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APLICACIÓN DE LAS CADENAS DE MARKOV
Instrucciones:
1.
Aplique la siguiente encuesta a una muestra de 30 personas consumidoras de refresc
os
de cola. Si no son consumidoras de este tipo de refresco, no deberán ser considerada
s.
Sólo interesa tener una muestra de 30 personas que consuman refresco de cola.
Es importante aclarar que esta encuesta sólo intenta detectar la intención del consumi
dor
ante los refrescos de cola, pero no determina la fidelidad a la marca ni su posible camb
io
de producto, ya que sólo mide intenciones, no hechos consumados.
Para que la matriz de transición sea más acorde a la realidad, se necesitan estudio
s
realizados sobre el cambio de marca que realizan realmente los consumidores d
e
refrescos de cola. Si encuentra una dirección web o un estudio al respecto, úselo
en
lugar de hacer la encuesta.
Encuesta
a.
¿Cuál es su refresco de preferencia? Elija sólo uno; si le gusta más de uno, elija
el
que preferiría como primera opción.
Si el refresco de su preferencia no estuviera disponible, ¿cuál elegiría? (no hag
a
caso al renglón de su refresco preferido).
REFRESCO MI PREFERENCIA
Big Cola
Coca Cola
Pepsi Cola

2. Con la información obtenida en la encuesta, elabore la matriz de transición.
3. Determine la probabilidad de que un consumidor de:
a. Big Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
b. Coca Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
c. Pepsi Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
4. Determine la distribución de probabilidades para el estado final estable.
5. Elabore un informe que contenga lo siguiente:
a. Introducción
b. Resultados de la encuesta
c.
Evidencia y explicación de cómo se obtuvo la matriz de transición y los dem
ás
resultados solicitados
d. Interpretación de los resultados y conclusiones
Caso práctico integral. Las costosas filas
Individual/Equipo
Introducción
Al analizar y resolver el siguiente problema aplicará los enfoques de probabilidad estudiados
en la unidad. La finalidad es que valore tanto usted como su asesor el dominio de
conocimientos alcanzado a través de la forma como determine la pertinencia o no de una
acción y el empleo razonado de las herramientas estadísticas de probabilidad de que dispone.
Para lograr lo anterior, recuerde que hay tantos procedimientos para analizar y resolver problemas
en la vida real como personas que los lleven a cabo. Por lo tanto, el que se presenta supone varias
respuestas y formas de llegar a ellas. Usted mismo lo notará al momento que participe en el foro o
someta su propio trabajo al escrutinio de un equipo de pares y discutan acerca de la mejor manera
de resolverlo, si es que le es posible trabajar en equipo. El meollo está en el dominio que tiene de
las herramientas estadísticas de probabilidad y en su ingenio, creatividad y destreza para utilizarlas
de acuerdo con el razonamiento que haga de situaciones específicas.

Ahora bien, dado que la resolución de este problema tiene efectos para su calificación,
considere que se tomará en cuenta:
 La identificación que logra hacer del enfoque de probabilidad a emplear.
 La forma como maneja las propiedades de probabilidad.
 Su interpretación de los resultados derivados de las herramientas empleadas en los puntos
previos
 Elaboración de propuestas con base en los resultados.
 Evaluación del alcance de las propuestas.
 Argumentación de las preguntas que se plantean para el análisis del problema.
 Inclusión de los procedimientos del análisis estadístico realizado.
Resuelto el problema, tendrá la oportunidad de discutir sus resultados y conclusiones con
sus compañeros a través de la plataforma en el Foro 1. Solución a las costosas filas.
Instrucciones: Lea con atención el problema y desarrolle los pasos que se indican para su
análisis y solución.
Problema: Las costosas filas
Actualmente solemos pagar los servicios como la luz, el teléfono, el gas, etc. ya sea en el
banco, en alguna tienda departamental o en establecimientos propios del servicio. Además,
seguramente muchas personas han considerado el mismo centro de pago que usted e
incluso idéntica hora.
Probablemente elegimos esos lugares para realizar nuestros pagos ya sea por costumbre,
practicidad o percepción de seguridad de que nuestro pago será aplicado a tiempo.
Cualquiera que sea el motivo, la escena no se modifica: usted llega apresurado pero ya hay
quince o veinte personas esperando turno para realizar una operación similar; y casualmente,
como ocurre en esos días, son menos los cajeros disponibles normalmente, de manera que
cada una de las personas tarda en promedio cinco minutos en ser despachada, por lo que
cuando es su turno, ya se encuentra disponiendo de tiempo que tenía destinado para otra
actividad, al igual que las personas que se encuentran esperando después de usted. ¿Qué
podría hacer en este lapso si no lo pasara en la fila? La respuesta a esta pregunta es muy
variable según quien conteste. Si trabaja, probablemente en vez de estar esperando turno
para el pago, compartiría con sus compañeros de trabajo el momento de la comida; si sólo
estudia, quizá dedicaría ese tiempo a su estudio; en otros casos podría estar dedicado al
esparcimiento, convivencia u otras muchas cosas. En todo caso, hay una pérdida para usted
y para otros que tienen relación con usted, sean familiares, amigos, compañeros y hasta la
empresa para la que labora.
Ahora bien, ¿ha pensado que también para el banco hay una pérdida por esta situación?
Debido a esto, muchos prestadores de servicio han realizado actualmente alianzas con
diversos establecimientos para que puedan funcionar como centros de pago. En cierta forma,

este esquema equivale a rentar la infraestructura de estos negocios para realizar el cobro
correspondiente a los usuarios del servicio, lo cual implica un aumento de opciones, horarios
de pago y disminución del riesgo de un pago atrasado.
Una prestigiada institución financiera, dedicada al servicio de tarjetas de crédito detectó la
necesidad de considerar este tipo de esquemas de negocio, debido al excesivo número de
personas que acostumbraban a realizar el pago de su tarjeta en alguna ventanilla bancaria.
Por otra parte, dos instituciones destacan en el manejo de grandes volúmenes de cuentas de
nómina. Esta situación, además de causar un excesivo costo, pone a la institución en
desventaja por ser su competencia, además de que indirectamente las está enterando de
información concerniente a sus tarjetahabientes.
De acuerdo con los registros de la institución, cada mes en promedio los tarjetahabientes
realizan alrededor de 800,000 pagos, repartidos de la siguiente manera:
Pagos mensuales de acuerdo al canal de pago
También se sabe que el 89.7% de los pagos realizados en bancos se lleva a cabo en la
ventanilla, mientras que el resto a través de sus portales.
En cierta manera, los datos muestran que el tarjetahabiente es muy tradicional en la manera
de cumplir con sus compromisos, sea por desconfianza o costumbre. Sin embargo, como se
observa en el cuadro siguiente este hábito de pago le resulta muy caro a la institución, ya que
el costo promedio de un pago en ventanilla es 117% superior a uno hecho a través de un
portal bancario.
Costo promedio por pago registrado
Canal de pago Pagos
Bancos 424,000
Tiendas de regalos 216,000
Supermercados 80,000
Establecimientos
propios
48,000
Almacenes de ropa 24,000
Farmacias 8,000
Total 800,000
Canal de pago Costo
Bancos ventanilla $13.00
Portales bancarios $6.00
Tiendas de regalos $11.00
Supermercados $8.00
Establecimientos
propios
$12.00
Almacenes de ropa $8.00
Farmacias $7.00
Total $11.31

Además, quienes emplean las ventanillas de bancos normalmente realizan pagos de importe
bajo, lo que significa que la utilidad esperada por la tasa de interés se ve erosionada de forma
considerable por la renta de la infraestructura. El pago promedio registrado en cada canal se
muestra a continuación:
Pago promedio de acuerdo con el canal de pago
Con esta problemática y la información disponible, la institución financiera requiere diseñar
una estrategia para migrar al menos el 5% de los pagos realizados en bancos a otros canales
más económicos y diversificados. Para ello es necesario analizar la información presentada
hasta aquí, ante lo cual se solicita de su ayuda.
Usted, hábil en el ejercicio de razonar y usar herramientas estadísticas de probabilidad,
llevará a cabo los siguientes pasos:
Pasos a seguir para la solución del problema
1. Se plantea las siguientes preguntas, las contesta y justifica sus respuestas con base en
los resultados de las operaciones estadísticas que realiza en Excel.
a. ¿Será posible migrar al menos el 5% de los pagos realizados al mes?
Sí _____ No _____ Justifique:
b. ¿En qué canales será más probable el éxito?
c. ¿Cómo impactaría a los bancos la estrategia en canales diferentes?
d. ¿Cuánto es el ahorro esperado?
- ¿Por qué?
Canal de pago Costo
Bancos ventanilla $1,500.00
Portales bancarios $1,874.00
Tiendas de
regalos
$1,800.00
Supermercados $980.00
Establecimientos
propios
$5,689.00
Almacenes de
ropa
$1,235.00
Farmacias $697.00

2. Hace equipo con dos o tres compañeros de su grupo y dialoga con ellos acerca del
análisis realizado por cada uno (opcional). Con base en el análisis grupal o el análisis
individual, genera una estrategia de solución al problema bajo el siguiente esquema.
Estrategia de migración de pagos
Actividad en equipo (opcional)
Nombres de los integrantes del equipo:
Objetivo de la estrategia:
Migrar al menos el 5% de los pagos realizados en bancos a otros canales más
económicos y diversificados.
Estrategia: Enliste(n) las acciones que permitirán migrar al menos el 5% de los pagos.
Justificación (destaque(n) al menos tres virtudes de su estrategia)
Fundamentación (explique(n) la manera como utilizan los resultados de su análisis en el
desarrollo de esta estrategia)
Alcances y limitaciones de su estrategia
3. Para cerrar, le pedimos que reflexione sobre el aprendizaje que le deja su ejercitación y
solución al problema planteado, contestando las siguientes preguntas. Esto le permitirá
estimar sus logros e identificar sus propias áreas de oportunidad y mejora.
a. ¿Cuál fue la mayor dificultad enfrentada para la resolución de este problema?
b. ¿Qué hizo para resolver dicha dificultad?
c. Al analizar el problema y proponer su estrategia, ¿consideró la factibilidad de cambiar sólo
una costumbre de pago por una estrategia puntual?
d. Con la información que se proporciona, ¿identifica otra problemática donde sea posible
aplicar probabilidades?

Si su respuesta es positiva, ¿cuál es?
Si su respuesta es negativa, ¿a qué lo atribuye?
e. Al margen del problema presentado, ¿puede nombrar algún otro relacionado con una
materia estudiada hasta el momento y donde pueda aplicar probabilidades?
Si su respuesta es positiva, ¿cuál es?
¿Cómo aplicaría las probabilidades a la(s) problemática(s) que mencionó?
Si su respuesta es negativa, ¿qué necesita aprender para poder hacerlo?
4. Envíe su trabajo a través de la plataforma como se indica a continuación:
– De manera individual, las respuestas y procedimientos que desarrolló para la
solución del problema en un documento de Word o Excel.
– En equipo, la estrategia de solución del problema que desarrolló en el apartado
Estrategia de migración de pagos en un documento de Word o Excel. Recuerde
anotar los nombres de todos los integrantes (sólo si desarrolló en equipo la
propuesta que se le solicita).
Aplicaciones de probabilidad
Una medida muy empleada para medir la incertidumbre de la ocurrencia de un suceso es la
probabilidad. A continuación recuperará su conocimiento previo y posteriormente reforzará
lo aprendido acerca de este tema a través de los ejercicios incluidos en esta parte de su
cuaderno integral de trabajo.
Actividad: Identificación de situaciones cotidianas donde se aplica la noción de probabilidad

¿Cuántas veces ha utilizado frases como “creo que puede pasar…”, “es probable que…”,
“podría ser que...”? Todos estos casos se refieren a una situación frente a la que existe
incertidumbre de que algo ocurra y con más de una posibilidad. En esta actividad analizará
este tipo de situaciones, de tal modo que compruebe cómo el empleo de la probabilidad le
permite dimensionar mejor los acontecimientos que le interesen tanto en su vida personal
como profesional.
Instrucciones:
1. Seleccione uno de los artículos que aparecen en el anexo de este cuaderno de trabajo.
2. Del artículo elegido por usted conteste las siguientes preguntas.
 ¿Qué situaciones de incertidumbre identifica? Justifique en cada caso su respuesta.
 En su opinión, ¿es posible medir cada una de las incertidumbres identificadas?
 En caso de contar con las mediciones de dichas incertidumbres, ¿qué sería lo más
viable?
3. Póngase en contacto con su asesor a través del correo electrónico de la plataforma en
caso de tener alguna duda o necesitar retroalimentación de esta actividad.
NOTA: Recuerde que esta actividad tiene como finalidad recuperar su conocimiento previo
sobre el tema para lograr un mejor aprendizaje.

