Estadística unidimensiona y bidimensional

1. Estadística

2. Estadística
• La estadística es la ciencia que se ocupa de la
recogida de datos, su organización y análisis.
• Según el método de estudio y el problema a
resolver se puede distinguir:
– Estadística descriptiva: Se encarga de recolectar
datos, organizarlos y en el cálculo de valores que
describan el conjunto objeto de estudio.
– Estadística inferencial: se encarga de elaborar
conclusiones para el conjunto estudiado a partir
del estudio de una muestra.

3. Conceptos estadísticos I
• Población: conjunto de elementos a estudiar.
• Individuo: cada uno de los elementos de la
población.
• Muestra: Subconjunto de la población que se
toma para representar a la población en el
estudio.
• Tamaño de la muestra: Número de elementos
que componen la muestra.

4. Conceptos estadísticos II
• Carácter estadístico: propiedad de los individuos
de una población que permite clasificarlos.
– Cualitativo: no pueden expresarse numéricamente.
– Cuantitativo: puede expresarse numéricamente.
• Variable estadística: conjunto de valores que
puede tomar un carácter estadístico cuantitativo.
– Discreta: la variable puede tomar un número finito de
valores
– Continua: la variable puede tomar un valor que se
encuentre dentro de un intervalo de números reales.

5. Estudio estadístico
Para realizar un estudio estadístico se siguen las
siguientes pautas:
• Extracción de una muestra de la población
Debe ser representativa de la población
• Recuento de datos
Proporciona la frecuencia absoluta de la tabla
• Elaboración de una tabla estadística

6. Recuento de datos
• El recuento de datos proporciona la frecuencia
absoluta para cada valor de la variable
estadística
• En la primera columna se disponen los
distintos valores que puede tomar la variable
estadística
• En la siguiente, tras contar los casos en los que
aparece cada valor de la variable, se calcula la
frecuencia absoluta.

7. Ejemplo I
A las 50 familias que viven en una calle se les ha realizado una encuesta
preguntando el número de personas que viven en su vivienda.
3 3 5 8 3
7 2 4 4 3
2 6 1 5 4
4 3 3 4 1
4 6 4 7 8
7 4 2 2 7
3 2 2 2 2
6 3 3 3 4
2 4 6 8 1
3 5 5 3 6
El carácter estadístico
se corresponde con el
número de personas
que viven juntas.
El tamaño de la
muestra es 50.

8. Ejemplo I (continuación)
Valor de la
variable
Frecuencia
absoluta
xi fi
1 3
2 9
3 12
4 10
5 4
6 5
7 4
8 3
Total 50
El rango de valores de la variable va de 1 a
8. La variable es discreta.
La frecuencia absoluta establece en este
caso el número de viviendas que está
ocupada por el número de inquilinos que
le corresponde al valor de la variable.
Hay 4 viviendas de las 50 ocupadas por 7
personas.
La suma de las frecuencias absolutas es el
tamaño de la muestra.

9. Intervalos o clases
• Cuando una variable estadística cuantitativa
puede tomar una gran cantidad de valores
distintos, se agruparán en intervalos.
• Normalmente se toman intervalos de igual
amplitud.
• Para realizar cálculos se utilizará la marca de
clase que no es más que el punto medio del
intervalo.

10. Ejemplo II
A los 100 empleados de una empresa , se les ha realizado una prueba sobre
resolución de problemas. En una escala de 0 a 100 se ha obtenido las
siguientes puntuaciones:
2 58 69 62 17 53 5 30 76 33
84 76 69 70 63 65 46 99 65 2
5 82 83 80 72 74 39 21 84 48
68 5 15 90 48 99 32 17 27 62
21 54 11 4 7 33 90 76 4 18
27 53 47 11 88 66 64 29 59 99
46 61 20 27 49 44 37 90 72 35
84 7 85 14 28 71 89 76 48 52
70 41 25 85 90 4 81 78 55 36
73 8 2 94 84 68 11 13 37 9

