Este documento proporciona información sobre distribución de frecuencias, una herramienta estadística utilizada para organizar y resumir grandes cantidades de datos. Explica cómo construir tablas de distribución de frecuencias sin intervalos y con intervalos para variables cuantitativas y cualitativas. También define conceptos como media, mediana y moda, y describe cómo calcularlos e interpretarlos.

1. Mg. Zury Mabell Sócola Juárez

2. ¿ Qué conocimientos puedo aportar?

3. Distribución de frecuencias

4. Distribución de frecuencias:
Es un método utilizado para organizar y resumir datos.
Nos permite manejar grandes cantidades de información
en espacios pequeños.
Tabla de distribución de frecuencias sin intervalos y tabla
de distribución de frecuencia por intervalos.

5. Estructura general que debe seguir una tabla de
información estadística
Número de piezas
Defectuosas , X i
Número de
Cajas, ni
h i h i x 100 Hi
0
1
2
3
4
2
3
5
6
4
0.10
0.15
0.25
0.30
0.20
10%
15%
25%
30%
20%
10%
25%
50%
80%
100%
Total 20 1.00 100 100
Fuente:
Elaboración
Nº de Tabla
Título:
Encabezado
Cuerpo

6. Distribución de frecuencias : Variable
Cuantitativa
Distribución de frecuencias sin intervalos
Distribución de frecuencias con intervalos

7. Distribución de frecuencias sin intervalos
Es recomendable utilizarse cuando se tienen pocas observaciones y cuando se han hecho
muchas observaciones y, sin embargo, la variable toma muy pocos valores distintos.

8. Ejemplo1: Un/a ingeniero/a agrónomo/a visita 25
parcelas de café y en cada una anotó el número de plantas
atacadas por hongo de lo cual resultaron los datos
siguientes:
Distribución de frecuencias Sin intervalos
15 17 16 15 18 16 17 18 16 18 18 18 15
16 17 15 16 17 17 17 15 18 18 18 17

9. Distribución de frecuencias sin intervalos
Número de
plantas
Parcelas
h i h i x 100 Hi
Xi n i
15 5 0,2 20% 20%
16 5 0,2 20% 40%
17 7 0,28 28% 68%
18 8 0,32 32% 100%
Total 25 1 100%
Fuente: ficha de inspección d e la Cooperativa xxx
Elaboración: Cooperativa xxx
Tabla 1
Título: Tabla de frecuencia del número de plantas atacadas por hongo

10. Ejemplo2: Supóngase que ante la pregunta del
número de defectos en una muestra de20 productos,
se obtuvo las siguientes respuestas:
Ejemplo:
0, 4, 0, 1, 1, 3, 3, 4, 3, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 2,
2, 4, 4

11. Ejemplo de Distribución de frecuencias sin
intervalos
Número de piezas
Defectuosas , X i
Número de
Cajas, ni
h i h i x 100 Hi
0
1
2
3
4
2
3
5
6
4
0.10
0.15
0.25
0.30
0.20
10%
15%
25%
30%
20%
10%
25%
50%
80%
100%
Total 20 1.00 100 100
Fuente: ficha de inspección d e la Cooperativa xxx
Elaboración: Cooperativa xxx
Tabla 2
Título: Tabla de frecuencia del número de piezas defectuosas

12. Distribución de frecuencias con intervalos
Se usa cuando se han hecho muchas observaciones y la variable estadística (continua) toma muchos valores
distintos o cuando el número de valores distintos de una variable discreta es grande.
Ejemplo 3: La siguiente información corresponde a los pesos (gr.) de muestras de un lote de mango,
durante la última semana de junio de 2019.
151 161 166 168 169 170 173 176 179 182 152 162 166 168 169 170
173 176 179 182 154 163 166 168 169 171 174 176 180 183 155 163
167 168 169 171 174 177 180 184 158 163 167 168 169 171 174 177
180 185 159 164 167 168 170 171 175 177 181 186 159 165 167 168
170 172 175 177 181 187 160 165 167 168 170 172 175 178 181 188
189 181 178 175 172 170 169 168 165 161 161 166 168 169 170 173
176 178 161 156
Se pide representar los datos en una tabla de frecuencias.