Ejercicios para reforzar conocimiento
1. Indique el enfoque de probabilidad utilizado en cada uno de los siguientes casos.
Recuerde justificar su respuesta.
a) Una compañía de televisión por cable ha organizado una agresiva política de
cobranza. Sabe que si una persona se atrasa en un pago, la probabilidad de que
regularice su situación es 50%, y si se atrasa en dos, de 10%.
b) El señor López en su quiniela de esta semana indicó que el Toluca le ganaba a los
Jaguares, fundamentando su decisión en el desempeño de ambos equipos en las
últimas dos semanas.
c) La familia Rodríguez ha decidido que el año entrante saldrá de vacaciones a Cancún,
y para garantizar una feliz estancia ha reservado lugar para finales de febrero.
d) A través del voto secreto, en una escuela va a elegirse mesa directiva de la sociedad
de padres, la cual se conformará por seis miembros. Sandra, aunque habitualmente
asiste a las actividades de la escuela de sus hijos, considera como mínimas las
probabilidades de que sea elegida para algún cargo entre los 300 padres de familia
del colegio este año.
e) Miguel García Quevedo está molesto porque en la embajada de un país que pretende
visitar no le otorgaron visa por un motivo que considera increíble. Resulta que en los
registros policíacos de la representación diplomática aparece una ficha de una
persona con el mismo nombre y fecha de nacimiento de Miguel.
2. Anteriormente, los jóvenes en edad de realizar su servicio militar se sometían a un
sorteo donde había dos resultados posibles: “bola negra”, que significaba que se
encontraría durante un año en disponibilidad, mientras que de obtener “bola blanca”,

estaría durante 52 sábados acudiendo a recibir instrucción militar. Asimismo, las
personas que querían cumplir con este requisito antes de la edad establecida o los que
dejaron pasar el tiempo por alguna razón, debían marchar de forma obligada. Defina el
espacio muestral del cumplimiento del servicio militar. Justifique su respuesta.
 Espacio muestral:
 Justificación:
3. Una encuesta realizada a 500 estudiantes arrojó los siguientes datos:
 329 cursan álgebra
 186 cursan física
 295 cursan estadística
 83 cursan álgebra y física
 217 cursan álgebra y estadística
 63 cursan física y estadística
Calcule las siguientes probabilidades:
a) Que un estudiante curse las tres asignaturas.
b) Que un estudiante curse álgebra pero no estadística.
c) Que un estudiante curse física pero no álgebra.
d) Que curse estadística pero no física.
e) Que curse álgebra o estadística pero no física.
f) Que curse álgebra, pero no física o estadística.

4. Se tienen identificadas 200,000 familias con tres hijos cada una. Suponiendo
posibilidades iguales para niños y niñas, calcule la probabilidad de que al elegir una al
azar ésta tenga:
a) Al menos dos niñas.
b) A lo sumo dos niños.
c) Exactamente un niño.
5. Con la intención de conocer los intereses de los estudiantes de la EBC, se llevó a cabo
una encuesta entre 700 estudiantes de licenciatura, de la cual surgieron los siguientes
datos:
 420 fueron hombres.
 140 estudiantes prefieren el área de finanzas.
 210 hombres, administración.
 280 estudiantes, contabilidad.
 140 fueron mujeres que prefieren contabilidad.
Se decide profundizar al respecto a través de entrevistas especiales al azar. Calcule la
probabilidad de elegir una persona que:
a) Sea mujer.
b) Prefiera la contabilidad.
c) Prefiera administración.
d) Siendo hombre prefiera las finanzas.
e) Sea mujer o prefiera las finanzas.
f) Prefiera administración o sea hombre.
Si se sabe que una persona:

g) Es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera la contabilidad?
h) Prefiere administración, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Ejercicios de evaluación
Instrucciones:
1. En un gran supermercado, 30% de los clientes pagan sus compras en efectivo, 30% con
cheque y 40% con tarjeta de crédito. Adicionalmente, 80% de las compras pagadas en
efectivo, 10% de las pagadas con cheque y 40% de las pagadas con tarjeta de crédito,
son menores de $50,000.00.
2. Se selecciona una compra al azar de esta muestra, calcule la probabilidad de que sea
mayor de $ 50,000.00.
3. Suponga que se ha seleccionado una compra y ésta resultó mayor de $50,000.00, cuál
es la probabilidad de que haya sido pagada:
a) Con cheque.
b) En efectivo
c) Con tarjeta de crédito
4. La tabla siguiente resume información de la población ocupada en gobiernos estatales
de algunas entidades del país.
Población ocupada en gobiernos estatales 2003
Entidad federativa Total
Administración
Pública
Servicios de
Educación
Servicios
Médicos
Baja California 74643 15321 53942 5380
Baja California Sur 17823 3862 11768 2193
Coahuila 58968 8819 46807 3342
Chihuahua 62065 9055 47168 5842
Distrito Federal 137574 115589 373 21612
Jalisco 150677 18839 119088 12750
México 225406 45342 140739 39325

Nuevo León 102467 15550 81714 5203
Puebla 115521 16266 93795 5460
Querétaro 35167 9870 22604 2693
Quintana Roo 26592 8246 15267 3079
Tamaulipas 67900 11093 51394 5413
Veracruz 160141 14766 138140 7235
Yucatán 61740 8278 47648 5814
Fuente: INEGI. Sistema de Cuentas Nacionales de México.
Conteste lo siguiente:
a) ¿En cuál de estas entidades es más probable que alguien que trabaje para el
gobierno lo haga en servicios de educación?
b) Se elige una persona al azar y trabaja en la administración pública de su estado,
¿cuál es la probabilidad de que trabaje en Nuevo León o Tamaulipas?
Aplicación de la teoría de las decisiones
1. Una persona obtuvo la concesión para vender helados en un estadio. Puede esperar
ingresos de $600.00 por la venta de helados si el día es soleado, de $300.00 si está
nublado, y de $100.00 si llueve. Las probabilidades para estos eventos son: 60%, 30% y
10%, respectivamente. ¿Cuál es su ingreso esperado?
2. La compañía ABC está planeando su inversión para el siguiente año fiscal. La decisión
de la compañía dependerá de la predicción acerca de las condiciones económicas del
país. El mercado de valores puede encontrarse con que la economía del país esté en
condiciones estables, inestables o malas. La tabla de ganancias se muestra en la
siguiente matriz de decisión:
Estado de la
naturaleza
Tasa preferente Tasa normal Tasa castigada
Inestable $1,500 $1,200 $1,000
Estable $1,100 $ 900 $ 800
Mala $ 500 $ 600 $ 700

Si las probabilidades, según el Banco de México, de que la economía del país sea
inestable, estable o mala son 50%, 10% y 40%, respectivamente, ¿cuál será el
beneficio esperado por la compañía?
3. En cierto almacén de ropa se organiza una venta especial de uno, dos o tres días. La
probabilidad de que se decida una venta especial de un día es del 50%, de dos del 30% y
de tres del 20%. La probabilidad de que se vendan todos los artículos durante la venta
de uno, dos y tres días es del 90%, 70% y 10%, respectivamente. Con base en la
información anterior, determine:
a. La probabilidad de que se vendan todos los artículos.
b. ¿Qué duración considera que debe elegirse para esta venta?
1. Suponiendo que es el gerente de producción de una fábrica de yogur, debe determinar
el número de litros a producir que maximice la utilidad, considerando que el litro tiene
un costo de producción de $10 y el precio de venta a un supermercado es del 50% de lo
que cuesta en éste (lo deberá investigar en el comercio de su preferencia). Por otra
parte, proponga qué se puede hacer con el producto que no se vende y que ha llegado a
su fecha de caducidad, y el valor de recuperación al no desperdiciarlo. El registro de
litros demandados en el mes fue:
Litros vendidos Días de venta
1500 5
800 10
1000 8
500 7

 Respuesta:
2. Determine la prima de seguros necesaria para proteger un automóvil cuyo valor
comercial es de $230 000. Los actuarios han sugerido que las posibilidades de que
suceda un robo o choque en el DF son del 2%, los gastos operativos fijos son de
$1,000.00 por póliza, además obtiene una utilidad del 20% sobre la prima y otorga a el 10%
sobre la prima para los vendedores.
Ejercicios para reforzar conocimiento
Instrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios.
1. Utilizando la regla empírica, estime el valor del área sombreada de las siguientes
distribuciones normales estandarizadas. Justifique su respuesta.
Estimación:
Justificación:
b.
Estimación:
Justificación:
c. Calcule las probabilidades de los incisos anteriores ya sea con el empleo de una tabla
normal o con Excel y compare sus resultados.
2. Una compañía dedicada a la fabricación de televisores de plasma demuestra en sus
estadísticas que la vida útil promedio de una TV es 10 años, con una desviación estándar de 1.5
años. Los costos por reparar una TV. son de $500. En dos años se venden 35,000. ¿Cuál es el
costo de la garantía si ofrece 2 años? Justifique su respuesta.
3. En una escuela, un promedio de 15 personas de 100 que presentan un examen de
admisión lo aprueba. Si 40 personas lo presentan, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 5 lo
aprueben?

4. La última novela de un autor ha logrado un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de
los lectores ya la han leído. Un grupo de cuatro amigos son aficionados a la lectura:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela exactamente dos
personas?
b. ¿Y al menos dos?
5. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 12/18. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años,
vivan:
cinco personas.
. Al menos tres personas.
c. Exactamente dos personas.
6. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen diez números de teléfono
elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
7. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.003. Se
envió un cargamento de 10,000 artículos a unos almacenes. Determine:
a. El número esperado de artículos defectuosos.
b. Calcule el coeficiente de variación e interprete.
8. Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de dos
de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a cinco
pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
b. Al menos dos padezcan efectos secundarios.
c. ¿Cuál es el número medio de pacientes que el laboratorio espera que sufran efectos
secundarios si elige 100 pacientes al azar?
9. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo
a una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos mensajes en una hora como máximo?
Justifique su respuesta

b. Determine el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue
ningún mensaje durante ese lapso sea alrededor de 0.8.
10. Una prueba de inteligencia consta de diez preguntas con cinco respuestas cada una, de
las cuales una sola es la correcta. Si un alumno responde al azar, calcular la probabilidad de
responder acertadamente a:
a. Dos preguntas
b. Cuatro preguntas
c. Seis preguntas
Instrucciones:
1. Realice los siguientes ejercicios.
2. Utilice la computadora cuando juzgue conveniente hacerlo.
3. Envíe sus respuestas para que sean retroalimentadas y calificadas.
1. En una ciudad la temperatura máxima en junio sigue una distribución normal, con media
de 23° y desviación típica de 5°. Calcule el número de días del mes en los que se espera alcanzar
máximas entre 21° y 27°.
2. La media de los pesos de 500 estudiantes de la EBC es 70 kg y la desviación típica, 3 kg.
Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, indique cuántos estudiantes pesan:
a. Entre 60 kg y 65 kg.
b. Más de 90 kg.
c. Menos de 64 kg.
d. 64 kg.
e. Menos de 64 kg.
3. En un test de cultura general las puntuaciones obtenidas siguen una distribución
acampanada con media 65 y varianza 18. Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de
baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general), de modo que en
el primero haya 20% de la población, 65% en el segundo y 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser
las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
4. En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias,
¿cuál es la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 con teléfono?
5. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una
respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba con 110 respuestas correctas. Suponiendo que se
contesta al azar, indique la probabilidad de aprobar el examen.
El problema de pronóstico y conocimiento de una serie de tiempo
En cualquier aspecto de la vida son comunes preguntas como ¿qué pasará si se cumple cierto
supuesto?, ¿qué acciones debo tomar si se cumple este acontecimiento? Desgraciadamente, por
una combinación de falta de información y de conocimiento, muchas veces no se toman las
previsiones adecuadas para enfrentar cierto escenario. En otras palabras, de haberse dispuesto
de un pronóstico se hubiera evitado un problema.