11. Ejemplo II (continuación)
Se ha decidido agrupar los valores en 5 clases, como el menor valor es 2 y el
mayor 100, la amplitud del intervalo será:
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠
=
100 − 2
5
= 19,6
Tomaremos para la longitud del intervalo 20, pues es más fácil de realizar
cálculos:
Intervalo Marca de clase Frecuencia Absoluta
(xi,xi+1] xi fi
(0,20] 10 23
(20,40] 30 17
(40,60] 50 16
(60,80] 70 25
(80,100] 90 19
Total 100

12. Frecuencias
Frecuencia absoluta: Número de individuos de la muestra que presenta
un valor de la variable estadística. Su suma debe ser el tamaño de la muestra.
Frecuencia relativa: Fracción que representa la frecuencia absoluta
respecto del tamaño de la muestra. Se calcula dividiendo la frecuencia
absoluta entre el tamaño de la muestra. La suma total debe ser 1.
Frecuencia porcentual: Porcentaje que representa cada frecuencia
absoluta respecto del tamaño de la muestra. La suma total debe ser 100.
Frecuencias acumuladas: se corresponde con la suma de las frecuencias
anteriores a las de un valor de la variable más la suya propia.

13. Ejemplo
Valor de la
variable
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
Frecuencia
acumulada
xi fi hi pi Fi
1 3 0,06 6 3
2 9 0,18 18 12
3 12 0,24 24 24
4 10 0,2 20 34
5 4 0,08 8 38
6 5 0,1 10 43
7 4 0,08 8 47
8 3 0,06 6 50
Total 50 1 100

14. MÉTODOS GRÁFICOS PARA
DESCRIBIR DATOS

15. Diagrama de barras
El diagrama de barras se utiliza para representar variables
cualitativas o cuantitativas discretas.
A cada valor de la variable estadística o categoría, (que se
corresponde con en el eje OX), se le asocia un rectángulo de área
proporcional a la frecuencia absoluta o relativa que le
corresponde a la categoría.
El polígono de frecuencias se crea uniendo con segmentos los
puntos medios consecutivos del diagrama de barras.

16. Ejemplo: diagrama de barras
xi fi
Lunes 12
Martes 15
Miércoles 17
Jueves 20
Viernes 15
Sábado 18
Domingo 22 0
5
10
15
20
25
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Venta de barras de pan (en cientos de unidades)

17. Diagrama de sectores
Consiste en representar cada una de los valores de la variable estadística
mediante un sector circular proporcional a su valor.
Se utilizan cuando los valores de la variable estadística no son numerosos.
Para calcular el ángulo del sector que le corresponde a cada frecuencia
absoluta se utiliza la siguiente proporción:
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
3600
=
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
Si se desea utilizar la frecuencia relativa, la proporción es:
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
3600
= 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

18. Ejemplo: diagrama de sectores
xi fi hi
Lunes 38 0,1402214
Martes 56 0,20664207
Miércoles 120 0,44280443
Jueves 12 0,04428044
Viernes 45 0,16605166
Lunes
14%
Martes
21%
Miércoles
44%
Jueves
4%
Viernes
17%
Número de reparaciones por día
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
El ángulo que le corresponde al miércoles es:
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
3600 =
120
271
es decir aproximadamente 1590
Total: 271

19. Diagrama de tallo y hojas
Para realizar este tipo de diagramas se debe partir cada uno de los datos en
dos partes: un tallo y una hoja. Por ejemplo, 213 puede ser dividido en 2 y 13
o en 21 y 3 (tallo y hoja respectivamente).
Cada tallo dará lugar a una fila que estará alineada en horizontal con todas las
hojas ordenadas que comparten el mismo tallo. Estarán separadas por un
línea vertical.
Cada tallo, en orden se encontrará alineado en vertical y en orden.
Este tipo de gráfico permite mostrar la misma información que un diagrama
de barras a la vez que permite observar la distribución de los valores en cada
uno de los tallos.