13. Tabla de frecuencias
Intervalo de
clase
Marca de clase Frecuencia Frecuencia
Frecuencia %
Frecuencia %
acumulado
Yi ni relativa
150 - 155 152.5 4 0,04 4 4
155 - 160 157.5 5 0,05 5 9
160 - 165 162.5 12 0,12 12 21
165 - 170 167.5 33 0,33 33 54
170 - 175 172.5 17 0,17 17 71
175 - 180 177.5 16 0,16 16 87
180 - 185 182.5 9 0,09 9 96
185 - 190 187.5 4 0,04 4 100
Total 100 1
Fuente: ficha de inspección d e la Cooperativa xxx
Elaboración: Cooperativa xxx
Tabla 3
Título: Tabla de frecuencia del número de plantas atacadas por hongo

i
1
i Y
Y
( 



14. Tipos de intervalos de clases
)
Y
Y
( 1
i i



Intervalo abierto. Los límites son abiertos e indican que la clase
contiene valores superiores al límite inferior y valores inferiores al
límite superior.
)
Y
Y
[ 1
i i



Intervalo semi-cerrado. Este intervalo es cerrado por la izquierda
(incluye al límite inferior del intervalo) y abierto por la derecha (no
incluye al límite superior del intervalo).
Intervalo cerrado. Este intervalo incluye
a ambos límites del intervalo.
 
Y
Y 1
i




15. Interpretaciones
n2 = 5, significa que 5 mangos tienen un peso mayor de 155 gr. y menor o igual a 160 gr.
N4 = 54, significa que 54 mangos tienen un peso mayor que 150 gr. y menor o igual que 170 gr., o también
significa que 54 mangos tienen un peso menor o igual a que 170 gr.
h3 = 0.12, significa que el 12% de la producción de mangos tienen un peso mayor de 160 gr. y menor o
igual a 165 gr.
H6 = 0.87, significa que el 87% de la producción de mangos pesan más de 150 gr. y menor o igual que 180
gr., o también significa que 87% de la producción de mangos pesan menos o igual que 180 gr.

16. Distribución de frecuencias :
Variable Cualitativa

17. Fuente: ficha de inspección d e la Cooperativa xxx
Elaboración: Cooperativa xxx
Tabla 4
Título: Tabla de frecuencia del número de plantas atacadas por hongo

19. Las medidas de tendencia central o de posición
más usadas son:
La media aritmética o media, la mediana, la media
geométrica y la media armónica. También podemos
mencionar a la moda, los cuartiles, los percentiles,
etc. Estas medidas o estadígrafos son considerados
como medidas de localización, puesto que señalan
la localización de los valores más frecuentes o de
valores extremos.

20. Cálculo de la media aritmética para datos no agrupados.
Sea x1, x2,..., xn valores de la variable X. La media aritmética simple de X
representada por X (léase X barra) es dado por:
n
x
x
x
n
x
X n
2
1
n
1
i
i






 
donde n = es el tamaño de la muestra.
(1)
En la población se utiliza la letra griega µ para representar la media, la cual se
determina mediante la formula:
N
X
X
X
N
X
N
2
1
N
1
i
i






 
μ , N = es el tamaño de la población.
(2)
Cálculo de la media aritmética para datos no agrupados

21. Cálculo de la media aritmética para datos agrupados.
Sean x1, x2,…, xk valores de la variable X ponderada por sus respectivas
frecuencias absolutas: n1, n2,…, nk. La media aritmética ponderada de la variable
X es dado por:
n
n
y
X
K
1
i
i
i


 , donde 


k
1
i
i
n
n .
(3)
Cálculo de la media aritmética para datos agrupados

22. Ejemplo 4: Considerando la información contenida
en la tabla 5
Yi ni Yini
150 - 155 152.5 4 610.0
155 - 160 157.5 5 787.5
160 - 165 162.5 12 1950.0
165 - 170 167.5 33 5527.5
170 - 175 172.5 17 2932.5
175 - 180 177.5 16 2840.0
180 - 185 182.5 9 1642.5
185 - 190 187.5 4 750.0
Total 100 17040.0

i
1
i Y
Y
( 



i
1
i Y
Y
( 



23. Luego la media aritmética de estos datos será:
4
.
170
100
0
.
17040
n
n
y
Y
8
1
i
i
i





gr.
Interpretación:

24. La Mediana
La mediana es un valor que divide a un
conjunto de observaciones ordenadas en
forma ascendente o descendente en dos
grupos de igual número de
observaciones. La notación que vamos a
emplear será:

25. La Mediana para tablas sin intervalos
Datos agrupados.
Consideremos dos casos para datos agrupados en tablas sin intervalos y otros en tablas
por intervalos.
Para tablas sin intervalos.
Caso 1. Cuando
2
n
N 1
j 
 , j
e Y
M 
Caso 2. Cuando
2
n
N 1
j 
 ,
2
Y
Y
M
j
1
j
e