Durante esta primera parte, después de un breviario teórico de los temas, realizará ejercicios
destinados a reforzar la identificación de problemáticas que requieran la elaboración de un
pronóstico, y posteriormente la determinación del modelo más adecuado para realizar un
pronóstico para una serie de tiempo. A través del breviario obtendrá algunas explicaciones y
ejemplos breves, pero usted tendrá que asumir un papel activo, pues deberá completarlo con
algunos conceptos o definiciones que ya conoce, dadas las lecturas que ha realizado
previamente.
Pronósticos
Un pronóstico es una estimación acerca de un suceso incierto, como por ejemplo el número
de alumnos que terminará con notas satisfactorias esta materia, o el número de personas
inscritas en una modalidad virtual para el siguiente ciclo.
Esta definición satisface los fines académicos de su curso. Sin embargo, en lo cotidiano usted
se relaciona con personas externas a la Escuela que pueden demandar una explicación más
simple, tales como amigos, familiares, empleadores y compañeros de trabajo. En este sentido,
para completar esta noción conceptual, es importante que explique con sus propias palabras a
qué se refiere el concepto de pronóstico. Hágalo en el siguiente cuadro de texto:
En un buen pronóstico intervienen dos aspectos:
• Aspecto técnico. Es decir, la metodología empleada para su obtención, que en términos
más sencillos usted explica de la siguiente forma:
• Aspecto empírico. Consistente en la experiencia y buen juicio de la persona que está a
cargo del cálculo del tema en estudio. Por ejemplo:
Recuerde que:
Los pronósticos se clasifican de acuerdo a su plazo, enfoque y tipo, como se ilustra en el
siguiente esquema:
Clasificación de pronósticos
El proceso de un pronóstico es el siguiente:
• Formulación del problema y recolección de datos. Como cualquier estudio, es importante
determinar el objetivo del pronóstico, en otras palabras, contestar la pregunta: ¿qué se quiere
pronosticar? El paso inmediato es recabar información histórica acerca de la situación que se
desea estudiar.
• Manipulación y limpieza de datos. Una vez con la información, es necesario ponerla de
una forma que facilite la realización del pronóstico.
• Construcción y evaluación del modelo. Al tener la información preparada para su análisis,
se está en posibilidades de correr varios modelos y elegir aquel que proporcione la estimación
más adecuada.

• Aplicación del modelo. Una vez determinado el modelo más adecuado, se procede a
realizar el pronóstico.
• Evaluación del modelo. Se compara la predicción conforme al valor que se observe.
Seguramente habrá ocasiones en que sea necesario explicar lo anterior a alguien. Cuando
esto ocurra, es importante que nuestra explicación sea comprensible para el interlocutor. Esto es
la mejor señal de que estamos aprendiendo lo que estudiamos. En el siguiente cuadro de texto
puede explicar el proceso de pronóstico con sus propias palabras o ilustrarlo mediante un
diagrama de flujo o cualquier otra representación visual.
Teniendo presente lo anterior proceda a resolver el siguiente ejercicio:
Ejercicio 1
Instrucciones: Lea con atención el siguiente artículo y escriba lo que se le solicita.
Inaccesible a PyME crédito de la banca de desarrollo
Asegura Alampyme que es complicado acceder a las garantías que ofrecen Nafin y Bancomext
Notimex
El Universal
Martes 04 de noviembre de 2008
A diferencia de los grandes corporativos como Cemex, Comerci, Soriana o Vitro, que han
acudido a la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) a través de la banca de desarrollo para obtener más
liquidez, las micro, pequeñas y medianas empresas han tenido que echar mano del apoyo que
ofrecen las secretarías de desarrollo de los estados para conseguir créditos que les dé liquidez
financiera.
Para las aproximadamente cuatro millones de micro, pequeñas y medianas empresas
registradas ante la Secretaría de Economía acceder a un crédito bancario es impensable, "la banca
comercial nos niega préstamos de 50 mil pesos o menos, no le conviene, sólo prestan de 300 mil
pesos en adelante", denunció el presidente de la Asociación Latinoamericana de Micros, Pequeños
y Medianos Empresarios (Alampyme), Pedro Salcedo García.
Es todavía más complicado pensar en acceder a las garantías que desde el pasado 22 de
octubre ofrecen Nacional Financiera (Nafin) y el Banco de Comercio Exterior (Bancomext) para
realizar emisiones en la BMV.
De las cuatro millones de micro, pequeñas y medianas empresas, sólo el 27 por ciento tiene
acceso a un crédito bancario, en tanto que el 60 por ciento que se acerca a la banca comercial en
busca de financiamiento es rechazado por no ser sujetos de crédito, aparecer en el Buró de
Crédito y hasta por carecer de bienes que respalden el crédito.
Y es que las garantías que exige la institución son hasta tres veces más altas que el mismo
crédito, comentó Salcedo García.
En entrevista con Notimex agregó que de los micro y pequeños empresarios que han logrado
adquirir un préstamo, la mayoría ya presenta retrasos en sus pagos debido a la falta de ventas y
la reducción en el margen de utilidades.

Las ventas de las empresas asociadas a la Alampyme reportan una caída del 30 por cieno en
el nivel de ventas en lo que va del año, comparado con el mismo periodo de 2007.
La alternativa que tienen es acudir a las secretarías de desarrollo de los estados para ser
canalizados a la banca de desarrollo, quedando estas dependencias como aval, y de este modo
obtener liquidez.
El presidente de la Asociación Latinoamericana de Micros, Pequeños y Medianos Empresarios
(Alampyme) dijo que entre los emprendedores hay cautela al desconocer el incremento en las
tasas de interés ante la turbulencia de los mercados financieros.
"Los integrantes de la Alampyme vamos a verificar los apoyos y programas, así como las
condiciones que habrá, hablamos de programas como México Emprende, el de las Empresas
Gacela, los diseñados para emprendedores y hasta los de Mi Tortilla y Mi Tiendita".
Aseguró que la banca comercial prestaba con tasas de interés de 24 a 30 por ciento "hasta
antes de la crisis financiera".
El gobierno, vía bancos de desarrollo, Fonaes y fondos de desarrollo social de los gobiernos
estatales y del Distrito Federal, ofrecían tasas de 12 a 18 por ciento, y de 6.0 a 9.0 por ciento
anualizado en algunos programas específicos como Mi Tortilla.
1. Identifique al menos dos situaciones donde hubiera sido importante contar con un
pronóstico. Menciónelas.
Para las situaciones que mencionó, describa cómo se desarrollaría cada una de las partes de
las que consta el proceso de realizar un pronóstico y complete el siguiente cuadro:
Situación 1 Situación 2
Formulación del problema y recolección de datos
Manipulación y limpieza de datos
Construcción y evaluación del modelo
Aplicación del modelo
Evaluación del modelo
Series de tiempo
Por las lecturas que ha realizado, sabe que una serie de tiempo es un conjunto de
observaciones realizadas a una variable en diferentes momentos normalmente separados por un
lapso de tiempo semejante. Piense en algún ejemplo y escríbalo:
Si tiene dificultades o sólo desea ampliar la gama de ejemplos que ha pensado, considere
también las ventas mensuales registradas por una compañía que distribuye.
Recuerde que:
A continuación, a manera de ejemplo, se muestra el número de visitas a médicos por una
familia entre el año 2000 y 2008 en forma de serie de tiempo.
En este gráfico, las visitas al médico representan a la variable bajo observación (Y), mientras
el año es la variable que corresponde al tiempo (t). El trazo del gráfico conformado por la unión

de puntos de observación muestra la manera en que esta familia ha visitado a los médicos
durante ocho años.
Componentes de una serie de tiempo
Los componentes de una serie de tiempo son movimientos característicos que pueden
presentarse durante un período de observación, éstos son:
• Tendencias, que se refieren a:
• Variaciones cíclicas. Son:
• Variaciones estacionales. Son:
• Variaciones aleatorias. Son:
Descomposición de una serie de tiempo
Para el estudio de una serie de tiempo se acostumbra a describirla a partir de sus
componentes. En esta descomposición existen dos enfoques:
1) Multiplicativo: La serie observada es resultado de aplicar a la tendencia un factor cíclico,
otro estacional y otro irregular. Es decir:
Y = TCSI
2) Aditivo: La serie observada es resultado de sumar a la tendencia un efecto cíclico, otro
estacional y otro irregular. Es decir:
Y = T+C+S+I
Donde:
T: Tendencia
C: Factor o efecto cíclico
S: Factor o efecto estacional
I: Factor o efecto irregular
Correlogramas
Como ya sabe, otra forma de entender el comportamiento de una serie de tiempo es
revisando la relación que guarda la observación actual con anteriores. Esto se logra con el cálculo
de los coeficientes de autocorrelación para distintos desfases, los cuales son graficados en un
correlograma. Pero ¿cómo es un correlograma? Descríbalo a continuación:
Y sirve para:
Recuerde que:
Comparación de pronósticos
Como ya es de su conocimiento, dependiendo de la metodología y la elección de parámetros
en cada una, la serie bajo estudio puede tener varios pronósticos, ¿pero cuál es el más adecuado?
Un criterio útil para contestar esta pregunta es utilizar el pronóstico con menor grado de error o,
en otras palabras, el que tenga menor grado de desviaciones.
Durante su estudio conoció cómo se calcula la desviación media absoluta (MAD), el error
cuadrático medio (MSE), el error porcentual absoluto medio (MAPE) y el error porcentual medio
(MPE). A continuación escriba la fórmula de cada uno de ellos e interprétela.

MAD
MSE
MAPE
MPE
Mediante los siguientes ejercicios tendrá oportunidad de reafirmar su conocimiento sobre el
manejo de series de tiempo.
Ejercicios
Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios. Recuerde utilizar la computadora en los
casos donde juzgue conveniente hacerlo.
Ejercicio 2
Una serie consta de las siguientes observaciones:
Observaciones de la serie
Tiempo Medición
1 1,71
2 1,36
3 2,99
4 8,55
5 7,48
6 8,07
7 10,79
8 14,79
9 14,20
10 12,23
11 14,52
12 20,48
13 27,11
14 25,34
15 29,87
16 40,99
17 39,87
18 35,24
19 38,37
20 50,66
21 49,30
22 41,45
23 45,09
24 58,99
Realice lo siguiente:
a) Grafique esta serie de tiempo.
b) Describa el comportamiento de esta serie.

c) Identifique los componentes que conforman esta serie. Menciónelos.
d) Mencione la técnica de pronóstico que considera más adecuada emplear de acuerdo con
la naturaleza de la serie.
Justifique su respuesta.
Ejercicio 3
Con la información del problema anterior:
a) Construya un correlograma con lapsos de 1 a 12.
b) Grafique el correlograma.
c) Interprete el correlograma.
Ejercicio 4
Las observaciones de una serie de tiempo son las siguientes:
1.51, 0.83, 1.2, 0.55, 0.9, 1.11, 1.1, 0.62, 1.5, 0.82, 0.9, 1.21, 0.52, 1.34, 0.8, 1.2
a) Grafique la serie.
b) De acuerdo con el trazo de la gráfica y su inspección visual, determine el valor del
coeficiente de autocorrelación con un lapso de una observación. Justifique su respuesta.
Valor del coeficiente de autocorrelación:
c) Grafique xt contra xt+1 y con base en su inspección visual de la gráfica de dispersión,
estime nuevamente el valor del coeficiente de autocorrelación con un lapso de una observación.
Valor del coeficiente de autocorrelación:
d) Calcule el coeficiente de autocorrelación con un lapso de una observación y compárelo
con sus estimaciones anteriores.
e) Interprete el coeficiente de autocorrelación con lapso de una observación.
Ejercicio 5
De una serie de 400 números se construyó un correlograma donde los primeros 10
coeficientes tienen los siguientes valores:
Primeros valores del correlograma
Lapso Coeficiente
1 0.02
2 0.05
3 -0.09
4 0.08
5 -0.02
6 0.00
7 0.12