20. Ejemplo: diagrama tallo/hoja
Diagrama tallo / hoja
14 | 0 0 1 1 1 2 3 4 5 8 8 9 9 9
15 | 0 1 2 2 4 4 4 4 4 5 7 8 8
16 | 0 1 2 2 4 4 5 7 8
17 | 0 2 3 4 4 5 6 8 8
18 | 0 1 1 1 2 2 4 6 6 7
19 | 0
160 181 190
178 162 152
181 165 140
154 158 182
154 157 180
151 174 158
173 145 150
168 152 141
148 184 176
170 186 181
161 149 162
187 154 186
154 144 154
143 172 141
154 167 141
178 182 175
164 142 164
149 174 149
148 155 140
Supongamos que la tabla incluye la medida, en
centímetros de los alumnos de una clase. El
tallo serán los dos dígitos más significativos y
las hojas el último número.
tallos
hojas

21. Histogramas
Un histograma para datos numéricos discretos es un gráfico de la frecuencia
absoluta o relativa, similar al diagrama de barras.
Cada frecuencia es representada por un rectángulo centrado sobre el valor
correspondiente.
El área del rectángulo es proporcional a la frecuencia que se desea
representar.
Se puede mostrar fácilmente:
El centro o valor típico
La variación de los valores
Su forma general, la presencia de huecos y las partes aisladas

22. Ejemplo: Histograma

23. PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN
Distribuciones unidimensionales

24. Parámetros estadísticos
Permiten describir de forma resumida el
comportamiento de la variable estadística
Existen dos grandes grupos:
• Parámetros de centralización
• Moda, mediana y media
• Parámetros de dispersión
• Rango, varianza, desviación típica y coeficiente de
variación

25. Parámetros de centralización
La moda (Mo): de los valores de la variable estadística
el de mayor frecuencia.
La mediana (Me): tras haber ordenado los valores de la
variable (junto con sus frecuencias), aquel valor de la
variable que ocupa el lugar central.
La media ( 𝒙 ): valor que se obtiene al sumar los
productos de los valores de la variable estadística por la
frecuencia absoluta, dividido por el tamaño de la
muestra.
𝒙 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 · 𝒇𝒊
𝑵

26. Ejemplo
Valor de la
variable
Frecuencia
absoluta
xi fi
1 3
2 9
3 12
4 10
5 4
6 5
7 4
8 3
Total 50
La moda es 3, pues es el valor de la
variable que más frecuencia
absoluta tiene
La mediana es 4, pues contiene el
elemento 25 y 26 (mitad y mitad
mas uno del tamaño de la
población)
𝒙 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 · 𝒇𝒊
𝑵
=
=
𝟑 · 𝟏 + 𝟐 · 𝟗 + 𝟑 · 𝟏𝟐 + ⋯ . . +𝟖 · 𝟑
𝟓𝟎
= 𝟑, 𝟗𝟖

27. A tener en cuenta para calcular la
mediana
Cuando la variable estadística es discreta y el número de
elementos es par, para calcular la mediana se utilizan los dos
valores centrales y se realiza la media aritmética de los valores
centrales de la variable estadística.
Si la variable estadística se encuentra agrupada en intervalos el
que contiene el valor medio es el intervalo mediano pero la
mediana se calculará mediante la siguiente fórmula:
Me = Li + a
N
2
− Fi−1
fi
Donde:
Li Límite inferior del intervalo
mediano
Amplitud del intervaloa
Frecuencia absoluta de la
clase mediana
fi
Frecuencia absoluta acumulada de la clase
anterior
Fi−1 𝑁 Tamaño de la muestra

28. Ejemplo
Intervalo Marca de clase Frecuencia Absoluta
(xi,xi+1] xi fi
(0,20] 10 23
(20,40] 30 17
(40,60] 50 16
(60,80] 70 25
(80,100] 90 19
Total 100
El intervalo mediano es [40,60] que
acumula los datos 50 y 51
Me = Li + a
N
2
− Fi−1
fi
= 40 + 20
100
2
− 40
16
= 52,5

29. Medidas de orden o posición
Estas medidas indican el orden o posición de una observación
entre los valores de una variable cuantitativa.
Para realizar su cálculo es conveniente ordenar los valores de la
muestra.
El percentil al p% es el valor que cumple que el p% de las
observaciones de la muestra son inferiores a él.
Para el cálculo de la posición que ocupa el percentil, se utiliza la
fórmula:
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑛 + 1
𝑝
100
Esta fórmula será válida cuando el valor obtenido sea entero.