26. La Mediana para datos no agrupados
Las siguientes cifras son los importes del consumo (en soles) de 13 personas en un
restaurante: 13, 15, 20, 20, 25, 35 25, 40, 44, 48, 50, 44, 30.
Determinar la mediana de estos importes.
Solución. Ordenando la información en forma ascendente, tenemos:
13, 15, 20, 20, 25, 25, 30, 35, 40, 44, 44, 48, 50.
Como el número de datos es impar (n = 13), se tiene que la posición de la mediana es:
7
2
1
n


, luego la mediana de los importes es: 
Med(x) 30 soles.
Esto significa que el 50% de las personas (es decir, 6 de ellos) tienen un importe menor
o igual que 30 soles y el 50% restante de las personas tienen un importe mayor que 30
soles.

27. La Mediana para datos con intervalos



















1
j
j
1
j
1
j
N
N
N
2
n
c·
Y
Y
~
Me
Donde:
1
j
Y 
 = límite inferior de la clase que contiene a la mediana.
n = tamaño de la muestra.
c = amplitud de la clase que contiene a la mediana.
Nj = frecuencia acumulada de la clase que contiene a la mediana.
Nj-1 = frecuencia acumulada de la clase inmediatamente anterior a la clase que
contiene a la mediana.
Fórmula:

28. Procedimiento
Procedimiento:
1º. Calcular la posición de orden
2
n
.
2º. Por las frecuencias acumuladas se identifica la clase que contiene a la mediana,
esto es, la clase para el cual se cumple:
j
1
j N
2
n
N 

 ,
Con lo cual la mediana estará en la clase que tiene como frecuencia acumulada Ni.
3º. Utilizar la formula:





















1
j
j
1
j
1
j
N
N
N
2
n
C
Y
Y
~

29. Desarrollo del ejemplo de la tabla 3
1º. vo
50
2
100
2
n

 posición
2º. Se identifica la clase que contiene a la mediana por la frecuencia acumulada, esto
es, a través de la desigualdad:
54
N
50
21
N 4
vo
3 



En este caso, la clase que contiene a la mediana es el cuarto.
3º. Reemplazar los datos en la formula obtenemos:
4
.
169
3939
.
169
21
54
21
50
5·
165
Y
~ 










 gr.

30. La Moda
La moda denotada por , es un valor
de la variable X que tiene la más alta
frecuencia, esto es, es el valor más se
repite en un conjunto de datos. La moda si
existe puede no ser única.

31. Fórmula
Por tanto, se tiene la siguiente expresión conocida como la fórmula de Czuber:














 
2
1
1
j
1
j
o c
Y
Y
M

Donde:
1
j
Y 
 = límite inferior de la clase modal.
j
n = frecuencia absoluta de la clase modal.
1
-
j
n = frecuencia absoluta de la clase inmediatamente anterior a la clase modal.
1
j
n  = frecuencia absoluta de la clase inmediatamente posterior a la clase modal.
c = amplitud de la clase modal

32. Procedimiento
Para datos agrupados en intervalos de clase, aplicaremos el siguiente procedimiento
para el cálculo de la moda.
1º. Se identifica la clase modal (la clase con mayor frecuencia).
2º. Se aplica la formula para la moda.
Ejemplo 3.18. Determinar la moda para la siguiente distribución.

i
1
i Y
Y
( 


Yi ni
150 - 155 152.5 4
155 - 160 157.5 5
160 - 165 162.5 12
165 - 170 167.5 33
170 - 175 172.5 17
175 - 180 177.5 16
180 - 185 182.5 9
185 - 190 187.5 4
Total 100

33. Solución
1º. El intervalo de clase de mayor frecuencia absoluta ( 33
n
n Mo
4 
 ) es el cuarto
intervalo: 
170
165
( 
21
12
33
1 



16
17
33
2 



c = 5.
2º. Aplicando la formula tenemos:
84
.
167
8378
.
167
16
21
21
5
165
Y 












gr.

34. Otros
Cuartiles
Deciles
Percentiles

35. Cuartiles
Los Cuartiles.
Son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o
descendente en cuatro partes iguales (Figura 1).
0% 25% 50% 75% 100%
Q1 Q2 Q3
Figura 1
Q1 = 1er
cuartil, deja 25% de las observaciones menores o iguales a él y el 75%
superiores a él.
Q2 = 2do
cuartil, coincide con la mediana.
Q3 = 3er
cuartil, deja 75% de las observaciones inferiores o iguales a él y el 25% de
éstas superiores a él.