8 0.06
9 0.02
10 -0.08
Con base en estos valores, describa el comportamiento de la serie.
(Ejercicios 4 y 5 basados en Chatfield. The analysis of time series, 2a ed., 1980)
Con la resolución de estos ejercicios se ha buscado que ejercite sus habilidades de análisis.
Esto le permitirá contar con una plataforma adecuada de conocimiento con la cual podrá resolver
situaciones de mayor complejidad, donde habitualmente no existe una manera única de solución.
Ejemplifiquemos lo anterior:
David Pérez, por fin, después de mucho esfuerzo, ha terminado la carrera de odontología.
Durante ese tiempo, además de estudiar, trabajaba el taxi de uno de sus tíos para poder pagar la
colegiatura y el material que requería para las materias que cursaba.
Ahora que ya ostenta un título profesional, con el apoyo de sus padres ha habilitado una sección
de su casa como consultorio, el cual atiende de las 9:00 a las 19:00 horas de lunes a viernes y de
9:00 a 14:00 horas los sábados. En su tiempo libre continúa trabajando el taxi de su tío, el cual
aprovecha como un punto de contacto para hacerse publicidad.
Durante cuatro años cada consulta la ha cobrado en $ 400, cuyo número figura en el
siguiente cuadro.
Consultas atendidas por David Pérez durante cuatro años
AñoEne Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
I 1016 10 9 20 16 13 11 14 22 19 17
II 1616 18 18 26 20 18 24 26 26 27 20
III 2425 32 25 32 28 27 26 32 37 34 34
IV 2930 34 35 41 33 33 36 38 42 44 43
De forma que los factores estacionales son:
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
0.79 0.88 0.92 0.90 1.05 1.10 0.75 0.78 0.88 1.26 1.24 1.45
David quiere elaborar una estrategia para aprovechar mejor su tiempo durante el quinto año,
ya que la cantidad de pacientes de este momento no le es rentable. ¿Qué le recomendaría a
David?
Para resolver esta situación, resulta de utilidad separar el proceso en varias tareas:
1. Dimensione la problemática. De acuerdo a la narración, David está mucho tiempo en su
consultorio, el cual todavía no es muy concurrido, por lo que requiere complementar su ingreso
con otra actividad. Sin embargo, descuidar al consultorio podría implicar una publicidad negativa
en su contra. Por otro lado, el no aprovechar la opción del taxi de su tío implicaría una pérdida
real de ingreso.
2. Determine qué quiere obtener para resolver la problemática. En este caso se requiere
determinar una estrategia de actividades, en otras palabras, establecer los periodos en que sería
más factible alternar la actividad del consultorio con el taxi.

3. Fije líneas de acción. Es decir, determine qué metodología(s) aplicar para dar solución a
la problemática. En este caso, una línea de acción puede ser analizar el comportamiento de la
serie de tiempo que muestra el número de consultas atendidas por David, y de esta forma
determinar los períodos de mayor y menor actividad. Otra sería investigar el ingreso promedio de
un taxista de medio tiempo, fijar un ingreso mensual y con base en el comportamiento de la serie
determinar los periodos en que debería trabajarse más el taxi. Así surge una gran diversidad de
líneas de acción, dependiendo de quién aborde la situación; para una persona con la formación
que usted está consolidando, lo importante en este punto es que las líneas de acción incorporen
metodologías vistas a lo largo del curso.
4. Dé una solución sustentada en las líneas de acción llevadas a cabo. En otras palabras,
aterrice su análisis en una solución concreta y sustentada.
A continuación le mostramos una solución siguiendo la línea de acción de analizar el
comportamiento de la serie de tiempo que registran las consultas mensuales de David.
El número de consultas acumuladas al mes se muestra en el siguiente gráfico:
Consultas mensuales de David Pérez
La gráfica muestra que las consultas se han incrementado aproximadamente cuatro veces en
cuatro años. En otras palabras, hay una tendencia al alza, por lo que de mantenerse el mismo
comportamiento, el nivel de consultas al final del quinto año sería alrededor de 50.
La serie también muestra cierta estacionalidad, es decir, hay períodos donde la carga de
trabajo es mayor con respecto al promedio del año, al igual que meses con menor acumulación
de trabajo.
De acuerdo con los factores proporcionados en la exposición del caso, la carga de trabajo
puede clasificarse de la siguiente manera:
Dado este esquema, en enero, julio y agosto David puede destinar mayor tiempo a trabajar
el taxi, y en febrero-abril y septiembre hacerlo moderadamente, mientras que el resto del año
debe dedicarse sólo a su consultorio.
También sería válido desestacionalizar la serie y analizar el correlograma desde el comienzo.
Con esto nos daríamos cuenta de qué observaciones pasadas tienen mayor influencia sobre las
actuales.
Correlograma
En este caso, las consultas actuales muestran una asociación importante con las registradas
hace 3, 4 y 10 meses, por lo que la estrategia sería sugerir a David dedicarse totalmente a su
consultorio todo el año, ya que su trabajo con los pacientes en la temporada baja se verá
reflejado al final del año.
Como este pequeño ejemplo evidencia, en una misma situación coexisten alternativas de
solución, lo importante es que usted sustente su respuesta con el empleo de las herramientas
adquiridas. Ahora resuelva el siguiente ejercicio.

Ejercicio 6
Instrucciones: Resuelva la siguiente problemática.
Tiempos malos
Un negocio familiar tiene tres años y medio de estar operando en promedio con gastos fijos
de $110,000 al mes, los cuales se resumen en el siguiente cuadro:
Gastos fijos mensuales de la empresa
Concepto Monto %
Personal $45,000.00 40.9
Materiales $20,000.00 18.2
Varios $15,000.00 13.6
Servicios $12,000.00 10.9
Renta $10,000.00 9.1
Combustible $8,000.00 7.3
Total $110,000.00 100.0
Asimismo, esta empresa incurre en un gasto variable promedio de 8.2% sobre el monto de las
ventas mensuales. Recientemente, los dueños se encuentran preocupados debido a que sus
ventas han registrado una caída considerable, la cual ya empieza a afectar la rentabilidad de la
empresa. Por tal motivo, desean estimar el volumen de ventas para los siguientes seis meses y de
esa manera determinar las acciones a llevar a cabo. Con base en las ventas históricas, se
generaron dos modelos para intentar describir y pronosticar las ventas para los siguientes seis
meses.
Las estimaciones arrojadas por los modelos se muestran a continuación.
Comparativo de estimaciones con respecto a ventas registradas
a) Indique la estimación en la que deben confiar más los dueños del negocio.
b) Enliste las acciones que recomendaría a los dueños de la empresa.

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Métodos de suavizamiento: medias móviles y suavizamiento exponencial
Es frecuente encontrar series de tiempo que presentan variaciones continuas y para las
que a simple vista no es tan inmediato determinar una tendencia. Para tales situaciones
existen métodos de suavizamiento cuya intención es disminuir la magnitud de la
variabilidad de la serie y poder apreciar el rumbo que toma.
En esta sección de su Cuaderno Integral de Trabajo reforzará su conocimiento sobre los
métodos de medias móviles y suavizamiento exponencial.
Medias móviles
Una alternativa para eliminar picos de la serie de tiempo es suavizarla a través de la
técnica de promedios móviles. Como es de su conocimiento, esta metodología consiste en
promediar cierto número de observaciones consecutivas. De esta forma, la nueva serie
tiene menos variaciones y es más fácil determinar la tendencia que sigue la serie
Recuerde que:
Observación:
Uno de los aspectos de mayor trascendencia de este método, pero al cual normalmente se
le presta poca atención, es la ubicación del nuevo punto, para lo cual existen dos criterios:
• Ubicación centrada. Es decir, el nuevo punto se ubicará a la altura del punto
intermedio del conjunto de números promediado. Este enfoque es muy útil para calcular
factores de estacionalidad debido a:
Cuando los datos a promediar son un número impar, la ubicación del punto central es
sencilla. ¿Y cómo se procedería cuando los datos a promediar son un número par?
• Ubicación “siguiente”. Es decir, el nuevo punto se encontrará en el momento t +1.
Este enfoque es recomendable para cuando se desea llevar a cabo un pronóstico debido a:
Ejemplo
A continuación, se genera un promedio móvil de orden 3 de una serie que cuenta con 25
observaciones, el cual muestra los dos criterios de ubicación.
Promedio móvil de orden 3 de una serie de 25 observaciones
Serie MM Centrada MM Siguiente
7.54
7.81 7.74

7.87 7.86
7.91 7.92 7.74
7.98 7.98 7.86
8.07 8.04 7.92
8.08 8.11 7.98
8.17 8.55 8.04
9.39 9.00 8.11
9.43 9.42 8.55
9.45 9.45 9.00
9.48 9.54 9.42
9.70 9.68 9.45
9.86 9.82 9.54
9.90 9.91 9.68
9.97 9.96 9.82
10.02 10.05 9.91
10.14 10.14 9.96
10.26 10.28 10.05
10.45 11.13 10.14
12.68 11.95 10.28
12.74 12.74 11.13
12.79 12.84 11.95
12.99 13.04 12.74
13.36 12.84
13.04 Pronóstico
Cada valor de la media móvil se obtiene promediando tres valores consecutivos, por
ejemplo, el primer valor es resultado de promediar la observación 1, 2 y 3, el segundo
valor del 2, 3 y 4 y así sucesivamente. Observe que la media móvil va perdiendo
información de acuerdo al orden elegido.
Otro aspecto que debe tener presente es que la media móvil es sensible a cambios
bruscos, una vez que estos ya han ocurrido, por lo que debe ser cauteloso si es empleada
esta metodología en un pronóstico.
Comportamiento de la serie y la media móvil de orden 3
La media móvil muestra, además de una serie más suavizada, una tendencia más
definida, sin embargo, los saltos se reflejan un período después
Hasta este momento se han destacado las bondades de esta técnica. Sin embargo,
también hay inconvenientes, los cuales son:
Un corolario de esta metodología es su aplicación a una serie previamente suavizada por
medio de promedios móviles. El principal resultado será una serie aún más suavizada. A
esta técnica se le conoce como promedio móvil doble.

Describa brevemente la metodología de promedio móvil doble.
Suavizamiento exponencial
Otra alternativa de alisamiento de una serie de tiempo es emplear la metodología de
suavizamiento exponencial, la cual es un procedimiento donde de forma continua se
revisa un pronóstico a la luz de experiencias más recientes. El suavizamiento se basa en
promediar de forma ponderada los valores de una serie de manera que el valor más
próximo tenga un peso de α (0 < α < 1), y los siguientes de α(1-α)k-1, donde k =
2,3,….., como se aprecia, el nivel de suavizamiento está en función del valor de α.
Una de las principales utilidades de este procedimiento es en la realización de
pronósticos, donde:
α α)
Donde:
Yt: Valor real de la serie en el tiempo t
Cuando la serie cuenta con una tendencia marcada, o componentes estacionales, el
suavizamiento descrito presentará retrasos, los cuales se irán incrementando conforme
transcurra el tiempo. Para corregir esta situación, puede aplicarse la metodología de Holt
o Winters.
Método de Holt
Para series donde existen cambios en el nivel donde se están moviendo los datos, esta
metodología resulta idónea, ya que permite trabajar con tendencias locales que
evolucionan con el tiempo.
Recuerde que:
El cálculo del componente de nivel al tiempo t (Lt) se hace:
El del componente de tendencia al tiempo t (Tt):
Y el cálculo del pronóstico de la observación t+p se hace del siguiente modo:
Método de Winters
A diferencia del anterior, este procedimiento se caracteriza por agregar un componente de
estacionalidad (St).

El componente de nivel al tiempo t (Lt) se calcula así:
El de estacionalidad al tiempo t (St) así:
Y el pronóstico de la observación t+p de este modo:
Ahora tendrá oportunidad de reforzar su conocimiento a través de los siguientes
ejercicios.
Ejercicios
Instrucciones: A continuación resuelva los siguientes ejercicios. Recuerde utilizar la
computadora en los casos donde juzgue conveniente hacerlo.
Ejercicio 1
Los siguientes datos muestran las ventas de cierta compañía en periodos sucesivos de
cuatro semanas durante cuatro años:
Ventas
Año Periodo
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
XIII
1 153 189 221 215 302 223 201 173 121 106 86 87
108
2 133 177 241 228 283 255 238 164 128 108 87 74
95
3 145 200 187 201 292 220 233 172 119 81 65 76
74
4 111 170 243 178 248 202 163 139 120 96 95 53
94
Fuente: Chatfield. The analysis of time series, 2a. ed., 1980
a) Grafique la serie.
b) Describa el comportamiento de la serie.
) Suavice la serie con el empleo de promedios móviles y justifique la amplitud
empleada.