30. Ejemplo
Calculemos el percentil a 25% y 75% de la siguiente muestra
ordenada:
1.48 1.56 1.56 1.59 1.60 1.61 1.63 1.64 1.64 1.67 1.68
1.68 1.68 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.72 1.75 1.76 1.76
1.77 1.77 1.79 1.81 1.81 1.84 1.84 1.88 1.94
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = 31 + 1
25
100
=
32
4
= 8Percentil a 25%, Valor 1.64
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = 31 + 1
75
100
=
2400
100
= 24Percentil a 75%, Valor 1.77

31. Percentiles (posición decimal)
Cuando al calcular un percentil no obtenemos una posición
entera, utilizaremos el valor entero obtenido:
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑛 + 1
𝑝
100
Y después, utilizaremos el siguiente valor para calcular el
percentil:
𝐷𝑒𝑐 𝑃𝑜𝑠 · 𝑋 𝑃𝑜𝑠 +1 + 1 − 𝐷𝑒𝑐 𝑃𝑜𝑠 · 𝑋 𝑃𝑜𝑠
Donde:
𝐷𝑒𝑐 𝑃𝑜𝑠 es la parte decimal de la posición obtenida inicialmente
𝑋 𝑃𝑜𝑠 +1 es el valor que ocupa el lugar posición mas uno
𝑋 𝑃𝑜𝑠 es el valor que ocupa la posición obtenida

32. Ejemplo
Calculemos el percentil a 5% de la siguiente muestra ordenada:
1.48 1.56 1.56 1.59 1.60 1.61 1.63 1.64 1.64 1.67 1.68
1.68 1.68 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.72 1.75 1.76 1.76
1.77 1.77 1.79 1.81 1.81 1.84 1.84 1.88 1.94
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = 31 + 1
5
100
=
160
100
=1,6Percentil a 5%,
Utilizamos la siguiente fórmula, pues el valor obtenido es decimal
𝐷𝑒𝑐 𝑃𝑜𝑠 · 𝑋 𝑃𝑜𝑠 +1 + 1 − 𝐷𝑒𝑐 𝑃𝑜𝑠 · 𝑋 𝑃𝑜𝑠
0,6 · 1,56 + ( 1 – 0,6 ) · 1,48 = 0,936 + 0,592 = 1,528
El percentil a 5% es 1,528

33. Cuartiles
Los percentiles al 25%, 50% y 75% se denominan primer, segundo
y tercer cuartil respectivamente.
Los cuartiles son importantes pues dividen la muestra en cuatro
partes que contienen el mismo número de individuos.
El cálculo de los cuartiles se realiza con los respectivos
percentiles.
La mediana es tanto el percentil al 50% como el segundo cuartil.
Los cuartiles permiten representar la información de un conjunto
de datos de una forma muy resumida: los diagramas de caja.

34. Diagrama de caja
Se compone de un rectángulo, cuyo lado superior representa el
primer cuartil y el lado inferior por el tercer cuartil.
En el centro del rectángulo se representa una línea que se
corresponde con la mediana (segundo cuartil).
Y dos segmentos verticales (llamados “bigotes”):
Uno nace del valor mínimo de los datos y termina en el lado
superior del rectángulo.
El otro nace del lado inferior del rectángulo y termina en el
mayor valor de los datos.

35. Ejemplo: diagrama de caja
El siguiente gráfico representa
un diagrama de caja para los
siguientes valores obtenidos
de una muestra:
Mínimo 43
Primer cuartil 71
Mediana 78
Tercer cuartil 86
Máximo 96
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1
Diagrama de caja

36. Parámetros estadísticos de dispersión I
El rango (amplitud o recorrido): diferencia entre el mayor y
menor valor de la variable estadística.
La varianza: mide la distancia entre la media y los valores de la
variable estadística.
Las siguientes fórmulas permiten el cálculo de la varianza.
𝝈 𝟐 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 𝒇𝒊
𝑵
𝝈 𝟐 =
𝐢=𝟏
𝐧
𝐱𝐢
𝟐 𝐟𝐢
𝐍
− 𝐱 𝟐

37. Parámetros estadísticos de dispersión II
La desviación típica: mide si los datos se encuentran agrupados
en las proximidades de la media. Se mide en las mismas unidades
que los datos
𝛔 = 𝐢=𝟏
𝐧
𝐱 𝐢 − 𝐱 𝟐 𝐟𝐢
𝐍
= 𝐢=𝟏
𝐧
𝐱 𝐢
𝟐 𝐟𝐢
𝐍
− 𝐱 𝟐
La desviación típica es el parámetro de dispersión más utilizado
Si se suma una constante a cada uno de los valores de la variable,
la desviación típica no varía
Si se multiplica una constante a cada uno de los valores de la
variable, la desviación típica queda multiplicada por él.