36. Para datos agrupados o tabulados.
Las formulas para calcular los cuartiles se derivan de la formula utilizada para calcular
la mediana y los pasos para el cálculo son los mismos:
Procedimiento.
1º. Se calcula
4
n
r
, para r = 1, 2, 3.
2º. Se identifica la clase que contiene a Qr por medio de las frecuencias acumuladas,
esto es, por la desigualdad:
j
1
j N
4
n
r
N 


3º. Se aplica la fórmula:





















1
j
j
1
j
1
j
r
N
N
N
4
n
r
c
Y
Q r = 1, 2, 3.

37. Deciles
Los deciles son valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en forma
ascendente o descendente en 10 partes iguales (Fig. 2).
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Figura 2
D1 = 1er
decil, deja 10% de las observaciones menores o iguales a él.
D2 = 2do
decil, deja 20% de las observaciones menores o iguales a él.
.
.
.
D9 = 9no
decil, deja 90% de las observaciones inferiores o iguales a él y el 10% de éstas
superiores a él.
Para determinar los deciles se aplica la siguiente formula:













1
j
1
j
r
N
10
n
r
c
Y
D r = 1, 2,…, 9
ascendente o descendente en 10 partes iguales (Fig. 2).
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
Figura 2
D1 = 1er
decil, deja 10% de las observaciones menores o iguales
D2 = 2do
decil, deja 20% de las observaciones menores o iguales
.
.
.
D9 = 9no
decil, deja 90% de las observaciones inferiores o iguales
superiores a él.
Para determinar los deciles se aplica la siguiente formula:





















1
j
j
1
j
1
j
r
N
N
N
10
n
r
c
Y
D r = 1, 2,…, 9

38. Percentiles
Son valores que dividen la muestra ordenada en forma ascendente o descendente en
100 partes iguales.
0% 1% 2% 50% 98% 99% 100%
P1 P2 P50 P98 P99
Figura 3
P1 = 1er
percentil, deja 1% de las observaciones menores o iguales a él y el 99%
superiores a él.
.
.
.
P99 = 99vo
percentil, deja 99% de las observaciones menores o iguales a él y el 1%
superiores a él.
La formula para determinar los percentiles, son parecidos a los cuartiles y deciles, así:













1
j
1
j
r
N
100
n
r
c
Y
P  r = 1, 2, ... , 99
Son valores que dividen la muestra ordenada en forma ascendente o descen
100 partes iguales.
0% 1% 2% 50% 98% 99%
P1 P2 P50 P98 P99
Figura 3
P1 = 1er
percentil, deja 1% de las observaciones menores o iguales a él
superiores a él.
.
.
.
P99 = 99vo
percentil, deja 99% de las observaciones menores o iguales a é
superiores a él.
La formula para determinar los percentiles, son parecidos a los cuartiles y de





















1
j
j
1
j
1
j
r
N
N
N
100
n
r
c
Y
P  r = 1, 2, ... , 99

39. Las medidas de dispersión que se utilizan con
mayor frecuencia son: la varianza, la
desviación estándar y el coeficiente de
variación.

40. Varianza
La varianza mide la dispersión
de los datos con respecto a la
media aritmética.

41. Definiciones
Definición 1. Varianza Poblacional. La varianza o variancia de una población finita de N
elementos x1, x2,…, xN, se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
de los elementos con respecto a su media µ, y se denota por 2
σ . Es decir:
  N
μ)
(x
μ)
(x
M
σ
N
1
i
2
i
2
2






Definición 2. Varianza de una muestra. La varianza o variancia de una muestra x1, x2,..., xn
de la variable o característica X (que abreviadamente escribiremos “V(X)” ), se define como
la media aritmética del cuadrado de las desviaciones con respecto de la media aritmética x de
esos datos. Si se denota S´2
a la varianza de la característica x, entonces
  n
)
x
(x
)
x
(x
M
S´
V(x)
n
1
i
2
i
2
2
X






 para datos no tabulados
  n
n
)
y
(y
)
y
(y
M
S´
V(y)
k
1
i
i
2
i
2
2
y







 para datos tabulados o agrupados

42. La Varianza
En el siguiente cuadro se resume el procedimiento para el cálculo de la varianza.

i
1
i Y
Y
( 


Y i
n i 2
i )
y
(y  i
2
i n
)
y
(y 
150 - 155 152.5 4 320.41 1281.64
155 - 160 157.5 5 166.41 832.05
160 - 165 162.5 12 62.41 748.92
165 - 170 167.5 33 8.41 277.53
170 - 175 172.5 17 4.41 74.97
175 - 180 177.5 16 50.41 806.56
180 - 185 182.5 9 146.41 1317.69
185 - 190 187.5 4 292.41 1169.64
Total 100 1055.28 6509.00