Ejercicio 2
Con la información del problema anterior realice lo siguiente:
a) Suavice la serie con el empleo de promedios móviles dobles y justifique la amplitud
usada.
b) Suavice la serie con el método de Holt.
c) Suavice la serie con el método de Winters.
d) Mencione la técnica que considera que le ofrece un pronóstico más confiable.
¿Cuánto se esperaría estar vendiendo para el año cinco?
Al igual que en la primera parte de este Cuaderno Integral de Trabajo, se incluye en ésta
un problema para el que no hay una solución única y predeterminada, en donde usted
tendrá que hacer uso del conocimiento adquirido hasta ahora. Recuerde que en este tipo
de problemas lo más importante es que sustente sus resultados. No olvide cumplir las
recomendaciones para la resolución de este tipo de ejercicios:
1. Dimensione la problemática.
2. Determine qué quiere obtener para resolver la problemática.
3. Fije líneas de acción.
4. Dé una solución sustentada en las líneas de acción llevadas a cabo.
Ejercicio 3
Instrucciones: Lea con atención el siguiente caso y construya una solución.
Caso: Café MUNDO
El poblado de San Jacinto El Grande cuenta con alrededor de 15,000 habitantes. En este
lugar, además de las actividades propias de una comunidad rural, por su estratégica
ubicación con respecto a las comunidades vecinas, se ha desarrollado el comercio
minorista y últimamente entre los jóvenes de la localidad empieza a tener auge frecuentar
un nuevo tipo de lugar: el café Internet. En estos sitios, conformados por largos tablones
donde se acomodan varias computadoras armadas o de modelos y especificaciones muy
atrasadas, la juventud de San Jacinto tiene oportunidad de abrir su visión pueblerina, así
como realizar sus tareas y trabajos escolares en un contexto acorde al siglo XXI.

Una de las personas que se ha percatado de esta situación es don Edmundo Sánchez,
quien desde hace más de 15 años es dueño de la papelería mejor surtida y ubicada del
pueblo. Don Edmundo ha destacado, además, por especializarse en quebrar papelerías
que han intentado ser su competencia, a través de prácticas como mantener precios
bajos. En esta ocasión, al ver que este tipo de negocio está afectando sus ingresos, ha
decidido aprovechar la desocupación de un local de buen tamaño en la zona donde tiene
su papelería, para abrir un café Internet que a corto plazo desea que lo administre alguno
de sus hijos.
En compañía de su familia y en un ambiente de armonía amenizado por la música de
alguno de sus grupos de música favorita, ha ambientado el lugar, en donde se ubicará su
nuevo negocio al que ha decidido llamar Café Mundo.
Por otro lado, ha mandado a hacer tres tablones en donde se ubicarán las 10 máquinas
que consiguió entre familiares suyos de la capital o que le pidió a uno de sus sobrinos que
le armara.
La inversión inicial de don Edmundo es la siguiente:
Inversión inicial
Concepto Costo
Material para remodelar $3,600
Material para instalación eléctrica $3,500
Tablones $3,000
Equipo $34,800
Permisos $2,500
Depósito de renta $6,000
Contratación internet $3,000
Varios $4,500
Total $60,900
Cada mes, el nuevo negocio tiene que cubrir los siguientes gastos:
Gastos mensuales
Concepto Costo
Renta del local $3,000
Pago de electricidad $3,150
Pago de telefonía e internet $1,200
Pago a sobrino por soporte $2,000
Total $9,350
Se ha tomado la decisión de abrir toda la semana, alternándose los miembros de la familia
su atención.
Después de 12 semanas de operación, las ventas del nuevo negocio figuran en el
siguiente cuadro:

Ventas durante las primeras doce semanas de operación
Día Semana
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lunes 272 454 418 359 427 211 249 136 108 378 242
152
Martes 296 211 400 564 480 519 587 490 319 461 358
281
Miércoles 923 790 829 720 784 790 811 859 927 900
951 763
Jueves 840 760 762 706 855 711 805 786 828 777 716
814
Viernes 1201 980 1237 1151 950 1251 1155 1226 1259 1070
1105 978
Sábado1243 1397 1499 1314 1285 1262 1229 1339 1370 1325 1425
1354
Domingo 1131 1145 1232 1566 1650 916 1380 1667 1358 934
1365 889
Don Edmundo ha decidido repartir cada fin de mes en partes iguales entre sus cinco hijos
el 20% de las ganancias y el remanente depositarlo en una cuenta bancaria que abrió en
una tienda de muebles de San Jacinto El Grande, la cual le paga una tasa de interés de 4%
anual capitalizable mensualmente. Una vez recuperada su inversión inicial con sus
respectivos intereses que hubiera ganado de depositarlo en la misma cuenta bancaria,
tiene dos alternativas de inversión:
• Depositar su inversión recuperada con intereses a un fondo que le ofrece el banco,
el cual le paga 8% anual durante tres años.
• Abrir otro café Internet asumiendo el mismo comportamiento del negocio que ha
comenzado a operar y procediendo de igual manera con las ganancias.
¿Qué opción le conviene más a don Edmundo?
Justifique su respuesta
Respuestas
Segunda Parte
Ejercicio 1
a)
b) Las ventas en términos generales muestran un comportamiento estacionario, es
posible una tendencia leve a la baja. Se aprecia un comportamiento estacional, siendo la
temporada fuerte en el periodo 5 y una temporada baja entre el 11 y 13.
c) Para quitar estacionalidad, un suavizamiento adecuado es con un promedio móvil
de tamaño 13, centrado en el periodo 6:
Ejercicio 2

La solución de este método estará en función de los factores elegidos. Para seleccionar el
mejor método, deberá validar cada uno, ya sea con el MAD, MSE, MAPE, MPE
Ejercicio 3
Se sugiere por medio de dos o tres métodos proyectar el ingreso mensual que será
destinado a ahorro y quedarse con el de menor variación; posteriormente se lleva a cabo
un ejercicio de matemáticas financieras.
Pronóstico y métodos para las series de tiempo
Individual
Introducción
En este momento ya cuenta con los criterios y herramientas para analizar una serie de
tiempo al identificar sus patrones de comportamiento. También, ha determinado un
método adecuado de pronóstico, que va desde suavizar la serie para identificar la
tendencia que sigue hasta plantear un modelo de predicción.
Conocimientos que adquirió al realizar la lectura de los capítulos “Introducción a los
pronósticos”, “Exploración de patrones de datos y elección de una técnica de pronóstico”,
“Promedios móviles y métodos de suavizamiento” y “Series de tiempo y sus
componentes”, así como la realización de los ejercicios nones y pares del capítulo
“Exploración de patrones de datos y elección de una técnica de pronóstico” y los ejercicios
nones y pares de los capítulos “Promedios móviles y métodos de suavizamiento” y “Series
de tiempo y sus componentes” del libro Pronósticos en los negocios. Asimismo, de las
actividades propuestas en la Notas. El problema del pronóstico y conocimiento de una
serie de tiempo y el Cuaderno Integral de Trabajo. Primera Parte. El problema de
pronóstico y conocimiento de una serie de tiempo y la Segunda Parte. “Métodos de
suavizamiento: medias móviles y suavizamiento exponencial.
Ahora, pondrá a prueba su habilidad para utilizarlos en la resolución de problemas, que
se han divido en dos secciones. Recuerde que esta tarea tiene efectos para su calificación.
Sección 1. Exploración de patrones y elección de una técnica de pronóstico
Le proporcionamos diversas situaciones-problema relacionadas con el ámbito
administrativo, contable, económico, financiero o de negocios para que elija una de
acuerdo a su interés. El procedimiento a seguir consiste en que, una vez identificado el
comportamiento de la serie del problema seleccionado, realice un pronóstico confiable
con la técnica que considere más idónea. También, con la intención de familiarizarlo con
situaciones que enfrentará en el ámbito profesional, en cada una de ellas se incorpora

más de una serie, ya que diversos fenómenos de estudio muestran una relación con otras
variables.
Los criterios para evaluar esta sección son los siguientes:
• Identificación de los patrones de comportamiento.
• Elección de la técnica de pronóstico.
• Interpretación de los resultados obtenidos por el modelo seleccionado.
Nota: las respuestas deberán incluir el procedimiento seguido para poder ser
consideradas.
Instrucciones: Lea la sinopsis de las situaciones que se enlistan y seleccione UNA que sea
de su interés. Luego revise, al final de este documento, en la sección de anexos, la
información que se presenta para la situación elegida y lleve a cabo el siguiente
procedimiento.
a. Determine si existen similitudes en los comportamientos de las series.
b. En caso conveniente, especifique los grupos de estudio. Justifique su respuesta.
c. Elija una técnica de pronóstico. Justifique su elección.
d. Interprete los resultados arrojados por el modelo seleccionado en relación al caso
elegido.
Situación 1. Dinero
Sinopsis:
Por medio del empleo de series de tiempo desea estimarse el número de billetes
maltratados a devolver.
Situación 2. Costos
Sinopsis:
Un despacho desea determinar por medio de series de tiempo la utilidad para el siguiente
año, de operar como ha venido haciéndolo en los dos años anteriores, sin inversiones
importantes.
Situación 3. Despidos
Sinopsis:
Esta problemática trata sobre renuncias y despidos realizados en un call center. La
intención es emplear la técnica de series de tiempo para calcular una partida presupuestal
para indemnizaciones y la capacitación inicial de nuevas contrataciones.
Situación 4. Campaña
Sinopsis:

Se ha introducido en el mercado un nuevo medicamento que reduce la sensación de estrés
sin afectar el rendimiento del paciente.
Sección 2. Aplicación de promedios móviles, métodos de suavizamiento y series de
tiempo en la resolución de un caso.
En esta sección tendrá la oportunidad de resolver UN caso de los incluidos en el capítulo
“Series de tiempo y sus componentes” del libro Pronósticos en los negocios.
Los casos seleccionados reúnen características afines para el cumplimiento de los
objetivos de la unidad; asimismo, plantean un cuestionamiento, con la intención de que
además de aplicar sus conocimientos, desarrolle un criterio para aplicar las técnicas de
pronóstico hasta ahora aprendidas.
Por tal razón, el caso tratado deberá satisfacer los siguientes criterios:
• Análisis de los elementos que componen la(s) serie(s) de tiempo
• Construcción del modelo de pronóstico
• Interpretación de resultados
• Resolución del caso
Nota: las respuestas deberán incluir el procedimiento seguido para poder ser
consideradas.
Instrucciones: Realice las siguientes acciones.
a. Seleccione el caso que le corresponde resolver de acuerdo con la inicial de su
apellido paterno, como a continuación se indica.
A-G: Caso 5-1. Small engine doctor
H-P: Caso 5-2. Mr. Tux
Q-Z: Caso 5-5. AAA Washington
Nota: Para enriquecer en el grupo los criterios de aplicación de las técnicas de pronóstico,
es importante que resuelva el caso que se le indica. De pasar por alto esto, no se tomará
en cuenta su tarea.
b. Lea el caso asignado y responda la pregunta incluida en el mismo.
Para el caso 5-1
¿Qué capacidad de almacenaje deberá considerar el dueño del negocio para el año
entrante? Justifique su respuesta.
Si se considera el factor costo y utilidad, ¿cómo influiría esto en su respuesta anterior?
Justifique su respuesta proponiendo escenarios.
Para el caso 5-2
¿Existe algún esquema alternativo para el pago al banco que sea factible implementar
conforme a las ventas que se esperan en el siguiente año, que sea más atractivo a la

compañía y no represente un mayor costo financiero? Justifique su respuesta y proponga
escenarios.
Para el caso 5-5
¿Cuántos servicios de emergencia acumulados se esperaría atender al finalizar el último
año? Justifique su respuesta.
Si se consideran el factor costo y utilidad, ¿cómo deberían ser para no afectar el precio de
la membrecía? Justifique su respuesta proponiendo escenarios.
Anexos
Situación 1. Dinero
Actualmente, a pesar de la notable disminución del manejo de efectivo por el incremento
de las tarjetas bancarias, todavía los billetes y monedas son necesarios para realizar cierto
tipo de pago de bienes y servicios. Por tanto, el riesgo de recibir un billete deteriorado
siempre está presente.
Para evitar que un billete pierda valor, el Banco de México establece que debe cambiarse
cuando se encuentre rayado, manchado o roto.
A continuación se muestra la información sobre la cantidad de billetes deteriorados
puestos en depósito para cambio de: 20 pesos, 20 pesos de polímero, 50 pesos, 50 pesos
de polímero, 100 pesos, 200 pesos y 500 pesos.
De acuerdo con estos datos, ¿qué tipo de billete tiene mayor riesgo de maltratarse?
Billetes y monedas
Depósito de billete deteriorado
Período: Ene 1999 - Mar 2009 Periodicidad: Mensual Unidad: Millones de
Piezas
FECHA SM21 SM22 SM23 SM56 SM24 SM225 SM26
Ene 1999 N/E N/E N/E N/E N/E N/E N/E
Feb 1999 -9.221N/E -13.867 N/E -11.286 -10.573 -14.459
Mar 1999 20.456N/E 16.906N/E 12.6097.963 -2.342
Abr 1999 -10.451 N/E 2.866 N/E -1.453-6.155-16.221
May 1999 -8.268N/E -18.390 N/E -27.182 -31.253 -36.303
Jun 1999 1.992 N/E -2.553N/E -1.337-1.941-3.374
Jul 1999 -11.483 N/E -6.789N/E -2.378-3.9664.916