38. Coeficiente de variación
Cuando se desea comparar dos variables aleatorias se utiliza el
coeficiente de variación, que no es más que la razón entre la
desviación típica y la media de la variable
𝑪𝑽 =
𝝈
𝒙
El coeficiente de variación siempre es positivo y no tiene
unidades.
Cuanto más pequeño es, los valores de la variable se encuentran
más concentrados alrededor de la media
Permite comparar dos variables aleatorias heterogéneas.

39. VARIABLES ESTADÍSTICAS
BIDIMENSIONALES

40. Variable estadística bidimensional
Cuando en una población se observan dos caracteres de los
individuos, se recurre a una variable estadística bidimensional
Cada individuo tendrá asociado dos valores, uno para cada uno
de los caracteres estadísticos estudiados.
El par ordenado (X,Y) se compone de dos variables estadísticas
unidimensionales. Si n es el tamaño de la muestra o población, el
par (xi,yi) representa los valores de cada una de las variables
estadísticas para el individuo i.

41. Relaciones funcionales y estadísticas
La relación entre dos variables podría ser funcional, si conocida
una de ellas se conoce la otra de forma unívoca. Este tipo de
relaciones no son estudiadas por la estadística.
Cuando en una relación puede obtenerse un valor aproximado si
se conoce el valor de la otra variable, se dice que hay una
relación estadística (correlación).
Ejemplos
La longitud de un niño conocidos los meses desde su
nacimiento
El peso y la altura de una persona

42. Tabla simple
Para organizar los datos de las variables bidimensionales se
pueden utilizar las tablas simples, donde para cada individuo de
la muestra aparece los valores de los dos caracteres estadísticos a
estudiar.
Ejemplo:
Supongamos que se estudia la puntuación de 10 estudiantes
en un test de expresión oral y escrita.
Expresión oral (X) 8 5 4 9 3 7 8 5 9 9
Expresión escrita (Y) 9 6 6 7 6 7 4 6 8 6
Cada columna representa la puntuación obtenida por cada
uno de los estudiantes (la frecuencia de cada par es 1).

43. Tabla simple con frecuencias
Para cada par de valores de las variables estadísticas se les asocia
la frecuencia.
Ejemplo:
Supongamos que se estudia la puntuación de 63 estudiantes
en una prueba de matemáticas y economía, recogiendo para
cada par distinto de valores obtenidos el número de alumnos
que lo obtienen:
Matemáticas (X) 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9
Economía (Y) 4 4 4 5 7 7 8 8 9 9
Número de alumnos 4 5 6 7 9 9 8 6 6 3

44. Tablas de doble entrada
Para organizar los datos de las variables bidimensionales se
pueden utilizar las tablas de doble entrada:
[2.5,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,10) Total
[2.5,5) 2 3 2 2 1 10
[5,6) 1 5 6 6 2 20
[6,7) 7 7 14 5 5 38
[7,9) 1 2 9 3 6 21
Total 12 19 35 20 14 100
Nota de Física y Química X
NotadeMatemáticasY
Número total de alumnosHay 19 alumnos que han obtenido
una nota de física entre 5 y 6.