43. Luego,
09
.
65
100
6509
n
n
)
y
(y
S
k
1
i
i
2
i
2








gr. al cuadrado.
7474
.
65
99
6509
1
-
n
n
)
y
(y
S
V(y)
k
1
i
i
2
i
2








gr. al cuadrado.

44. La Desviación Estándar
El valor numérico de S cuantifica el grado de
dispersión de los valores de una variable con
respecto a su media. Mientras mayor es la
dispersión de las observaciones, mayor es la
magnitud de sus desviaciones respecto a la media
y por ende, más alto el valor numérico de la
desviación estándar.

45. Fórmula
V(X)
S
D(x) 

Por tanto, la desviación estándar será la raíz cuadrada del valor obtenido en la varianza, es
decir:
8.1085
65.7474
S 
 gramos.

46. El Coeficiente de Variación
El coeficiente de variación, significa, por
tanto, el número de veces (o tanto por
uno, ya que habitualmente el cociente será
inferior a la unidad) que supone la
desviación estándar respecto a la media.

47. Si la dispersión absoluta es la desviación estándar S, la dispersión
relativa recibe el nombre de coeficiente de variación. Es decir.
Observación.-
 Si el C.V es menor del 10% se dice que hay poca dispersión;
 Si el C.V oscila entre el 10% y el 33% la dispersión existente es aceptable;
 Si el C.V oscila entre el 33% y el 50% se dice que hay alta dispersión;
 Pero si el C.V es mayor del 50% se dice que la dispersión es muy alta.

48. Desarrollo del ejemplo
Se sabe que: 4
.
170
Y  gramos y S = 8.1085 gramos, entonces el C.V es:
%
76
.
4
100
4
.
170
1085
.
8
C.V 


Como el valor de C.V = 4.76% es menor que el 10% y 33%, indica que existe poca dispersión
(baja dispersión).

49. Distribución Normal

50. DISTRIBUCION NORMAL
DESVIACION ESTANDAR
68.26%
95.46%
99.73%
-3 -2 u ................2 3
% DE ELEMENTOS COMPRENDIDOS DENTRO DE CIERTOS VALORES DE LA

51. Videos

52. La humedad promedio del panetón elaborado en una empresa en la
ultima campaña navideña fue de 27.1% con una desviación estándar de
0.985; además se sabe que los valores de humedad del panetón
empacado debe estar entre 24.5 a 28%
Ejemplo 1:
a) Que porcentaje de la producción tendrá menos del 24.5 % de humedad
b) ¿Que porcentaje de la producción no cumple con la humedad establecida?

53. a) Que porcentaje de la producción tendrá menos del 24.5Que
porcentaje de la producción tendrá menos del 24.5 % de
humedad




x
z
x=24.5, µ=27.1, σ=0.985
A1
A1=0.43%
z = - 2.63

54. b) ¿Que porcentaje de la producción no cumple con la humedad establecida?




x
z
%
14
.
18
8186
.
0
1 2
2 


 A
A
x1= 24.5; x2=28, µ=27.1, σ=0.985
pero A2+B=1
Por lo tanto:
A2
A1
zA = - 2.63 A1 = 0.43 %
zB = 0.91 B = 81.86 %
A1 + A2 = 18.57 %

55. Gráficos de Control

56. GRAFICO DE CONTROL
Es un registro gráfico de la calidad
de una característica en particular,
mediante este, se puede establecer
si un proceso está o no estable.

57. GRAFICOS DE CONTROL
Objetivo:
◦Monitorear y vigilar el desempeño del proceso en cuanto
a las características de calidad críticas del producto, para
así minimizar la producción defectuosa

58. Causas de la variabilidad en un proceso
Causas Comunes
Suelen ser muchas y cada una
produce pequeñas variaciones.
Son parte permanente del
proceso.
Son difíciles de eliminar y
forman parte del sistema.
Afectan a todo el conjunto de
máquinas y operarios
Causas Asignables
Suelen ser pocas pero con
efectos importantes en la
variabilidad.
Aparecen esporádicamente.
Son relativamente fáciles de
eliminar.
Por lo general su efecto está
localizado en una(s) máquina(s) u
operario(s).

