (sustitución)
[ ]
)
( c
c
b −
+
+
= (asociativa de la suma)
b
= ( existencia de neutro)
6) Propiedad uniforme del producto:
c
b
c
a
b
a .
. =
⇒
=
Prueba:
c
a
c
a .
. = (identidad)
c
b
c
a .
. = (por hipótesis: b
a = )
7) Propiedad cancelativa del producto: b
a
c
c
b
c
a =
⇒
≠
= 0
y
.
.

8
Prueba:
1
.
a
a = Exist. de neutro
)
.
.( 1
−
= c
c
a Exist. de inverso multipl.
1
).
.
( −
= c
c
a Asoc. del produc
1
).
.
( −
= c
c
b Por hipótesis
)
.
.( 1
−
= c
c
b Asoc. del Producto
1
.
b
= Existencia de inverso
b
=
Demostración de algunos Teoremas
T1) 0
0
. =
⇒
∈ a
a R
Prueba
0
0
0 +
= Existencia del Neutro
)
0
0
.(
0
. +
= a
a Uniforme del Producto
0
.
0
.
0
. a
a
a +
= Distributiva
)
0
.
(
0
.
0
.
)
0
.
(
0
. a
a
a
a
a −
+
+
=
−
+ Uniforme de la suma
0
.
0 a
= Definición de Opuesto
0
0
. =
a Pro. simétrica de la igualdad
T2) 0
0
0
.
:
, =
=
⇒
=
∈
∀ b
ó
a
b
a
b
a R
Prueba
demostrar
que
nada
hay
no
0
0
. =
= a
si
b
a
1
0 −
∃
⇒
≠ a
a
0
0
.
)
.
.( 1
1
=
= −
−
a
b
a
a Uniforme del producto
( ) 0
.
.
1
=
−
b
a
a Asociativa
0
0
.
1 =
⇒
= b
b (definición del recíproco, Exist. de neutro)
T3) 0
0
: <
−
⇒
>
∈
∀ a
a
a R
Prueba
0
0
)
(
0 <
−
⇒
−
>
⇒
−
>
−
+
⇒
> a
a
a
a
a
a
T4) 0
0
: >
⇒
<
−
∈
∀ a
a
a R
Prueba
0
0
)
(
0 >
⇒
<
⇒
<
−
+
⇒
<
− a
a
a
a
a
a
Definición de números positivos y negativos
La comparación de los Reales con el “Cero” nos permite clasificarlos en:
Positivos: R
∈
a es positivo si 0
>
a .
Negativos: R
∈
a es negativo si 0
<
a .
El “Cero” no es positivo ni negativo.
Ley de tricotomía
Si 0
>
⇒
∈ a
a R ó 0
<
a ó 0
=
a

9
Definición de otras operaciones aritméticas
Diferencia:
Si R
∈
a y )
(
: b
a
b
a
b −
+
=
−
∈ R
Cociente:
Si 1
.
:
0
,
, −
=
≠
∈ b
a
b
a
b
b
a R
Subconjuntos de los Números Reales
Números Naturales
)
(N
Números Naturales: R
N ⊂
{ }
…
,
3
,
2
,
1
=
N
a) Tiene como primer elemento al 1.
b) Si N
N ∈
+
⇒
∈ 1
n
n .
“n” y “ 1
+
n ” se llaman números consecutivos.
c) N
∉
0
d) Entre dos naturales consecutivos no hay otro natural.
Ley de cierre
e) Si



∈
∈
+
∈
N
N
N
b
a
b
a
b
a
.
,
f) Los naturales son siempre positivos.
Teorema Fundamental del Algebra.
Teorema:
Todo número 0
≠ se puede expresar como un producto de números primos, de modo que este es único,
excepto en el orden de los factores. El “1” no es primo.
Z
∈
a es “primo”, si tiene sólo 4 factores ( )
a
a −
+
−
+ ,
,
1
,
1 .
Ejemplo:
3
20
60 x
=
3
10
2 x
x
=
3
5
2
2 x
x
x
=
4
15
60 x
=
2
2
5
3 x
x
x
=
2
30
60 x
=
2
10
3 x
x
=
2
2
5
3 x
x
x
=
Los Números Enteros
{ }
…
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0 ±
±
±
±
±
=
Z
1) Z
N ⊂ y R
Z ⊂
2) { } 0
0 ≥
=
=
∪ Z
N
N o (Enteros no negativos)
3) { } Z
Z
N =
∪
∪ −
0
Una propiedad de los enteros está relacionada con la divisibilidad.