45. Distribuciones marginales
A partir de las tablas de doble entrada, es posible obtener las
distribuciones marginales de cada una de las variables:
[2.5,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,10) Total
[2.5,5) 2 3 2 2 1 10
[5,6) 1 5 6 6 2 20
[6,7) 7 7 14 5 5 38
[7,9) 1 2 9 3 6 21
Total 12 19 35 20 14 100
Nota de Física y Química
12 19 35 20 14
[2.5,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,10)
[2.5,5)
[5,6)
[6,7)
[7,9)
10
20
38
21
NotadeMatemáticas
Distribuciones marginales

46. Distribuciones condicionadas
En una distribución bidimensional podemos estudiar la
distribución que resulta de fijar un valor en una de las variables y
estudiar las frecuencias correspondientes a la otra.
A la distribución así formada se denomina distribución
condicionada.
[2.5,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,10)
[2.5,5) 2 3 2 2 1
Ejemplo:
Si fijamos la nota de matemáticas al intervalo [2.5,5), la
distribución condicionada para la nota de física es:
Esta distribución se notará por: 𝑿| 𝒀=[𝟐.𝟓,𝟓) siendo X la variable
asociada a la puntuación de física e Y la variable asociada a la
puntuación de matemáticas.

47. Diagrama de dispersión I
El diagrama de dispersión es la representación gráfica de los
pares de puntos (xi,yi) que forman la distribución
bidimensional.
Ejemplo:
Supongamos que se estudia la nota de 5 alumnos en
bachillerato (X) y en la PAU (Y).
xi yi
5,4 4,8
6,2 7,0
5,5 6,2
6,4 4,3
8,2 8,5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10
yi

48. Diagrama de dispersión II
Cuando se dispone de una tabla de doble entrada, la
frecuencia de cada punto no es uno, por lo que puede
representarse en las inmediaciones del punto representado
tantos puntos como frecuencia exista en la tabla, o bien, el
tamaño del “punto” representado sea proporcional, o
utilizando un gráfico de tridimensional.
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
1 2 3

49. Covarianza
Se define la covarianza de una variable bidimensional (X,Y) a
la media aritmética de los productos de las desviaciones de
cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.
Para realizar el cálculo de la covarianza se utilizan las
siguientes fórmulas (son equivalentes):
Sxy =
i=1
n
xi − x yi − y
N
Sxy =
i=1
n
fixiyi
N
− xy

50. Interpretación de la covarianza
Dependiendo del signo de la covarianza:
• Positivo: Indica que los productos de xi e yi se
alejan en el mismo sentido de sus respectivas
medias
• Negativo (comportamiento recíproco al
anterior)
• Cero o próximo a cero: la covarianza indica que
no hay relación entre las variables.

51. Correlación
La correlación es la relación que existe entre las dos variables
que participan en una distribución bidimensional.
La representación que proporciona la nube de puntos puede
indicar el tipo de correlación:
Lineal: la nube de puntos se dispone alrededor de una
recta.
Positiva (directa): la pendiente de la recta es positiva
Negativa (inversa): la pendiente de la recta es
negativa
Curvilínea: la nube de puntos se distribuye alrededor de
una curva.
Nula: cuando no existe ninguna relación entre las
variables.

52. Ejemplos
Correlación lineal
positiva
Correlación lineal
negativa
Correlación nula Correlación
cuvilínea

53. Regresión lineal. Coeficiente de
Pearson
Para poder cuantificar la correlación lineal entre dos
variables se utiliza el coeficiente de correlación lineal de
Pearson (r).
𝑟 =
𝜎 𝑋𝑌
𝜎 𝑋 𝜎 𝑌
Este coeficiente tiene el mismo signo que la covarianza, y se
encuentre comprendido entre 0 y 1, y proporciona la
siguiente información:
-1 < r < 0, la correlación es negativa y es mas fuerte cuanto más se
acerque a -1.
r = 0, no existe correlación
0 < r < 1, la correlación es positiva y es mas fuerte cuanto mas se
acerque a 1.
r = 1 ó r = -1, existe dependencia funcional.

54. Rectas de regresión
Tras comprobar que existe correlación entre dos variables
estadísticas, es posible realizar el cálculo de las rectas que
mejor se ajustan a la nube de puntos:
Recta de regresión de Y sobre X.
Si deseamos calcular el valor estimado de Y, dependiendo del valor de X.
𝒚 − 𝒚 =
𝝈 𝑿𝒀
𝝈 𝑿
𝟐
(𝒙 − 𝒙)
Recta de regresión de X sobre Y.
Si deseamos calcular el valor estimado de X, dependiendo del valor de Y.
𝒙 − 𝒙 =
𝝈 𝑿𝒀
𝝈 𝒀
𝟐
(𝒚 − 𝒚)