59. Definición de proceso bajo control estadístico
Se dice que un proceso está bajo control estadístico cuando solo
está afectado por causas comunes de variabilidad.
Esto significa que
podemos predecir
lo que va a
suceder con el
proceso y sus
productos.

60. USOS DE LOS GRAFICOS DE CONTROL
Identifica el grado de control de un proceso
Para mejorar la calidad del proceso
Para preveer errores
Para tomar decisiones relacionados con los
productos recién elaborados

61. Tipos de Gráficos de Control
Por
Variables
- Promedios
- Rangos
-Desv. Estándar
Por
atributos
- Pasa/no pasa
- Fracción Defectuosa.
- Porcentaje defectuoso

62. Diferencia de los tipos de gráfico de control
Por Variables
Se utiliza cuando la característica
de calidad puede expresarse como
una medida numérica.
-Peso de conserva
-Longitud de un producto
–Presión de vacío, etc.
Por atributos
Se utiliza cuando la característica de
calidad corresponde a una variable
binaria.
-Presencia o no de defectos, etc.

63. Ejemplo: Grafico de Control
Promedio del
Subgrupo
14.8 LSC
Limite Superior de Control
_
8.5 X
Promedio
2.2 LIC
Limite Inferior de Control
...1 5 10 15
Numero de Subgrupo

64. ¿En qué caso se utiliza cada tipo?

65. Clasificación de los gráficos de control

66. Ejemplo Aplicación de los gráficos x y R.
Se desea establecer un gráfico de control para el peso de llenado de envases de Yogurt.
El peso nominal es 115 grs y la especificación ± 5 grs. A lo largo de 5 días se ha tomado
cada 2 horas (5 muestras por día) muestras constituidas por 4 envases consecutivos. Los
pesos obtenidos, que para comodidad de cálculo se expresan en exceso sobre 100 grs.
Se recogen a continuación:

67. Tabla
Muestra Peso 1 Peso 2 Peso 3 Peso 4 Media Rango Desviación Estándar
1 15.8 16.0 17.4 17.8 16.75 2.0 0.998
2 17.0 16.4 13.4 12.4 14.8 4.6 2.245
3 12.8 14.7 15.1 14.2 14.2 2.3 1.003
4 14.5 15.6 13.3 17.8 15.3 4.5 1.913
5 15.1 16.2 15.3 12.5 14.78 3.7 1.590
6 15.1 16.3 14.8 16.1 15.58 1.5 0.737
7 16.7 16.0 15.0 15.7 15.85 1.7 0.704
8 15.1 14.9 13.9 13.5 14.35 1.6 0.772
9 14.2 15.6 15.5 14.9 15.05 1.4 0.645
10 14.1 13.2 13.9 14.1 13.83 0.9 0.427
11 13.8 15.3 13.6 13.9 14.15 1.7 0.777
12 15.2 14.5 14.7 13.6 14.5 1.6 0.668
13 16.1 14.9 14.0 14.0 14.75 2.1 0.995
14 14.4 13.2 15.9 13.1 14.15 2.8 1.307
15 14.3 18.3 14.7 13.3 15.15 5.0 2.181
16 19.4 16.9 14.9 14.7 16.48 4.7 2.188
17 12.9 17.1 14.7 13.8 14.63 4.2 1.806
18 14.5 12.8 11.9 13.9 13.28 2.6 1.155
19 16.6 13.4 14.3 16.9 15.3 3.5 1.719
20 17.3 14.8 17.5 15.0 16.15 2.7 1.448
21 19.5 17.1 15.0 14.5 16.53 5.0 2.281
22 12.5 14.7 14.8 14.2 14.05 2.3 1.066
23 15.1 16.0 15.4 13.2 14.93 2.8 1.209
24 14.2 15.3 15.5 14.7 14.93 1.3 0.591
25 19.2 16.8 15.2 14.9 16.53 4.3 1.969
Con el criterio 3σ, determinar las gráficas de control x y R.