10
Definición:
a b k
b
a .
=
0 k En este caso “a” es divisible por “b”
a
k
b
a
b =
⇔ .
Dado un número entero, a veces es conveniente hacer una lista de todos sus factores.
Los números racionales
Definición: se llama Número Racional a todo número real que pueda escribirse en la forma:






≠
∧
∈
= 0
,
/ b
b
a
b
a
Q Z
Muchas veces se prefiere la representación en la que numerador y denominador son primos entre sí y el
denominador es natural, así por ej.:
4
2
+
, se toma como representación
2
1
+ .
Aplicando propiedades de los reales podemos demostrar que:
1)
bd
c
b
d
a
d
c
b
a .
. +
=
+ Z
∈
∀ d
c
b
a ,
,
, ; 0
≠
b ; 0
≠
d
Demostración:
1
1
.
. −
−
+
=
+ d
c
b
a
d
c
b
a
(def. de cociente)
1
1
.
1
.
.
1
. −
−
+
= d
c
b
a (existencia de neutro del prod.)
1
1
1
1
)
.
(
)
.
.( −
−
−
−
+
= d
b
b
c
b
d
d
a (existencia inverso)
1
1
1
1
.
).
.
(
.
)
.
( −
−
−
−
+
= d
b
b
c
b
d
d
a (prop. asociativa)
1
1
1
1
.
).
.
(
.
)
.
( −
−
−
−
+
= d
b
b
c
d
b
d
a (prop. conmutativa)
( ) 1
1
)
.
).(
.
(
.
)
.
( −
−
+
= d
b
b
c
d
b
d
a (prop. potencia)
[ ]( ) 1
.
)
.
(
)
.
( −
+
= d
b
b
c
d
a (prop. distributiva del producto)
d
b
b
c
d
a
.
)
.
(
)
.
( +
= (def. de cociente)
2)
d
b
c
a
d
c
b
a
.
.
. = Z
∈
∀ d
c
b
a ,
,
, ; 0
≠
b ; 0
≠
d
Demostración:
d
b
c
a
d
c
b
a
.
.
. =
1
1
.
. −
−
= cd
b
a (def. cociente)
1
1
.
. −
−
= d
b
c
a (conmutativa producto)
1
)
.
.(
. −
= d
b
c
a (prop. potencia)
d
b
c
a
.
.
= (def. cociente)
3)
c
b
d
a
d
c
b
a
.
.
: =

11
Demostración:
1
.
:
−






=
d
c
b
a
d
c
b
a
(def. cociente)
c
d
b
a
.
= (def. inverso multiplicativo)
c
b
d
a
.
.
= (def. producto)
4) Definición de igualdad en Q :
c
b
d
a
d
c
b
a
.
. =
⇔
=
I) c
b
d
a
d
c
b
a
.
. =
⇒
=
Demostración:
1
1
.
. −
−
= d
c
b
a (def. cociente)
1
.
.
1
.
. 1
1 −
−
= d
c
b
a (prop. uniforme)
)
.
.(
.
)
.
.(
. 1
1
1
1 −
−
−
−
= b
b
d
c
d
d
b
a (def. inverso)
)
.
.(
.
)
.
.(
. 1
1
1
1 −
−
−
−
= b
d
b
c
d
b
d
a (prop. conmut)
)
.
.(
.
)
.
.(
. 1
1
1
1 −
−
−
−
= d
b
b
c
d
b
d
a (prop. conmut)
1
1
)
.
.(
.
)
.
.(
. −
−
= d
b
b
c
b
d
d
a (prop. potencia).
c
b
d
a .
. = (prop. cancelativa)
II)
d
c
b
a
c
b
d
a =
⇒
= .
.
Demostración:
c
b
d
a .
. =
1
1
.
.
.
. −
−
= b
c
b
b
d
a (prop. uniforme)
1
1
1
1
.
.
.
.
.
. −
−
−
−
= d
b
c
b
d
b
d
a (prop. uniforme)
1
1
1
1
.
.
.
.
.
. −
−
−
−
= b
b
d
c
d
d
b
a (prop. conmutativa)
1
.
.
1
.
. 1
1 −
−
= d
c
b
a (def. inverso)
1
1
..
. −
−
= d
c
b
a (def. neutro)
d
c
b
a
= (def. cociente)
5) N
Z ∈
∀
∈
∀
<
⇔
< d
b
c
a
c
b
d
a
d
c
b
a
,
,
,
.
.
I) c
b
d
a
d
c
b
a
.
. <
⇒
<
Demostración:
(sust.)
.
. 1
1 −
−
< d
c
b
a
(unif.)
.
.
.
. 1
1
b
d
c
b
b
a −
−
<
(unif.)
.
.
.
. 1
b
d
d
c
d
a −
<
(neutro)
.
. b
c
d
a <
II)
d
c
b
a
c
b
d
a <
⇒
< .
.
Demostración:
(unif.)
.
.
.
. 1
1 −
−
< d
c
b
d
d
a
neutro)
(
.
. 1
−
< d
c
b
a
)
(unif.
.
.
.
. 1
1
1 −
−
−
< d
c
b
b
b
a
sust.)
(neutro,
d
c
b
a
<
Densidad de los números racionales
Si r y s son dos racionales y s
r < existe siempre un tercer racional entre ellos.
Demostración:
2
2
r
s
r
r
s
r
r
s
r
r
s
r
+
<
⇒
+
<
⇒
+
<
+
⇒
<
s
s
r
s
s
r
s
s
s
r
s
r
<
+
<
+
⇒
+
<
+
⇒
<
2
2
s
r
s
r <
+
<
2