Ago 1999 -5.131N/E 8.160 N/E 5.921 15.75614.020
Sep 1999 -9.899N/E -2.883N/E -4.6280.811 5.249
Oct 1999 -2.383N/E -0.402N/E 4.486 0.993 -9.719
Nov 1999 11.135N/E 20.460N/E 25.23239.57949.718
Dic 1999 -6.877N/E -6.796N/E -5.49517.73930.402
Ene 2000 17.117N/E 10.232N/E 15.00315.61634.048
Feb 2000 -19.100 N/E -20.350 N/E -17.521 -21.497 -
30.416
Mar 2000 13.963N/E 6.147 N/E 1.717 -2.8890.117
Abr 2000 -17.863 N/E -10.086 N/E -13.345 -15.487 -
19.343
May 2000 25.651N/E 28.754N/E 21.67818.61524.730
Jun 2000 -7.853N/E -6.837N/E -10.603 -12.579 -14.042
Jul 2000 -7.719N/E -5.862N/E -5.022-5.7382.672
Ago 2000 2.122 N/E 11.703N/E 5.969 12.19332.265
Sep 2000 -11.194 N/E -16.293 N/E -13.995 -13.877 -
16.360
Oct 2000 6.085 N/E -0.278N/E -0.8892.685 10.681
Nov 2000 -3.436N/E -4.674N/E -2.5250.626 -2.391
Dic 2000 -15.203 N/E -2.005N/E 0.294 -5.87312.975
Ene 2001 41.494N/E 34.967N/E 35.24331.69340.301
Feb 2001 -22.168 N/E -21.507 N/E -22.554 -22.086 -
21.821
Mar 2001 9.259 N/E 2.368 N/E -1.773-6.1750.520
Abr 2001 -3.993N/E 6.008 N/E 6.516 -0.796-0.574
May 2001 14.857N/E 13.480N/E 10.53213.90515.504
Jun 2001 -9.256N/E -3.920N/E 1.751 4.175 -9.296
Jul 2001 1.191 N/E 1.844 N/E 4.128 17.22212.670
Ago 2001 -7.188N/E -1.377N/E 0.580 1.697 9.223
Sep 2001 -20.655 N/E -18.290 N/E -12.612 -16.163 -
20.525
Oct 2001 25.967N/E 20.695N/E 12.31826.69843.491
Nov 2001 -6.250N/E -13.450 N/E -13.534 -15.697 -8.007
Dic 2001 -0.647N/E -11.639 N/E -14.778 -10.620 -3.091
Ene 2002 19.508N/E 0.417 N/E 3.008 10.38314.619
Feb 2002 -17.721 N/E -27.678 N/E -27.000 -26.865 -
27.789
Mar 2002 1.727 N/E -5.022N/E -3.615-6.224-6.116
Abr 2002 53.760N/E 45.275N/E 31.41731.84824.527
May 2002 -7.540N/E -1.498N/E -7.394-9.043-7.108
Jun 2002 -15.739 N/E -4.984N/E -3.789-0.486-12.222
Jul 2002 15.641N/E 17.947N/E 32.37725.40434.447

Ago 2002 -22.772 N/E -6.928N/E -1.937-1.958-2.249
Sep 2002 -7.828N/E -2.398N/E 0.747 -12.480 -1.754
Oct 2002 72.774N/E 19.733N/E 14.1320.050 4.185
Nov 2002 -23.181 N/E -5.079N/E -4.669-4.319-1.979
Dic 2002 -6.419-100.000 -4.524N/E 0.450 4.280 16.216
Ene 2003 9.211 N/E 1.426 N/E 12.08112.27917.825
Feb 2003 -39.832 N/E -20.181 N/E -15.109 -20.645 -
23.760
Mar 2003 -8.531100.000 10.131N/E 9.732 6.046 0.377
Abr 2003 -26.272 50.0009.352 N/E 0.574 3.767 15.216
May 2003 -40.095 100.000 -1.762N/E -2.967-4.087-0.869
Jun 2003 -27.604 316.667 -5.498N/E -2.917-5.971-10.067
Jul 2003 -19.345 64.000-0.577N/E 14.35917.6215.112
Ago 2003 -38.615 21.951-15.544 N/E -9.273-0.3456.490
Sep 2003 -19.852 -7.52817.137N/E 6.625 -4.125-1.333
Oct 2003 -18.071 68.700-1.345N/E -0.481-3.3065.613
Nov 2003 -24.006 14.103-11.244 N/E -10.649 -11.296 -
17.773
Dic 2003 -25.271 0.000 8.626 N/E 7.458 12.82512.170
Ene 2004 1.585 78.94513.081N/E 3.296 20.13822.418
Feb 2004 -27.438 55.719-17.805 N/E -25.921 -21.764 -
30.204
Mar 2004 19.89216.13518.973N/E 15.1498.035 20.451
Abr 2004 -37.952 -9.125-4.159N/E -2.245-5.223-2.420
May 2004 -6.28814.6203.127 N/E 0.811 3.067 -5.046
Jun 2004 -2.28758.0091.393 N/E 4.155 9.414 5.157
Jul 2004 -12.918 18.1624.188 N/E 8.930 10.28518.322
Ago 2004 -15.106 43.18411.496N/E 9.520 16.64313.419
Sep 2004 0.712 4.613 4.769 N/E 0.107 -2.385-5.621
Oct 2004 -12.297 29.917-6.641N/E 1.809 6.379 4.887
Nov 2004 -8.13910.0941.744 N/E 5.881 22.66322.416
Dic 2004 -17.939 3.582 -14.165 N/E -1.5557.831 1.906
Ene 2005 22.39441.18918.188N/E 6.100 6.173 9.342
Feb 2005 -22.271 33.506-22.523 N/E -20.273 -22.622 -
18.012
Mar 2005 -16.292 -8.0582.411 N/E 0.939 -5.3097.543
Abr 2005 -92.617 7.233 3.898 N/E 2.001 -1.416-1.732
May 2005 -100.000 5.756 14.941N/E 12.05514.05614.380
Jun 2005 N/E 33.476-2.376N/E -0.113-11.611 -6.102
Jul 2005 N/E -12.322 -3.956N/E -1.3070.444 5.921
Ago 2005 N/E 20.6742.386 N/E 6.656 2.924 3.388

Sep 2005 N/E -10.714 -11.117 N/E -10.814 -12.655 -
17.038
Oct 2005 N/E -86.820 -3.701N/E 2.623 -6.336-5.007
Nov 2005 N/E -3.3890.801 N/E -3.385-5.2287.632
Dic 2005 N/E -18.165 -5.943N/E 1.851 -0.586-0.173
Ene 2006 N/E 715.129 8.086 N/E 15.00113.31121.888
Feb 2006 N/E -5.133-18.646 N/E -19.048 -18.764 -19.356
Mar 2006 N/E 22.16627.682N/E 19.83713.27415.246
Abr 2006 -100.000 -8.013-21.259 N/E -12.835 -18.187 -
5.623
May 2006 N/E 15.23335.468N/E 24.80929.26323.282
Jun 2006 N/E 5.902 3.613 N/E -4.641-5.822-8.544
Jul 2006 N/E -6.169-6.237N/E -4.0423.577 7.968
Ago 2006 N/E 5.827 6.457 N/E 6.494 8.006 16.360
Sep 2006 N/E -2.983-9.306N/E -5.732-12.461 -10.687
Oct 2006 N/E 3.215 -0.102N/E -1.551-1.3921.617
Nov 2006 N/E 1.042 -30.977 N/E -3.392-11.011 -6.139
Dic 2006 N/E -14.764 -71.530 N/E -3.994-0.383-9.133
Ene 2007 N/E 66.379-20.638 N/E 22.85322.61128.149
Feb 2007 N/E 66.139-50.968 N/E -6.4023.255 -6.688
Mar 2007 N/E 39.7621.957 N/E 11.71615.90719.341
Abr 2007 N/E -11.389 -33.236 ###### 5.544 1.959 3.700
May 2007 N/E 4.205 -20.685 332.749 3.266 2.642 3.498
Jun 2007 N/E -9.598-28.165 127.027 -2.543-4.614-1.340
Jul 2007 N/E 7.865 -8.791127.982 1.104 0.079 -5.292
Ago 2007 N/E 2.337 -23.299 94.786-5.468-3.907-0.747
Sep 2007 N/E -16.422 -24.702 11.205-7.727-11.501 -13.954
Oct 2007 N/E 14.457-14.754 50.21412.28119.91319.071
Nov 2007 N/E -14.672 -85.769 30.3286.306 7.235 6.613
Dic 2007 N/E -25.610 -100.000 9.513 -9.427-7.315-5.775
Ene 2008 N/E 42.639N/E 62.17816.98024.66123.267
Feb 2008 N/E -7.199N/E -0.809-10.703 -10.157 -13.728
Mar 2008 N/E -19.650 -100.000 1.604 -2.217-1.152-1.314
Abr 2008 N/E 6.699 N/E 27.5599.270 11.1389.312
May 2008 N/E 1.583 N/E 8.387 0.852 -1.9881.755
Jun 2008 N/E -3.264N/E 10.2484.148 0.252 0.303
Jul 2008 N/E 4.681 N/E 20.281-0.8323.226 4.354
Ago 2008 N/E -4.188N/E -2.361-8.119-9.472-4.192
Sep 2008 N/E -17.551 N/E 9.342 -27.230 -28.665 -21.294
Oct 2008 N/E 21.977N/E 22.5585.416 -7.825-16.957
Nov 2008 N/E -30.642 -100.000 -26.813 -20.158 -20.468
-15.103

Dic 2008 N/E 6.212 N/E 4.819 23.39915.20319.353
Ene 2009 N/E 19.429N/E 28.04613.27511.29815.772
Feb 2009 N/E -8.801N/E -7.844-17.422 -18.748 -21.713
Mar 2009 N/E 27.518N/E 18.36938.15528.63234.752
Situación 2. Costos
El despacho contable para el que labora Juliana Rodríguez quiere determinar cuál sería la
utilidad esperada para el año que está por comenzar si se opera de manera inercial.
A la dirección del despacho le interesa conocer este dato debido a que desea tomar un
año sabático y quiere determinar si la empresa cuenta con la solidez financiera para
soportar su ausencia.
Para ello, en el siguiente cuadro analice la información que recabo la dirección para tal
efecto y resuelva la situación.
Año Ingresos Gastos Utilidad
2000 405000 293500 27.5
2000 345000 291500 15.5
2000 585000 299500 48.8
2000 360000 292000 18.9
2000 465000 295500 36.5
2000 450000 295000 34.4
2000 285000 289500 -1.6
2000 300000 290000 3.3
2000 360000 292000 18.9
2000 225000 287500 -27.8
2000 375000 292500 22.0
2000 315000 290500 7.8
2001 330000 291000 11.8
2001 405000 293500 27.5
2001 375000 292500 22.0
2001 435000 294500 32.3
2001 510000 297000 41.8
2001 435000 294500 32.3
2001 345000 291500 15.5
2001 435000 294500 32.3
2001 240000 288000 -20.0
2001 420000 294000 30.0