68. Figura X: Gráfico de control para el ejemplo
Grafico de control de medias.
Nº de muestra
X-
barra
LCI=12.97
LCS=17.10
LC=15.038
0 5 10 15 20 25
12
13
14
15
16
17
18

69. Figura x: Gráfico de control R para el ejemplo
Gráfico de Rango
Nùmero de muestra
Rango
R
LC = 2.91
LCS = 6.65
LCI = 0.00
0 5 10 15 20 25
0
2
4
6
8

70. Ejemplo.- Se
muestran datos
correspondientes al
peso de pan (g) la cual
es dividida en una
divisora de masa
continua. Se pueden
ver los cálculos
preliminares en la
misma tabla.
Muestra Observaciones en la muestra Media Rango
1 33.00 29.00 31.00 32.00 33.00 31.60 4.00
2 33.00 31.00 35.00 37.00 31.00 33.40 6.00
3 35.00 37.00 33.00 34.00 36.00 35.00 4.00
4 30.00 31.00 33.00 34.00 33.00 32.20 4.00
5 33.00 34.00 35.00 33.00 34.00 33.80 2.00
6 38.00 37.00 39.00 40.00 38.00 38.40 3.00
7 30.00 31.00 32.00 34.00 31.00 31.60 4.00
8 29.00 39.00 38.00 39.00 39.00 36.80 10.00
9 28.00 33.00 35.00 36.00 43.00 35.00 15.00
10 38.00 33.00 32.00 35.00 32.00 34.00 6.00
11 28.00 30.00 28.00 32.00 31.00 29.80 4.00
12 31.00 35.00 35.00 35.00 34.00 34.00 4.00
13 27.00 32.00 34.00 35.00 37.00 33.00 10.00
14 33.00 33.00 35.00 37.00 36.00 34.80 4.00
15 35.00 37.00 32.00 35.00 39.00 35.60 7.00
16 33.00 33.00 27.00 31.00 30.00 30.80 6.00
17 35.00 34.00 34.00 30.00 32.00 33.00 5.00
18 32.00 33.00 30.00 30.00 33.00 31.60 3.00
19 25.00 27.00 34.00 27.00 28.00 28.20 9.00
20 35.00 35.00 36.00 33.00 30.00 33.80 6.00
Promedios: 33.32 5.80

71. Ejemplo.- Se
muestran datos
correspondientes al
peso de pan (g) la
cual es dividida en
una divisora de
masa continua. Se
pueden ver los
cálculos
preliminares en la
misma tabla.
Muestra Observaciones en la muestra Media Rango
1 33,00 29,00 31,00 32,00 33,00 31,60 4,00
2 33,00 31,00 35,00 37,00 31,00 33,40 6,00
3 35,00 37,00 33,00 34,00 36,00 35,00 4,00
4 30,00 31,00 33,00 34,00 33,00 32,20 4,00
5 33,00 34,00 35,00 33,00 34,00 33,80 2,00
6 38,00 37,00 39,00 40,00 38,00 38,40 3,00
7 30,00 31,00 32,00 34,00 31,00 31,60 4,00
8 29,00 39,00 38,00 39,00 39,00 36,80 10,00
9 28,00 33,00 35,00 36,00 43,00 35,00 15,00
10 38,00 33,00 32,00 35,00 32,00 34,00 6,00
11 28,00 30,00 28,00 32,00 31,00 29,80 4,00
12 31,00 35,00 35,00 35,00 34,00 34,00 4,00
13 27,00 32,00 34,00 35,00 37,00 33,00 10,00
14 33,00 33,00 35,00 37,00 36,00 34,80 4,00
15 35,00 37,00 32,00 35,00 39,00 35,60 7,00
16 33,00 33,00 27,00 31,00 30,00 30,80 6,00
17 35,00 34,00 34,00 30,00 32,00 33,00 5,00
18 32,00 33,00 30,00 30,00 33,00 31,60 3,00
19 25,00 27,00 34,00 27,00 28,00 28,20 9,00
20 35,00 35,00 36,00 33,00 30,00 33,80 6,00
Promedios: 33,32 5,80

72. Gráficos de
medias y
rangos
M
u e s tr
a
R
a
n
g
o
d
e
a
p
e
r
t
u
r
a
d
e
l
a
l
a
b
e
5 1 0 1 5 2 0
0
5
1
0
1
5 L S C=1 2 .2 7
L C=5 .8 0
Rango
de
Peso
del
pan
(g)
Peso
del
pan
(g)
Muestra
Muestra
M
u e s tr
a
A
p
e
r
t
u
r
a
p
r
o
m
e
d
i
o
d
e
l
a
l
a
b
e 5 1 0 1 5 2 0
2
8
3
0
3
2
3
4
3
6
3
8
4
0
L IC=2 9 .9 8
L S C=3 6 .6 7
L C=3 3 .3 2
5
5