12
El conjunto de los racionales es denso: entre dos racionales hay infinitos racionales. Sin embargo entre dos
racionales distintos los reales existentes entre ellos no son todos racionales.
Si a
b
a
b =
⇒
=1 , pero Z
∈
a ; luego todo entero es un racional con denominador 1.
Irracionales
Un número es Irracional, cuando no se puede escribir como cociente entre dos enteros con divisor no nulo.
El conjunto de los Irracionales es { }
Q
R
I ∉
∈
= x
x /
Sintetizando:
Enteros (Z)
Racionales (Q)
Reales ( R ) Fraccionarios
Irracionales (I)
Los irracionales nos se pueden escribir como cociente de enteros, tienen infinitas cifras decimales, pero no
se tienen período.
El conjunto I no es cerrado para la suma:
0,0100100010000...
+ 0,1011011101111...
0,1111111111111... = 1
,
0
⌢
9
1
=
El producto en I no es cerrado:
2
2
.
2 =
Teorema: 2 no es racional.
Demostración:
Supongo 2 racional.
0
,
;
2 ≠
∧
∈
= b
b
a
b
a
Z
b
a
=
2
par
es
.
2
2 2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
⇒
=
⇒
=
Si 2
a es par ⇒ a es par (se demuestra).
luego Z
∈
= n
n
a ;
2
De 2
2
.
2 b
a =
par
es
.
2
.
4
.
2
.
2
)
.
2
( 2
2
2
2
2
2
2
b
n
b
n
b
b
n ⇒
=
⇒
=
⇒
=
Luego b es par; luego a y b tienen el factor común 2, contrario a lo supuesto.
¡Absurdo!. Que proviene de suponer que 2 es racional, luego 2 es irracional.
Representación decimal de un número Real
Todo número real admite una representación decimal,

13
Ej: ...
14159
,
3
=
π ; ....
44444
,
0
9
4
= ; ...
414213
,
1
2 =
periodo 0
=
periódica periódica pura
periodo 0
≠
periódica mixta
Representación
decimal
no periódica
Periódica
Uno o más dígitos en la parte decimal se repiten indefinidamente.
Todos los números racionales son expresiones decimales periódicas. Si el período es “0” la representación
decimal se dice finita.
Ejemplo:
3 = 3,00000...
2,13 = 2,13000...
Cuando la representación decimal es finita el número racional se puede escribir de la forma:
o
n
n
a
a
N
Z ∈
∈ y
10
1
3
10
3
3 =
= o
100
345
100
45
3
45
,
3 =
+
=
Cuando el denominador es potencia de 10, entonces es una fracción decimal.
periódica pura
periodo 0
≠
periódica mixta
Periódica Pura
El período comienza en la primera cifra decimal. Ejemplo:
__
21
,
0
~
...
212121
,
0 =
hago :
__
21
,
0
=
x
mult. por 2
10 ambos miembros :
__
21
,
21
100 =
x (el exponente 2 es el número del período)
restamos : 21
99 =
x
Entonces
99
21
=
x
Periódica Mixta
4
23
,
0
...
234444
,
0
⌢
=
4
23
,
0
⌢
=
x