2001 360000 292000 18.9
2001 450000 295000 34.4
2002 405000 293500 27.5
2002 375000 292500 22.0
2002 330000 291000 11.8
2002 255000 288500 -13.1
2002 360000 292000 18.9
2002 375000 292500 22.0
2002 240000 288000 -20.0
2002 495000 296500 40.1
2002 420000 294000 30.0
2002 285000 289500 -1.6
2002 525000 297500 43.3
2002 345000 291500 15.5
2003 300000 290000 3.3
2003 390000 293000 24.9
2003 405000 293500 27.5
2003 435000 294500 32.3
2003 300000 290000 3.3
2003 390000 293000 24.9
2003 420000 294000 30.0
2003 330000 291000 11.8
2003 495000 296500 40.1
2003 390000 293000 24.9
2003 315000 290500 7.8
2003 375000 292500 22.0
2004 450000 295000 34.4
2004 450000 295000 34.4
2004 450000 295000 34.4
2004 345000 291500 15.5
2004 330000 291000 11.8
2004 450000 295000 34.4
2004 450000 295000 34.4
2004 360000 292000 18.9
2004 255000 288500 -13.1
2004 435000 294500 32.3
2004 345000 291500 15.5
2004 480000 296000 38.3
2005 315000 290500 7.8
2005 345000 291500 15.5
2005 480000 296000 38.3
2005 315000 290500 7.8

2005 375000 292500 22.0
2005 330000 291000 11.8
2005 435000 294500 32.3
2005 510000 297000 41.8
2005 450000 295000 34.4
2005 285000 289500 -1.6
2005 480000 296000 38.3
2005 495000 296500 40.1
2006 435000 294500 32.3
2006 420000 294000 30.0
2006 330000 291000 11.8
2006 300000 290000 3.3
2006 255000 288500 -13.1
2006 300000 290000 3.3
2006 390000 293000 24.9
2006 240000 288000 -20.0
2006 270000 289000 -7.0
2006 420000 294000 30.0
2006 300000 290000 3.3
2006 330000 291000 11.8
2007 315000 290500 7.8
2007 330000 291000 11.8
2007 345000 291500 15.5
2007 225000 287500 -27.8
2007 300000 290000 3.3
2007 255000 288500 -13.1
2007 375000 292500 22.0
2007 345000 291500 15.5
2007 285000 289500 -1.6
2007 330000 291000 11.8
2007 405000 293500 27.5
2007 270000 289000 -7.0
Situación 3. Despidos
Rosa Isela Pérez, después de realizar diversas entrevistas en diferentes partes, al fin ha
conseguido colocarse nuevamente en el mercado laboral, ahora como responsable de
recursos humanos de un despacho de cobranzas basado en la labor de un call center.
En el corto tiempo que lleva en el puesto, ha despertado su interés el tiempo que su
departamento emplea en realizar trámites de baja de personal y contratación urgente de
nuevos elementos, a quienes la compañía se ve obligada posteriormente a enviar a cursos

de capacitación. Esta situación le ha creado conflictos con el área financiera del despacho,
al que continuamente le solicita partidas extraordinarias para cubrir, tanto
indemnizaciones como la capacitación.
Como una acción prospectiva, Rosa Isela se ha propuesto desde inicio del año solicitar
una partida destinada a indemnizaciones por despidos y otra para capacitación,
considerando lo siguiente:
• Si una persona renuncia, únicamente se le pagan los días trabajados de la quincena
en curso.
• Si una persona es despedida, se le liquida con tres meses de sueldo más la
quincena trabajada y 20 días adicionales por cada año completo trabajado.
• Una persona despedida en promedio cuenta con dos años tres meses.
• El salario promedio de un trabajador es de $4,000 mensuales.
• Se debe reemplazar de inmediato a las personas dadas de baja, ya sea por despido
o renuncia voluntaria.
• Cada nueva contratación se envía a un curso de inducción y capacitación en el
manejo del equipo, el cual tiene un costo de $5,000 por persona.
Rosa Isela cuenta con un registro mensual de despidos y renuncias de los últimos ocho
años, que organizó en las siguientes series. De acuerdo con esta información, ¿cuánto
deberá solicitar de partida presupuestal? Justifique su respuesta.
Mes Año Bajas Renuncias Despidos
Enero 2000 34 31 3
Febrero 2000 35 34 1
Marzo 2000 36 33 3
Abril 2000 30 27 3
Mayo 2000 29 27 2
Junio 2000 42 39 3
Julio 2000 37 34 3
Agosto2000 34 32 2
Septiembre 2000 39 37 2
Octubre 2000 36 33 3
Noviembre 2000 39 36 3
Diciembre 2000 38 38 0
Enero 2001 43 38 5
Febrero 2001 37 33 4
Marzo 2001 45 40 5
Abril 2001 44 42 2
Mayo 2001 52 48 4
Junio 2001 47 45 2

Julio 2001 40 37 3
Agosto2001 37 35 2
Octubre 2001 43 43 0
Enero 2002 41 39 2
Febrero 2002 42 39 3
Marzo 2002 38 36 2
Abril 2002 50 50 0
Mayo 2002 46 46 0
Junio 2002 50 46 4
Julio 2002 53 50 3
Agosto2002 41 39 2
Octubre 2002 52 51 1
Enero 2003 50 46 4
Febrero 2003 51 48 3
Marzo 2003 56 54 2
Abril 2003 52 50 2
Mayo 2003 53 51 2
Junio 2003 52 50 2
Julio 2003 57 54 3
Agosto2003 58 56 2
Octubre 2003 62 60 2
Enero 2004 58 56 2
Febrero 2004 58 58 0
Marzo 2004 57 55 2
Abril 2004 54 54 0
Mayo 2004 61 55 6
Junio 2004 65 62 3
Julio 2004 62 57 5
Agosto2004 61 58 3
Octubre 2004 60 59 1

Enero 2005 56 55 1
Febrero 2005 63 63 0
Marzo 2005 58 57 1
Abril 2005 61 60 1
Mayo 2005 59 59 0
Junio 2005 69 64 5
Julio 2005 78 77 1
Agosto2005 66 65 1
Octubre 2005 65 63 2
Enero 2006 74 74 0
Mes Año Bajas Renuncias Despidos
Febrero 2006 65 63 2
Marzo 2006 68 64 4
Abril 2006 73 69 4
Mayo 2006 75 74 1
Junio 2006 72 69 3
Julio 2006 71 68 3
Agosto2006 70 68 2
Octubre 2006 79 75 4
Enero 2007 83 80 3
Febrero 2007 83 81 2
Marzo 2007 75 72 3
Abril 2007 86 83 3
Mayo 2007 80 76 4
Junio 2007 75 74 1
Julio 2007 76 72 4
Agosto2007 79 77 2
Octubre 2007 76 75 1
Situación 4. Campaña
Un laboratorio dedicado a comercializar productos de forma masiva, ha desarrollado un
medicamento que disminuye la sensación de estrés sin causar adicción ni efectos

secundarios. Para darlo a conocer, se decidió montar un banner en varias páginas de
Internet, el cual lleva al usuario a una página de información donde al final hay una
promoción.
La demanda del producto durante 50 días se muestra en la siguiente tabla. A partir de
esta información, ¿Cuál sería la demanda si se mantiene la promoción 15 días más? ¿Por
qué?
Envío Miembros Piden_Info
1 8107 544
2 11160 581
3 11046 1077
4 10293 318
5 13349 486
6 13059 308
7 10735 162
8 19189 1877
9 16445 1377
10 18111 221
11 13214 768
12 13242 438
13 14892 824
14 14433 102
15 14993 934
16 13347 1064
17 19143 894
18 19365 503
19 15709 691
20 17313 1145
21 13707 453
22 18591 932
23 15094 1210
24 15739 389
25 17356 1373
26 18980 1639
27 17839 31
28 16485 1077
29 22263 1392
30 22670 545
31 20273 747
32 20110 1502
33 16734 60

34 20051 15
35 22908 433
36 18607 1240
37 19480 1815
38 18233 446
39 19067 14
40 20182 1674
41 26300 101
42 26514 2039
43 22645 1702
44 24899 137
45 25361 58
46 24807 1585
47 21493 2036
48 20142 85
49 27679 1274
50 21298 1540

Ejercicio 1. La investigación de operaciones y el uso de modelos
En congruencia con lo que analizó en las Notas. La investigación de operaciones y el uso
de los modelos, el ejercicio tiene como finalidad que identifique problemas de negocios en
donde se utilicen modelos matemáticos, así como la investigación de operaciones.
Instrucciones: Tomando como referencia la lectura de las notas, elabore lo que a
continuación se solicita.
1. Realice una búsqueda documental y electrónica acerca de los modelos icónicos,
análogos y simbólicos.
2. Enliste las características de cada modelo refiriendo las fuentes de información.
3. Describa en detalle tres ejemplos de su utilización en el ámbito de los negocios (cite
casos reales), por ejemplo: la fila de espera en un banco, las rutas de distribución de
una empresa de refrescos, la manera como se asignan los horarios y los salones en
una escuela, etcétera.
4. Con base en la información obtenida:
a. Elija cualquiera de los ejemplos descritos anteriormente.
b. Utilice alguno de los modelos que investigó, para representar dicho ejemplo.
c. Realice lo siguiente:
– Justifique la elección del modelo utilizado. ¿Por qué ése y no otro?
– Indique si se puede utilizar los tres tipos de modelos para plantear la situación
o sólo uno. Justifique su respuesta.
– Indique si se pueden combinar dos o más tipos de modelos para el
planteamiento de la situación. Justifique su respuesta.
Tarea 1. Planteamiento de modelos
Individual
Introducción
Después de haber realizado las lecturas de las notas y del libro de texto y tras haber
resuelto algunos ejercicios, cerramos esta unidad con la resolución de esta tarea que
permitirá consolidar las habilidades adquiridas y evaluar lo aprendido.
Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes planteamientos y realice lo que se
solicita en cada uno.

Construcción de modelos matemáticos
1. Del modelo que se describe a continuación, identifique: la función objetivo, las
variables de decisión, los parámetros, las restricciones de no negatividad y determine
a qué clase de modelos pertenece.
Minimizar Z = x1 - 2 x2 + 2 x3
Sujeto a: -2 x1 + x2 + x3  20
x1 + x2 + 2 x3  30
- x1 + 2 x2 + x3  24
x10; x20; x30
2. La empresa MADERAS DEL VALLE S.A., fabrica portarretratos, toalleros y muñecas de
madera. Para la fabricación de un portarretratos necesita dos piezas de madera, un
bote de laca y tres botellas de pintura. Para la elaboración de un toallero se requiere
tres piezas de madera, dos metros de estambre, una botella de pintura y un bote de
laca.
En la fabricación de cada muñeca un bote de laca, dos piezas de madera, cuatro
metros de estambre y dos bote de pintura.
Mensualmente esta empresa cuenta con 8,000 botes de laca, 12,500 piezas de
madera, 14,000 metros de estambre y 21,000 botellas de pintura. Obtiene $130.00 de
utilidad por cada portarretrato, $140.00 por cada toallero y $150.00 por cada muñeca.
Con base en lo anterior plantee el modelo matemático de producción que permita a
esta empresa maximizar utilidades.
Planteamiento de modelos de optimización de recursos
3. El periódico Finamex es una publicación especializada en negocios y finanzas. Por
especificaciones técnicas de sus rotativas, sólo puede imprimir 150,000, 175,000 o
200,000 ejemplares. Por su parte, las ventas dependen del día. Los lunes y viernes se
venden alrededor de 200,000 ejemplares. Los martes y jueves, 175,000 unidades, y
los miércoles, 150,000. Cada periódico tiene un precio de $6.00 y su costo total de
producción es de $3.50. Los ejemplares que no se venden el mismo día, regresan a
Finamex, ya que la fábrica de papel los compra a $0.30 cada uno. De esta manera se
reprocesan los ejemplares no utilizados.
Con base en la información anterior:

a. Construya un modelo matemático (en forma de tabla) en donde se muestre la
situación problemática descrita.
b. Si usted se viera obligado a producir el mismo número de ejemplares todos los
días (150,000; 175,000 o 200,000), por cuál alternativa se inclinaría si lo que
busca es que sus utilidades sean las máximas. (Evite resolver el modelo
matemáticamente, sólo guíese por su intuición).
4. Elabore una breve reflexión sobre la importancia de los temas revisados en esta
unidad para su desarrollo profesional y la forma en que los podrá aplicar.
Tarea 2. Aplicaciones del criterio de utilidad esperada
Individual
Introducción
En esta unidad hemos analizado los elementos que intervienen en el proceso de toma de
decisiones. A continuación se presentan una serie de ejercicios relacionados directamente
con esos conceptos.
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas considerando los datos que se
proporcionan.
1. Diseños innovadores es una empresa que se dedica a la producción de vestidos y
adquiere para la venta en sus sucursales ropa de exportación. Se cuenta con la
siguiente información: precio de venta = $680.00 y precio de adquisición = $598.00.
La siguiente tabla muestra el número de vestidos vendidos por un número
determinado de días:
NÚMERO DE DÍAS VESTIDOS VENDIDOS
15 58
25 65
40 96
Por políticas de calidad, la empresa dona los vestidos que no se venden en
determinado tiempo a una institución de asistencia social.