73. Ejemplo
Ejemplo.- Dentro de un proceso
de moldeo de PVC las piezas
elaboradas pueden presentar o
no defectos superficiales. Cada
día se toman 100 piezas al azar
de la línea de producción y se
cuenta el número de piezas
defectuosas.
Día Defectos Día Defectos
1 9 16 9
2 16 17 5
3 5 18 6
4 6 19 4
5 7 20 11
6 9 21 3
7 3 22 1
8 9 23 3
9 10 24 0
10 4 25 4
11 7 26 6
12 10 27 1
13 6 28 6
14 6 29 5
15 7 30 4

74. El gráfico p correspondiente a estos datos es el siguiente
Di a
P
r
o
p
o
r
c
i
o
n
d
e
p
i
e
z
a
s
c
o
n
d
e
f
e
c
t
o
s
s
u
p
e
r
f
i
c
i
a
l
e
s
0 5 1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0
.
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
L S C=0
L C=0 .
L IC=0 .

75. Si bien el punto 2 aparece fuera de los límites, no
existe en el registro ningún evento que nos haga
creer que el proceso se encontraba fuera de
control.
Nuestra conclusión es que la temperatura de
inyección influye sobre la frecuencia en que
aparecen defectos superficiales. El cambio del
sistema de enfriamiento permitió elevar la
temperatura, lo cual redujo el número de defectos.

76. FORMULAS PARA MEDIAS Y RANGO

77. VALORES PARA MEDIAS Y RANGO

78. EJEMPLO

79. EJEMPLO

80. GRAFICO DE MEDIAS
M
u e s tr
a
A
p
e
r
t
u
r
a
p
r
o
m
e
d
i
o
d
e
l
a
l
a
b
e
5 1 0 1 5 2 0
2
8
3
0
3
2
3
4
3
6
3
8
4
0
L IC=2 9 .9 8
L S C=3 6 .6 7
L C=3 3 .3 2

81. GRAFICO DE RANGOS
M
u e s tr
a
R
a
n
g
o
d
e
a
p
e
r
t
u
r
a
d
e
l
a
l
a
b
e
5 1 0 1 5 2 0
0
5
1
0
1
5
L S C=1 2 .2 7
L C=5 .8 0

82. FORMULAS PARA MEDIAS Y DESVIACION ESTANDAR

83. FORMULAS PARA MEDIAS Y DESVIACION
ESTANDAR

84. PARA CONSTRUCCION DE GRAFICOS (P)
grupo
el
en
artículos
de
Número
grupo
el
en
s
defectuoso
artículos
de
Número


i
i
i
n
e
p

85. PARA CONSTRUCCION DE GRAFICOS (P)
s
muestreado
artículos
de
Total
defectuos
artículos
de
Total
1
1






k
i
i
k
i
i
i
n
p
n
p
p
LC
n
p
p
p
LIC
n
p
p
p
LSC
i
i










 











 

 ,0
)
1
(
3
max
,1
)
1
(
3
min

86. EJEMPLO

87. Di a
P
r
o
p
o
r
c
i
o
n
d
e
p
i
e
z
a
s
c
o
n
d
e
f
e
c
t
o
s
s
u
p
e
r
f
i
c
i
a
l
e
s
0 5 1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0
.
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0 L S C=0 .1
L C=0 .0 6
L IC=0 .0 0

88. INTERPRETACION
 Norma 1. Cuando un sólo punto está fuera de los límites de control, puede estar señalando la ausencia
de control del proceso. No obstante, esta probabilidad sería pequeña por lo que tal vez no sea oportuno
efectuar cambios.
 Norma 2: Si al menos 2 ó 3 puntos sucesivos están en el mismo lado de la línea media, y más de dos
unidades sigma (dos desviaciones típicas) alejados de esta línea, estará sugerida una falta de control
del proceso. Si el tercer punto consecutivo está alejado de la línea media en la medida indicada, pero
en el otro lado, la misma conclusión sería válida.
 Norma 3: En el caso de que 4 ó 5 valores sucesivos se situaran en el mismo lado, alejados de la línea
central más de 1 sigma. Se apuntaría un déficit en la estabilidad o control del proceso.
 Norma 4: Estaría indicada esta falta de control cuando al menos 7 valores sucesivos estuvieran
situados en el mismo lado de la línea media. Esto mostraría una inadecuada distribución de esos
puntos.

89. Gracias