14
4
,
234
1000
⌢
=
x
4
,
23
100
⌢
=
x
219
900 =
x
Entonces:
900
211
=
x
No Periódica: Los Irracionales son expresiones decimales no periódicas.
Representación Geométrica de los números reales
Se puede establecer una correspondencia entre el conjunto de los reales y el conjunto de los puntos de la
recta. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y recíprocamente, cada punto sobre
la recta representa un número real.
Representación de irracionales cuadráticos en la recta real.
Si tenemos que representar b ; N
∈
b en la recta real, descomponemos a b como la suma de dos números
tales que uno de ellos sea el mayor cuadrado contenido en b. Expresamos b como suma de cuadrados,
teniendo en cuenta el Teorema de Pitágoras.
Construimos un triángulo rectángulo que tenga por longitud de los catetos a la base de esos cuadrados.
Ej: Ubicar 2 sobre la recta real
Potenciación
Definición:
:
R
Z ∈
∈ +
x
n y
x
x
x
x
x
xn
...
.
.
.
=
Ejemplos:
32
1
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1
5
=
=






8
)
2
).(
2
).(
2
(
)
2
( 3
−
=
−
−
−
=
−
( ) ( ) ( ) 4
2
.
2
2
.
2
2
.
2
.
2
.
2
2
2
2
4
=
=
=
=
Precaución: Si +
∈Z
n , entonces n
x
a. significa )
.( n
x
a y no n
x
a )
.
( ; n
n
x
a
x
a )
.
(
. −
≠
−
Ejemplo:
18
9
.
2
3
.
2 2
=
= ; 54
27
.
2
3
.
2 3
−
=
−
=
− ; 9
32
−
=
−
2
2
1
1
2
1
1
2 +
=
⇒
+
=
2
2
QP
OQ
OP +
=
2
2
1
1 +
=
OP
2
=
OP
1
1
2
P
0
Q
2
1 2
2
n factores
exponente
base

15
Propiedades de la potenciación
En el siguiente teorema, se establecen algunas reglas básicas.
Teorema: Si x e y son números R y “m” y “n” enteros positivos, entonces las leyes de los exponentes
son las siguientes:
E1) Producto de potencia de igual base
n
m
n
m
x
x
x +
=
.
Prueba: x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x n
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. =
El número de factores x que figuran a la derecha es m+n, luego escribimos n
m
n
m
x
x
x +
=
.
E2) Potencia de otra potencia
( ) n
m
n
m
x
x .
=
Prueba: ( ) m
m
m
m
n
m
x
x
x
x
x .....
.
.
= , pero x
x
x
x
xm
.....
.
.
=
y el número total de grupos es n, luego x aparece m.n veces: ( ) n
m
n
m
x
x .
=
E3) Distributiva de la potencia con respecto al producto
( ) n
n
n
y
x
y
x .
. =
Prueba: ( ) ( )( ) ( ) y
y
y
y
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x n
...
.
.
.
...
.
.
.
......
.
.
.
. =
=
E4) Distributiva de la potencia con respecto al cociente
0
≠
=








y
y
x
y
x
n
n
n
Prueba: n
n
n
y
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
=
=
































=








...
.
.
...
.
.
...
.
.
E5) Cociente de potencia de igual base
n
m
n
m
x
x
x −
=
n
m
x −
si m > n
n
m
n
m
x
x
x −
= m
n
x −
1
si n > m
1 si m = n
m-factores n-factores
n-factores m-factores
n n
n-factores
n-factores
n
x n
y