a. Determine la cantidad de vestidos que la empresa debe poner a la venta a fin de
lograr las máximas utilidades.
2. Arturo es un estudiante del turno vespertino. Entra a clase a las 17:30 y son las 16:30,
está indeciso sobre el tipo de transporte a usar para llegar a tiempo. Le gustaría
hacerlo lo antes posible para tomar un café. La siguiente tabla muestra las opciones,
así como su costo y duración promedios.
OPCIÓN DURACIÓN COSTO GRADO DE COMODIDAD UTILIDAD
Microbús 40 $ 4.00 50%
Metro 30 $ 2.50 30%
Taxi 25 $ 25.00 80%
Automóvil particular 30 $ 12.00 90%
Con base en la información anterior determine:
a. Qué decisión debe tomar según el criterio de tiempo de duración.
b. Cuál es la mejor opción según el costo.
c. Qué decisión tomaría si prioriza la comodidad del viaje.
d. Complete la última columna de la tabla definiendo como “utilidad” el tiempo que
le quedaría libre a Arturo para disfrutar el café.
e. Con base en esta columna indique cuál es ahora la mejor decisión.
3. Usted es un hombre de negocios y necesita elegir entre dos contratos para realizar un
proyecto de expansión de su empresa. La utilidad resultante, P(x), en cada
contrato es incierta. Los contratos se describen a continuación.
El primer contrato le ofrece las siguientes opciones con sus probabilidades de
ocurrencia de cada evento:
EVENTO X P(X)
Ganancia 0.30 $ 9’000,000.00
Ganancia 0.45 $ 6’000,000.00
Pérdida 0.25 $8’500,000.00

El segundo contrato le ofrece las siguientes opciones con sus probabilidades de
ocurrencia de cada evento:
EVENTO X P(X)
Ganancia 0.25 $ 7’500,000.00
Ganancia 0.60 $ 3’000,000.00
Pérdida 0.15 $ 5’000,000.00
a. Realice los cálculos necesarios a fin de que determine el contrato que le pueda
reportar un mayor beneficio esperado.
4. La compañía ABC está realizando los planes de inversión para el siguiente año fiscal.
Las decisiones de inversión de la compañía dependerán de la predicción acerca de
las condiciones económicas del país. El mercado de valores puede encontrarse con
una economía inestable, estable y mala. Las ganancias de acuerdo a cada condición
se muestran en la siguiente matriz de decisión:
ESTADO DE LA NATURALEZA
TASA
PREFERENTE
TASA
NORMAL
TASA
CASTIGADA
Inestable $ 1,500.00 $ 1,200.00 $ 1,000.00
Estable 1,100.00 900.00 800.00
Mala 500.00 600.00 700.00
Si las probabilidades de las condiciones económicas, según el Banco de México,
son .50, .10 y .40, respectivamente, determine:
a. El beneficio esperado por la compañía.
b. Cuál de los dos proyectos reporta la mejor combinación de riesgo y rendimiento.
Tarea 3. Aplicación de Excel

Individual
Introducción
En esta tarea se pretende que el estudiante integre todas las etapas de la solución de
problemas de asignación de programación lineal a través del uso del Excel. Para esto se
plantea un caso en el que tendrá que utilizar todos los elementos constitutivos
de la unidad.
Instrucciones: Resuelva el siguiente caso tomando como referencia los datos que
se proporcionan.
Caso
Una empresa de cosmetología ha lanzado al mercado dos paquetes de cosméticos: el
básico y el de lujo. El paquete básico contiene: un lápiz labial, dos sombras, dos
maquillajes y un delineador; el paquete de lujo incluye tres piezas de lápiz labial, una
sombra, dos maquillajes y un delineador.
Los costos de los cosméticos que conforman los paquetes son:
COSMÉTICO COSTO POR PIEZA
Lápiz labial $100.00
Sombras $150.00
Maquillaje $200.00
Delineador $120.00
Para la elaboración de estos paquetes de cosméticos esta empresa dispone
semanalmente de seis cajas de lápiz labial con 100 piezas cada una, 400 sombras, 800
estuches de maquillaje y 500 delineadores.
Estudios de mercado realizados indican que pueden venderse semanalmente hasta 100
paquetes básicos y por lo menos 100 paquetes de lujo. Los precios de venta
recomendados son $1,400.00 para el paquete básico y $1,500.00 para el de lujo.

Con base a la información anterior, el dueño de la empresa solicita su ayuda para
determinar cuál seria la mezcla que maximiza la utilidad, para ello es necesario que
realice lo siguiente:
– Elabore el planteamiento del problema a través de un modelo de programación lineal.
– Solucione el modelo en Excel, interpretando los resultados obtenidos.
– Encuentre los precios de sombra (o precios duales). Utilice el método gráfico. Nota:
Esto lo ayudará a comprender mejor la situación al modificar los lados derechos de
las restricciones y así encontrar la sensibilidad de estos cambios en la función
objetivo.
– Tome en cuenta el análisis de sensibilidad obtenido en Excel y vuelva a correr el
modelo matemático (en Excel) para indagar cómo cambia la solución si se
sobrepasan los límites hacia arriba y hacia debajo de los lados derechos de las
restricciones y de los coeficientes de la función objetivo. Ya que son cuatro recursos
los que se usan en este problema y dos paquetes de cosméticos, usted deberá hacer
12 corridas del modelo matemático, ya que modificará cada parámetro dos veces, uno
hacia arriba y el otro hacia abajo. Haga una tabla resumen señalando los cambios
hechos y el cambio observado en la solución. Además de esta tabla entregue una
copia en papel o archivo digital, según indicaciones de su docente/asesor, de las
corridas obtenidas con Excel. No es necesario solicitar el análisis de sensibilidad a los
programas de cómputo para estas 12 corridas. Sólo interesa ver cómo queda la
solución.
– Elabore un breve informe dirigido al dueño de la empresa en el que le indique la mezcla
que maximiza la utilidad. (Es necesario entregar junto con el informe, el archivo de
Excel en donde se visualice el procedimiento utilizado para resolver el caso).
En los ejercicios anteriores se ha observado que cuando se calculan varios pasos de una
cadena de Markov, los resultados parecen converger en un valor. Asegurar que esta
convergencia es real y tener un método para calcularla, es de gran relevancia en
cualquier situación.
Pensemos, por ejemplo, en el caso de dos o más empresas que compiten con un
producto similar para dominar cierto mercado. La transferencia de consumidores de una
marca a otra se da de una manera continua, aun cuando haya consumidores fieles a la
marca. Sin embargo, a la larga, es posible llegar a una situación estable en la que la
pérdida de clientes es compensada por la llegada de otros provenientes de las otras
marcas. Cuando se alcanza esta estabilidad, se llega a la penetración del mercado de
cada marca, que no es más que el porcentaje del mercado dominado por cada una de
éstas.

Calcular la solución de estabilidad de una cadena de Markov es relativamente simple. Ya
se ha visto que las soluciones sucesivas de una cadena se obtienen multiplicando la
matriz de transición por la matriz solución actual, esto es:
A partir de que se obtenga la solución estable debe ser cierto que:
X = PX
Es decir, la solución ya no cambiará en los periodos siguientes. Dado que P y X son
matrices, despejando la matriz X se obtiene:
X (I – P) = 0
Esta ecuación matricial da lugar a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas,
siendo n el número de estados de la cadena de Markov. Este conjunto de ecuaciones no
es linealmente independiente, sino que una de ellas es combinación lineal de las otras,
por lo cual debe sustituirse por otra ecuación que permita resolver el problema.
Esta ecuación es la siguiente:
Si las variables Xi son probabilidades, la suma anterior debe ser 1, pero si Xi se refiere al
número de elementos de la población en estudio, entonces la suma debe ser igual al
tamaño de la población, N.
Los ejercicios tienen como finalidad que ejercite el método para hallar la solución estable
de una cadena de Markov e identificar algunas posibles aplicaciones de este tema.
n
n n- 0
X = PX
X = PX = P X
X = PX = P X
X = PX = P X
1 0
2
2 1 0
3
3 2 0
1
 
n
i
i=
X = o = N
1
1

Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes ejercicios y resuelva con claridad lo que
se solicita. Puede apoyarse en la hoja de cálculo Excel para realizar las multiplicaciones
matriciales y la resolución de los sistemas de ecuaciones que resulten, usando para este
efecto el método de la matriz inversa o el de determinantes.
1. En una población existen tres marcas de jabón en polvo para ropa que pelean el
dominio del mercado. Para simplificar llamaremos a dichas marcas A, B y C. Un
estudio de mercado realizado por la marca A permitió conocer las características de
consumo de esta población. Se descubrió que el 85% de los consumidores de A
estarían dispuestos a volverla a comprar, el 10% compraría la B y el 5% restante la C.
Respecto a la marca B, el 90% la volvería a comprar, el 8% cambiaría a la A y el 2%
restante compraría la C. Por último, de los consumidores de la marca C, el 80% la
volvería a comprar, el 11% compraría la A y 9% la B.
Se estima que actualmente la marca A tiene 10,000 consumidores, la B 8,000 y la C
12,000. Con base en esta información, determine:
a. La matriz de transición correspondiente.
b. La configuración de consumidores durante los próximos ocho periodos de
compra.
c. La configuración final estable de consumidores. ¿Con qué porcentaje del mercado
se ha quedado cada marca al final? Es decir, ¿cuál es su penetración del
mercado?
2. Otra forma de abordar los problemas de evolución de una marca en su penetración de
mercado, es analizando la probabilidad de que un consumidor se mantenga fiel a la
marca o cambie a otras. En estos casos, en lugar de iniciar con un conjunto de
consumidores, se inicia con uno solo y se analiza la evolución interpretando las
fracciones obtenidas como la probabilidad de que el consumidor esté en esas marcas.
Con base a los datos del problema anterior, determine:
a. La probabilidad de que un consumidor de la marca A la siga consumiendo
después de cinco periodos. En este caso la matriz inicial de consumidores es: (1,
0, 0).
b. La probabilidad de que un consumidor de la marca B le siga siendo fiel a ésta
después de cinco periodos. El vector o matriz inicial de consumidores es (0. 1. 0).

c. ¿Cuál será la probabilidad de fidelidad para la marca C? La matriz de
consumidores iniciales sería: (0, 0, 1)
d. Aplique estos porcentajes al número de consumidores iniciales que tenía cada
marca del ejemplo anterior. ¿Por qué no coinciden los resultados del quinto
periodo?
3. Dos marcas dominan el mercado de refrescos de toronja. Los mercadólogos han
logrado establecer la matriz de transición entre estas marcas:
Con base en la información anterior, determine:
a. ¿Cuál es la penetración de mercado de estas marcas? Es decir, ¿cuál es el
porcentaje del mercado que tiene cada marca en la situación final de equilibrio?
b. Si el mercado consistía de 40,000 consumidores, ¿cuántos posee cada marca al
final?
c. Supóngase que aparece una tercera marca. La siguiente tabla muestra el
porcentaje de transferencias de consumidores de una marca a las otras. ¿Cuál
será ahora la penetración del mercado?
A:
A B C
A 85% 8 % 7 %
De: B 10% 83% 7 %
C 12% 13% 75%
4. El mercado de sopas instantáneas está dominado por tres marcas: A, B, y C. La
siguiente tabla muestra los porcentajes de consumidores que se transfieren de
marcas en cada periodo. La marca A tiene 50,000 consumidores, la marca B 30,000 y
la marca C 20,000.
A:
 
 
 
P
0.90 0.10
=
0.12 0.88

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