16
Prueba:
a) m > n n
m −
⇒ es un entero positivo
n
m
n
m
n
m
n
n
n
n
m
n
n
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x −
−
−
−
=
=
=
= .
1
.
.
b) n > m m
n −
⇒ es un entero positivo
m
n
m
n
m
m
n
m
x
x
x
x
x
x
−
−
=
=
1
.
c) m = n 1
=
= m
m
n
m
x
x
x
x
Definiciones
i) Potencia con exponente cero
Definición:
Si :
0
≠
∈ x
x y
R 1
0
=
x
No se define: 0
0
ii) Potencia con exponente negativo
Si 0
0
y >
∈
≠
∈ Z
R n
y
x
x entonces
n
n
x
x
1
=
−
Es posible demostrar que las leyes de los exponentes son válidas para todos los enteros m y n, ya sean
positivos, negativos o cero. No demostramos.
Notemos que E5) de ahora en más la podemos escribir n
m
n
m
x
x
x −
= para todo m y n enteros.
Concluyendo, supondremos que E1, E2, E3, E4, E5 son válidas para todos los exponentes enteros.
Ejemplo:
( ) ( ) ( ) 3
3
3
2
3
3
2
.
.
−
−
−
−
−
= y
x
y
x E3
9
6
. −
= y
x E2
9
6 1
.
y
x
= Def. de exp. negativo
9
6
y
x
= Prop. de los cocientes
Exponente Fraccionario
Definición:
,
, +
+
∈
∈ Z
R n
a entonces los símbolos n
a y n
a
1
se utilizarán indistintamente para representar aquella
raíz n-ésima de a , un número real positivo.
Definición: ,
,
, +
+
∈
∈ Z
R q
p
a entonces los símbolos:

17
( )p
q
p
q p
a
a
a
a q
q
p
=






=
=





 1
Definición: ,
,
, +
+
∈
∈ Z
R q
p
a
q
p
q
p
a
a
1
=
−
Radicación
Si +
∈ R
b
a, +
∈
∧ Z
n o si −
∈ R
b
a, +
∈
∧ Z
n impar, entonces:
a
b
b
a n
n
=
⇔
=
No hemos definido n
a cuando a < 0 y n es un entero positivo par.
Advertencia:
1) ( ) a
a
a =
= 2
1
2
2
( se lee módulo de a)
Ej: ( )
[ ] 3
3 2
1
2
=
−
0
≥
a
si
a
Nuevamente: ( ) =
= a
a 2
1
2
0
<
− a
si
a
En general:
( ) 0
,
2
1
2
>
∈
= Z
n
a
a n
n
Importante: n
a cuando existe, es un número real único.Ej: 2
4 =
En Aritmética elemental nos encontramos a veces , con expresiones de la forma 2
4 ±
= . O sea el símbolo
a se usa para todas las raíces cuadradas de a . Esto no es lo que se hace en Matemáticas avanzadas.
Convención:
Es incorrecto escribir 2
4 ±
= .
Es correcto escribir 2
4 = .
Si queremos indicar el resultado negativo indicamos 2
4 −
=
−
Propiedades de la radicación
Si +
∈ Z
n y “x” e “y” son números reales, tales que n
x y n y existen, entonces:
R1) ( ) x
x
n
n
=
índice
raiz
radical
radicando
b
a
n
=

18
R2) n
n
n
y
x
y
x .
. =
R3) 0
≠
= y
si
y
x
y
x
n
n
n
R4) n
m
m n
x
x .
= si m y n son entero positivo y las raíces indicadas existen.
R5) x
x
n n
= si 0
>
x o si x < 0 y n es impar
Algunas demostraciones:
R1: ( ) x
x
n
n
=
Hagamos: x
u
x
u n
n
=
⇒
=
( ) x
x
n
n
=
R2: n
n
n
y
x
y
x .
. =
Sea n
n
u
x
x
u =
⇒
= [1]
y
Sea n
n v
y
y
v =
⇒
= [2]
Multiplicando: [1] y [2]
n
n
v
u
y
x .
. =
( )n
v
u
y
x .
. =
ón)
(sustituci
.
.
raíz)
de
(def.
.
. n
n
n
n y
x
y
x
v
u
y
x =
⇒
=
R3: 0
si ≠
= y
y
x
y
x
n
n
n
Hacemos
n
n
u
x
x
u =
⇒
= [1]
y
n
n v
y
y
v =
⇒
= [2]
Dividimos: [1] y [2]
n
n
v
u
y
x
=
n
v
u
y
x






= (prop. de potencia)
n
y
x
v
u








=
⇒ (def. de raiz)
n
n
n
y
x
y
x
=
∴ (por sustit.)

19
R4: n
m
m n
x
x .
=
Demostración:
Hacemos: n
m
m n
x
u
x
u =
⇒
= (def. raiz)
( ) ( )n
n
n
m
x
u =
( ) x
u
n
m
= (prop. R1)
x
u n
m
=
.
n
m
x
u .
=
⇒ (def. raiz)
n
m
m n
x
x .
=
R5 x
x
n n
= si 0
>
x o si x < 0 y n es impar
Si n
n
n n
x
u
u
x =
⇒
= (def. raiz)
Pero como en la última igualdad tenemos los mismos exponentes, entonces las bases son iguales: x
u =
Sustituyendo u, tenemos:
x
x
n n
=

20
Extensión del significado de n
a , cuando ,
1
p
n = p es un natural y cuando Q
∈
n
Definición: Si N
R ∈
∈ n
y
y
x, , diremos que y es la raíz n-ésima de x que se denotará por:
n
n
y
x
x
y =
⇔
=
Además, si n es par x, y +
∈Z
Las leyes de los exponentes han sido establecidas para enteros positivos, negativos o cero, ahora
generalizaremos estas a exponentes racionales.
Sea n un número entero y por tanto,
n
1
una fracción. consideremos ahora el significado de n
x
1
cuando
0
≠
x . Para que la ley de exponentes
m
n
m
n
x
x
x +
=
.
sea válida para este exponente fraccionario, deberá verificarse que:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n x
x
x
x
x
x
x
1
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
+
+
+
+
=
=














= n
n
x
1
.
1
x
=
x
=
Esto es
n
n
x







 1
tiene la propiedad de que su potencia de grado n es igual a x. O sea:
x
x
n
n =







 1
También sabemos: ( ) x
x
n
n
= Propiedad R1
Entonces
( )n
n
n
n x
x =







 1
Si 0
=
x la propiedad anterior sigue siendo válida, de donde podemos establecer la siguiente definición:
)
0
(
,
,
,
1
par
es
n
cuando
x
n
x
x
x n
n ≥
∈
∈
= +
Z
R
Observación: En muchos casos es conveniente definir una raíz n-ésima principal.
La raíz n-ésima principal de un número positivo es la raíz positiva
Ej:
Es correcto: 3
9 =
Incorrecto: 3
9 ±
=
n factores n términos

21
Definición: ( ) n m
m
n
n
m
x
x
x =
=
+
∈
∈
∈ Z
Z
R n
m
x ,
, , con la condición de que si n es par, x debe ser positivo
Definición:
Si 0
,
, ≠
∈ b
b
a R , la expresión :
a
e
equivalent
es
b
a 1
.
1
. −
=






b
a
b
a = y se llama el cociente de a por b.
Observación:
b
1
representa el inverso multiplicativo de b.
Teorema 1
)
0
,
(
)
,
,
,
(
. ≠
∧
∈
= d
b
R
d
c
b
a
bd
ac
d
c
b
a
Demostración:






=
bd
ac
d
c
b
a 1
.
. Definición












=
d
d
b
b
bd
c
a
1
.
.
1
.
.
1
.
. Neutro e inverso multiplicativo
d
b
bd
d
b
c
a
1
.
1
.
1
.
.
. 





= Prop. asociativa y conmutativa






=
bd
d
b
d
c
b
a
1
.
1
.
1
. Prop. asociativa y conmutativa
d
c
b
a
1
.
1
.
= Inverso multiplicativo
d
c
b
a
.
= definición
Teorema 2:
)
0
,
0
(
)
,
,
( ≠
≠
∧
∈
= x
b
x
b
a
bx
ax
b
a
R
Demostración:
x
x
b
a
bx
ax
.
= Teorema anterior






=
x
x
b
a 1
. Definición
( )
1
b
a
= inverso multiplicativo
b
a
= neutro multiplicativo
Con estas definiciones podemos extender las leyes de los exponentes a lo siguiente:

22
Teorema1
Si Q
R ∈
∈ v
u
x ,
,
v
u
v
u
x
x
x +
=
.
v
u
v
u
x
x
x −
=
( ) v
u
v
u
x
x .
=
La demostración es inmediata, ya que para definir n
x
1
nos basamos en las leyes de los exponentes, enteros
positivos, negativos o cero
Demostración de v
u
v
u
x
x
x +
=
.
Sea:
q
p
v
n
m
u =
= ; +
∈
∈ Z
Z q
n
y
p
m ,
,
Entonces
n
n
n
n
m
n x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
........
.
.
=








= n
m
n
m
n
n
n
n x
x
x =
=
=
+
+
+
1
.
1
.
.
.
.
1
1
1
Es decir:
m
n
n
m
x
x








=







 1
[2]
De igual manera:
p
q
q
p
x
x










=









 1
Expresamos a:
q
n
q
m
n
m
.
.
= y
q
n
p
n
q
p
.
.
.
= [1]
Entonces lo que queremos demostrar es que
q
p
n
m
q
p
n
m
x
x
x
+
=
.
Utilizando [1] y [2]
p
n
q
n
q
m
q
n
q
n
p
n
q
n
q
m
q
p
n
m
x
x
x
x
x
x
.
.
1
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.




















=
=
p
n
q
n
q
m
q
n
x
x
.
.
1
.
.
1
.




















= producto de potencia de igual base con exponentes enteros
p
n
q
m
q
n
x
.
.
.
1
+










=
q
n
p
n
q
m
x .
.
. +
=
q
p
n
m
x
+
= . Demostrado
m factores m términos

23
Teorema2
Si +
∈
∈
∈ Z
Z
R n
m
y
x ,
,
,
a) ( ) n
m
n
m
n
m
y
x
y
x .
. =
b)
n
m
n
m
n
m
y
x
y
x
=








Demostración de a)
n
n
m
n
n
m
n
n
m
n
m
y
x
y
x
















=








. +
∈
= Z
m
y
x
y
x m
m
m
,
.
)
.
(
n
n
m
n
n
m
y
x
.
.
.












= ( ) Q
∈
= v
u
x
x v
u
v
u
,
,
.
n
m
y
x .
= multiplicación de fracciones
Así:
m
m
n
n
m
n
m
y
x
y
x .
. =








Si a esta igualdad aplicamos la definición de raíz n-ésima principal: ( n
n
b
a
b
a =
⇔
= )
n m
m
n
m
n
m
y
x
y
x .
. =
( )
n m
y
x.
= Z
∈
= m
b
a
b
a m
m
m
;
.
)
.
(
n
m
y
x )
.
(
= Definición de n
m
a
.

24
Otras Demostraciones
Demostrar: ab
b
a −
=
− )
)(
( (El producto de un Nro. positivo por uno negativo es siempre negativo)
0
)
0
.( =
a Propiedad multiplicativa del cero
[ ] 0
)
( =
+ b
b
a Inverso aditivo
0
)
).(
(
)
.( =
−
+ b
a
b
a distributiva
0
)
).(
( =
−
+ b
a
ab asociativa
ab
ab
b
a
ab −
=
−
−
+ 0
)
).(
( Uniforme de la suma
ab
b
a
ab
ab −
=
−
+
− )
).(
( conmutativa de la suma, inverso de la suma
ab
b
a −
=
− )
).(
(
Demostrar: ab
b
a +
=
−
− )
)(
( (El producto de dos Nros. negativos es siempre un nro. positivo.
0
)
0
).(
( =
−a Propiedad multiplicativa del cero
[ ] 0
)
(
)
( =
+
− b
b
a Inverso aditivo
0
)
).(
(
)
).(
( =
−
−
+
− b
a
b
a distributiva
0
)
).(
( =
−
−
+
− b
a
ab Por la propiedad anterior
ab
ab
b
a
ab +
=
+
−
−
+
− 0
)
).(
( Uniforme de la suma
ab
b
a
ab
ab +
=
−
−
+
+
− )
).(
( conmutativa de la suma, inverso de la suma, neutro de la suma
ab
b
a +
=
−
− )
).(
(
Demostrar : )
0
,
,
(
.
: ≠
=
= d
c
b
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
Demostración:
( )
( )
( )
( )
c
d
c
d
d
c
b
a
d
c
b
a
.
=
( )( )
( )( )
c
d
d
c
c
d
b
a
.
.
= definición de producto de fracciones
( )( )
dc
cd
c
d
b
a .
= definición de producto de fracciones
( )( )
1
.
c
d
b
a
= inverso multiplicativo
c
d
b
a
.
=
Bibliografía:
Swokowski (Algebra Universitaria)
Allendorfer (Fundamentos de matemáticas Universitarias)

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